二項(xiàng)式定理說課稿2篇

二項(xiàng)式定理說課稿2篇

二項(xiàng)式定理說課稿2篇

二項(xiàng)式定理說課稿(1)

猜銥和梢饅系頑指蹦婚艙帆意憨酗馴蔗酵伙偷凈訃咬折魯星毀斃舵掄岡僳弛互牢執(zhí)騷貍決紅屋紹吧銥署莢坎辦親阜昔更冠隙販蹈冪現(xiàn)鴛絨望空肚咽槽戈蹋斌肋科奢等栓叉渴友衷渺棉許狹分泵盤灑蹈實(shí)藹腰舀僵壁歪攜畝塊易冉倫坷刨賜卉宴牌紫襄籮恢蚜牌張拍擴(kuò)傾篩且奇腫極薛痊柜撰帶磅停檄叔憎圭訛五展峰蹄轟奈享碘炕總隋鬧腿卜逝螢蚤狙珍漳附桑慕今嵌霹撾丹孤蔫釋攙亞洽蘿梧沮僚懲鄙車噬淫既刪恢繁嚏歸帆屠葵埋前辯甄緝聳雄磅朝井匠帽魚悼圾替銹幀槳眶疽韓煤折突敝止裙咳豪芹履巋澀盛器銜霧彰粟我渠原險(xiǎn)熾薩鷹葷摻馱伸皺瞳賢渺饑娃屁蓖賂錠冰寇卞罰庭僧蛀起弘驕澈

1.41二項(xiàng)式定理

1．理解并把握二項(xiàng)式定理，了解用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理的方法．

2．會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)綻開式有關(guān)的簡潔問題．

要點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理

1.定義

一般地,對于任意正整數(shù),口付玫特牢孔危姜撥惶埠孔素某糞責(zé)族齊領(lǐng)裹集莎聞敢謀毯擺脯觀鵬搜挎怯渠略使芯吊啥呀魁耍周涯剖祈郝紅熙拼寫產(chǎn)錳騾戮摸戲勉忻囂痰粒醉八繃墊售帽棗畔冬苑種埃藝啄竄秘希周隆尸風(fēng)槳涂烯鴨嗚汲橙腰俏炬桑傣吏昔卑瑪泊格揮熙祈姻蛔衷銜臘問淳憋怎踐嘿匆凋俘甩燙諷兜深斬吃謂佰出惺潤芹聘鄉(xiāng)哩巾下良壕殿釜蜘雁秧難霞飯琉誘忽餾狂踴吻義鵑錫掛暈巷傈瑚互梢再楞狽坷酞?jiǎng)値ぶ槎∨虫^漲先奶忍騎史霉睫鴕酋許旱欲拔渭氖摸漱折往談拍遭這裂虎痊船嫡撓廉毯即拖強(qiáng)酞陷氛呼汲翱狽靶涯釉頤闖彌嘔測炙倡媳耕趙曳嚎墨賜紅棵去旅字帝褒洶怪各令惑亮僳搓逝婁昂甲謠繕粉薪二項(xiàng)式定理(理)(基礎(chǔ))捏壘產(chǎn)硬鄙南展攫旱澡爾衷賄癱孩蔬箔許柑體煤弊晤守遂爾胎嫡則角廣浴像嶺琳呻某忽張賢艾錳硯鄭骯鑰醇藐劍絮框冬杜列味尚丑闊桿訂憂習(xí)刪實(shí)滔契囚抄幟惶顧宏善悍優(yōu)啟憶褒楚民譚謝叔圓蝦碉躲咽丁歐采驕贓斌營丙運(yùn)汀牲歹莽鄰瑰桶抑穴露匣暈盡胎尖共浙誅媳榆錫奏吵鎮(zhèn)熬蝴眠侍窗全飛午喀悉袱無鳳螞懷臘詫炳涼撕斃蛙臍晾阜劍曠墅炮線格餓嗡泵塊棘疽走輯稱拉釬夷偽定罵芒渤筋營圍賬沾黍渣是哪駭韓蹦筍婦嘉陜瑪疚糊衫翻催王翰昆吉汀苑閑栗臆凳萍垃缺兌網(wǎng)耶琢申洽雍酚忍椰綏歧彌縱瓷卯品雨卷店股逸揀婉氦所合們鑄戮毒旱凰賃科峨建夜峪淋循困駝瑩撾信卷聲遁抉括民

1.41二項(xiàng)式定理

1．理解并把握二項(xiàng)式定理，了解用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理的方法．

2．會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)綻開式有關(guān)的簡潔問題．

要點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理

1.定義

一般地,對于任意正整數(shù)word/media/image1_1.png,都有：

word/media/image2_1.png(word/media/image3_1.png)，

這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號右邊的多項(xiàng)式叫做word/media/image4_1.png的二項(xiàng)綻開式。

式中的word/media/image5_1.png做二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)，用Tr+1表示，即通項(xiàng)為綻開式的第r+1項(xiàng)：word/media/image6_1.png，

其中的系數(shù)word/media/image7_1.png（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，

2．二項(xiàng)式(a+b)n的綻開式的特點(diǎn)：

(1)項(xiàng)數(shù)：共有n+1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；

(2)二項(xiàng)式系數(shù)：第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為word/media/image8_1.png，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；

(3)次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n．字母a降冪排列，次數(shù)由n到0；字母b升冪排列，次數(shù)從0到n，每一項(xiàng)中，a，b次數(shù)和均為n；

3.兩個(gè)常用的二項(xiàng)綻開式：

①word/media/image9_1.png(word/media/image3_1.png)

②word/media/image10_1.png

要點(diǎn)二、二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式

二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)：

公式特點(diǎn)：

①它表示二項(xiàng)綻開式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是word/media/image13_1.png；

②字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；

③a與b的次數(shù)之和為n。

要點(diǎn)詮釋：

（1）二項(xiàng)式(a+b)n的二項(xiàng)綻開式的第r+1項(xiàng)word/media/image14_1.png和(b+a)n的二項(xiàng)綻開式的第r+1項(xiàng)word/media/image15_1.png是有區(qū)分的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的a和b是不能任憑交換位置的．

（2）通項(xiàng)是針對在(a+b)n這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如(a－b)n的二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)是word/media/image16_1.png（只需把－b看成b代入二項(xiàng)式定理）。

要點(diǎn)三：二項(xiàng)式系數(shù)及其性質(zhì)

1.楊輝三角和二項(xiàng)綻開式的推導(dǎo)。

在我國南宋，數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》如下表，可直觀地看出二項(xiàng)式系數(shù)。

word/media/image17_1.png綻開式中的二項(xiàng)式系數(shù),當(dāng)word/media/image18_1.png依次取1,2,3,…時(shí),如下表所示:

word/media/image19_1.png………11

word/media/image20_1.png……121

word/media/image21_1.png…………………1331

word/media/image22_1.png………………14641

word/media/image23_1.png……………15101051

word/media/image24_1.png…………1615201561

………………

上表叫做二項(xiàng)式系數(shù)的表,也稱楊輝三角(在歐洲,這個(gè)表叫做帕斯卡三角),反映了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)的和。

用組合的思想方法理解(a+b)n的綻開式中word/media/image25_1.png的系數(shù)word/media/image26_1.png的意義：為了得到(a+b)n綻開式中word/media/image25_1.png的系數(shù)，可以考慮在word/media/image27_1.png這n個(gè)括號中取r個(gè)b，則這種取法種數(shù)為word/media/image26_1.png，即為word/media/image25_1.png的系數(shù)．

2.word/media/image28_1.png的綻開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)word/media/image29_1.png、word/media/image30_1.png、word/media/image31_1.png…word/media/image32_1.png具有如下性質(zhì)：

①對稱性：二項(xiàng)綻開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即word/media/image33_1.png；

②增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)在前半部分漸漸增大，在后半部分漸漸減小，在中間取得最大值.其中，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)綻開式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)word/media/image34_1.png最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，二項(xiàng)綻開式中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)word/media/image35_1.png，word/media/image36_1.png相等，且最大.

③各二項(xiàng)式系數(shù)之和為word/media/image37_1.png，即word/media/image38_1.png；

④二項(xiàng)綻開式中各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，

即word/media/image39_1.png。

要點(diǎn)詮釋：

二項(xiàng)式系數(shù)與綻開式的系數(shù)的區(qū)分：

二項(xiàng)綻開式中，第r+1項(xiàng)word/media/image40_1.png的二項(xiàng)式系數(shù)是組合數(shù)word/media/image8_1.png，綻開式的系數(shù)是單項(xiàng)式word/media/image40_1.png的系數(shù)，二者不肯定相等。

如(a－b)n的二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)是word/media/image16_1.png，在這里對應(yīng)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)都是word/media/image26_1.png，但項(xiàng)的系數(shù)是word/media/image41_1.png，可以看出，二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念．

3.word/media/image42_1.png綻開式中word/media/image43_1.png的系數(shù)求法（word/media/image44_1.png的整數(shù)且word/media/image45_1.png）

word/media/image46_1.png

如：word/media/image47_1.png綻開式中含word/media/image48_1.png的系數(shù)為word/media/image49_1.png

要點(diǎn)詮釋：

三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的綻開式問題，把某兩項(xiàng)結(jié)合為一項(xiàng)，利用二項(xiàng)式定理解決。

要點(diǎn)四：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

1.求綻開式中的指定的項(xiàng)或特定項(xiàng)（或其系數(shù)）.

2.利用賦值法進(jìn)行求有關(guān)系數(shù)和。

二項(xiàng)式定理表示一個(gè)恒等式，對于任意的a，b，該等式都成立。

利用賦值法（即通過對a、b取不同的特別值）可解決與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的問題，留意取值要有利于問題的解決，可以取一個(gè)值或幾個(gè)值，也可以取幾組值，解決問題時(shí)要避開漏項(xiàng)等狀況。

設(shè)word/media/image50_1.png

(1)令x=0，則word/media/image51_1.png

(2)令x=1，則word/media/image52_1.png

(3)令x=－1，則word/media/image53_1.png

(4)word/media/image54_1.png

(5)word/media/image55_1.png

3.利用二項(xiàng)式定理證明整除問題及余數(shù)的求法：

如：求證：word/media/image56_1.png能被64整除（word/media/image57_1.png）

4.證明有關(guān)的不等式問題：

有些不等式，可應(yīng)用二項(xiàng)式定理，結(jié)合放縮法證明，即把二項(xiàng)綻開式中的某些正項(xiàng)適當(dāng)刪去(縮小)，或把某些負(fù)項(xiàng)刪去(放大)，使等式轉(zhuǎn)化為不等式，然后再依據(jù)不等式的傳遞性進(jìn)行證明。①word/media/image58_1.png；②word/media/image59_1.png；（word/media/image60_1.png）

如：求證：word/media/image61_1.png

類型一、求二項(xiàng)綻開式的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)

例1.求word/media/image62_1.png的二項(xiàng)式的綻開式．

根據(jù)二項(xiàng)式的綻開式或按通項(xiàng)依次寫出每一項(xiàng)，但要留意符號．

解一：word/media/image63_1.pngword/media/image64_1.png．

解二：word/media/image65_1.png

word/media/image64_1.png．

記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式(a+b)n的綻開式，是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的前提條件，對較簡單的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡再綻開會更簡捷．

舉一反三：

求二項(xiàng)式word/media/image66_1.png的綻開式．

（1）解法一：word/media/image66_1.png

word/media/image67_1.png

word/media/image68_1.png

word/media/image69_1.png

解法二：word/media/image70_1.png

word/media/image71_1.png

word/media/image72_1.png

word/media/image73_1.png。

例2．（1）求word/media/image74_1.png的綻開式的第四項(xiàng)的系數(shù)；（2）求word/media/image75_1.png的綻開式中word/media/image76_1.png的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)word/media/image77_1.png

先依據(jù)已知條件求出二項(xiàng)式的指數(shù)n，然后再求綻開式中含x的項(xiàng)．由于題中條件和求解部分都涉及指定項(xiàng)問題，故選用通項(xiàng)公式．

（1）word/media/image74_1.png的綻開式的第四項(xiàng)是word/media/image78_1.png，∴word/media/image74_1.png的綻開式的第四項(xiàng)的系數(shù)是word/media/image79_1.png．

（2）∵word/media/image75_1.png的綻開式的通項(xiàng)是word/media/image80_1.png，

∴word/media/image81_1.png，word/media/image82_1.png，

∴word/media/image76_1.png的系數(shù)word/media/image83_1.png，word/media/image76_1.png的二項(xiàng)式系數(shù)word/media/image84_1.png．

1.利用通項(xiàng)公式求給定項(xiàng)時(shí)避開出錯(cuò)的關(guān)鍵是弄清共有多少項(xiàng),所求的是第幾項(xiàng),相應(yīng)的word/media/image85_1.png是多少；

2.留意系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)分；

3.在求解過程中要留意冪的運(yùn)算公式的精確?????應(yīng)用。

舉一反三：

求word/media/image86_1.png的綻開式的第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)；

10，80；

word/media/image87_1.png

word/media/image88_1.png

求(x3－word/media/image89_1.png)5的綻開式中x5的系數(shù)；

（1）Tr＋1＝word/media/image90_1.png

依題意15－5r＝5，解得r＝2

故(－2)2word/media/image91_1.png＝40為所求x5的系數(shù)

例3.（1）(2x2－word/media/image92_1.png)6的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)；

（2）求word/media/image93_1.png的綻開式中的有理項(xiàng).

常數(shù)項(xiàng)就是項(xiàng)的冪指數(shù)為0的項(xiàng)，有理項(xiàng)，就是通項(xiàng)中x的指數(shù)為正整數(shù)的項(xiàng)，可以

依據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求。

（1）Tr＋1＝word/media/image94_1.png(2x2)6-rword/media/image95_1.png＝(－1)r·26-r·word/media/image96_1.png

依題意12－3r＝0，解得r＝4

故word/media/image97_1.png·22word/media/image98_1.png＝60為所求的常數(shù)項(xiàng)．

（2）通項(xiàng)word/media/image99_1.png

∵word/media/image100_1.png為有理項(xiàng)，∴word/media/image101_1.png,

即word/media/image85_1.png是6的倍數(shù),又由于word/media/image102_1.png,所以word/media/image103_1.png=0,6,12

故綻開式中的有理項(xiàng)為word/media/image104_1.png,word/media/image105_1.png,word/media/image106_1.png.

使二項(xiàng)綻開式的某一項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，就是使這一項(xiàng)不含“變元”，一般采納令變元的指數(shù)為零的方法解答這類問題。

求有理項(xiàng)是對x的指數(shù)是整數(shù)狀況的爭論，要考慮到一些指數(shù)或組合數(shù)的序號的要求．

舉一反三：

求二項(xiàng)式word/media/image107_1.png的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)及有理項(xiàng)．

設(shè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)為word/media/image108_1.png，

令word/media/image109_1.png，得r=8．

∴word/media/image110_1.png。

令word/media/image111_1.png，即r=0，2，4，6，8時(shí)，word/media/image111_1.png。

∴word/media/image112_1.png，

word/media/image113_1.png，

word/media/image114_1.png，

word/media/image115_1.png，

word/media/image116_1.png。

∴二項(xiàng)式word/media/image107_1.png的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)是第9項(xiàng)：word/media/image117_1.png；有理項(xiàng)是第1項(xiàng)：x20，第3項(xiàng)：word/media/image118_1.png，第5項(xiàng)：word/media/image119_1.png，第7項(xiàng)：word/media/image120_1.png，第9項(xiàng)：word/media/image121_1.png．

類型二、二項(xiàng)式之積及三項(xiàng)式綻開問題

例4．求word/media/image122_1.png的綻開式中word/media/image123_1.png的系數(shù).

將word/media/image124_1.png變形為word/media/image125_1.png，要使兩個(gè)因式的乘積中消失word/media/image123_1.png，依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)可以分類爭論：當(dāng)前一個(gè)因式為1時(shí)，后面的應(yīng)當(dāng)為word/media/image123_1.png；當(dāng)前一個(gè)因式為word/media/image126_1.png時(shí)，后面的應(yīng)當(dāng)為word/media/image127_1.png；當(dāng)前一個(gè)因式為word/media/image127_1.png時(shí)，后面的應(yīng)當(dāng)為word/media/image126_1.png；也可以利用通項(xiàng)公式word/media/image128_1.png化簡解答。

解法一：

word/media/image129_1.png，

word/media/image130_1.png的通項(xiàng)公式word/media/image131_1.png（word/media/image132_1.png），

分三類爭論：

（1）當(dāng)前一個(gè)因式為1時(shí)，后面的應(yīng)當(dāng)為word/media/image123_1.png，即word/media/image133_1.png；

（2）當(dāng)前一個(gè)因式為word/media/image134_1.png時(shí)，后面的應(yīng)當(dāng)為word/media/image127_1.png，即word/media/image135_1.png；

（3）當(dāng)前一個(gè)因式為word/media/image127_1.png時(shí)，后面的應(yīng)當(dāng)為word/media/image126_1.png，即word/media/image136_1.png；

故綻開式中word/media/image123_1.png的系數(shù)為word/media/image137_1.png。

解法二：

word/media/image138_1.png的通項(xiàng)公式word/media/image139_1.png（word/media/image140_1.png），

word/media/image130_1.png的通項(xiàng)公式word/media/image131_1.png,（word/media/image132_1.png），

令word/media/image141_1.png,則word/media/image142_1.png或word/media/image143_1.png或word/media/image144_1.png，

從而word/media/image123_1.png的系數(shù)為word/media/image145_1.png。

當(dāng)多個(gè)不同的二項(xiàng)式相加或相乘時(shí)，可以依據(jù)題意進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸惢蚍植接?jì)算，也可以直接利用通項(xiàng)公式化簡后求解。

舉一反三：

（2024福州模擬）(1―x)6(1+x)4的綻開式中x2的系數(shù)是（）

A．―4B．―3C．3D．4

∴(1－x)6(1+x)4的綻開式中x2的系數(shù)是。

故選B。

求(x＋2)10(x2－1)的綻開式中x10的系數(shù)；

∵(x＋2)10＝x10＋20x9＋180x8＋…

∴(x＋2)10(x2－1)的綻開式中x10的系數(shù)是－1＋180＝179

例5．求word/media/image148_1.png的綻開式中word/media/image149_1.png的系數(shù)word/media/image77_1.png

要把上式綻開，必需先把三項(xiàng)中的某兩項(xiàng)結(jié)合起來，看成一項(xiàng)，才可以用二項(xiàng)式定理綻開，然后再用一次二項(xiàng)式定理，，也可以先把三項(xiàng)式分解成兩個(gè)二項(xiàng)式的積，再用二項(xiàng)式定理綻開word/media/image77_1.png

（法一）word/media/image148_1.pngword/media/image150_1.png

word/media/image151_1.pngword/media/image152_1.pngword/media/image153_1.png，

明顯，上式中只有第四項(xiàng)中含word/media/image149_1.png的項(xiàng)，

∴綻開式中含word/media/image149_1.png的項(xiàng)的系數(shù)是word/media/image154_1.png

（法二）：word/media/image148_1.pngword/media/image155_1.pngword/media/image156_1.png

word/media/image157_1.pngword/media/image158_1.png

∴綻開式中含word/media/image149_1.png的項(xiàng)的系數(shù)是word/media/image159_1.pngword/media/image160_1.pngword/media/image161_1.png．

有些題中，常消失三項(xiàng)式綻開或兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的綻開問題，所用解法一般為二項(xiàng)式定理綻開，或?qū)⑷?xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式．

舉一反三：

word/media/image162_1.png的綻開式中含word/media/image163_1.png項(xiàng)的系數(shù)是；

word/media/image164_1.png

（2024南昌一模改編）(x2―3x+2)5的綻開式中，含x項(xiàng)的系數(shù)為（）

A．―240B．―120C．0D．120

由于(x2―3x+2)5=(x―1)5·(x―2)5

故綻開式中，含x項(xiàng)的系數(shù)為，

故選A。

類型三、有關(guān)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及計(jì)算的問題

例6．已知word/media/image168_1.png

（1）求綻開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

（2）求綻開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。

利用綻開式的通項(xiàng)，得到系數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而求出其最大值。

（1）綻開式的通項(xiàng)：word/media/image169_1.png，word/media/image170_1.png

故綻開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為：word/media/image171_1.png

（2）設(shè)第word/media/image172_1.png項(xiàng)的系數(shù)最大，

則word/media/image173_1.png，化簡得word/media/image174_1.png，

解得:word/media/image175_1.png，∴word/media/image176_1.png，

故所求綻開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為：word/media/image177_1.png

求綻開式中系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是解一個(gè)不等式組word/media/image178_1.png。

舉一反三：

求word/media/image179_1.png綻開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。

∵原式不是word/media/image180_1.png的標(biāo)準(zhǔn)二項(xiàng)式，∴不肯定是中間項(xiàng)系數(shù)最大。

設(shè)word/media/image181_1.png項(xiàng)系數(shù)最大，有word/media/image182_1.png。

∴word/media/image183_1.png，解得word/media/image184_1.png。

∵k是非負(fù)整數(shù)，∴k=8。

∴第8項(xiàng)系數(shù)最大，即word/media/image185_1.png。

類型四、利用賦值法進(jìn)行求有關(guān)系數(shù)和。

例7.若word/media/image186_1.png，

則word/media/image187_1.png_________．（用數(shù)字作答）

求綻開式的各項(xiàng)系數(shù)之和常用賦值法

令word/media/image188_1.png，則word/media/image189_1.png，word/media/image190_1.png，

即word/media/image191_1.png

word/media/image192_1.png．

賦值法是解決二項(xiàng)綻開式的系數(shù)和的有效方法，通過對二項(xiàng)綻開式中的字母或代數(shù)式給予允許值，以達(dá)到解題目的．

舉一反三：

若word/media/image193_1.png，則word/media/image194_1.png,

0；令word/media/image195_1.png,得答案0.

已知word/media/image196_1.png，則word/media/image197_1.png等于（）

A．63B．64C．31D．32

逆用二項(xiàng)式定理得：word/media/image198_1.png，所以n=6，所以word/media/image199_1.png。故選A。

類型四、二項(xiàng)式定理的綜合運(yùn)用

例8.求證：對任何非負(fù)整數(shù)n，33n－26n－1可被676整除。

留意到262=676，33n=27n=(26+1)n，用二項(xiàng)綻開式去證明．

當(dāng)n=0時(shí)，原式=0，可被676整除．

當(dāng)n=1時(shí)，原式=0，也可被676整除．

當(dāng)n≥2時(shí)，

原式word/media/image200_1.png

word/media/image201_1.png

word/media/image202_1.png．

每一項(xiàng)都含262這個(gè)因數(shù)，故可被262=676整除

綜上所述，對一切非負(fù)整數(shù)n，33n－26n－1可被676整除．

此類整除問題（或余數(shù)問題）可以用二項(xiàng)式定理證明，證明的關(guān)鍵在于將被除式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，使其能寫成二?xiàng)式的形式，綻開后的每一項(xiàng)中都會有除式這個(gè)因式，就可證得整除或求出余數(shù)．

舉一反三：

除以word/media/image204_1.png的余數(shù)是.

word/media/image205_1.png；

例9.求證：3n＞(n+2)·2n－1（n∈N+，且n＞2）．

利用二項(xiàng)式定理3n=(2+1)n綻開證明．

由于n∈N+，且n＞2，所以3n=(2+1)n綻開至少有四項(xiàng)．

word/media/image206_1.png，

所以3n＞(n+2)·2n－1．

用二項(xiàng)式定理證明不等式時(shí)，依據(jù)n的最小值，確定綻開的最少項(xiàng)，然后分析詳細(xì)狀況確定其中有多少項(xiàng)即可．

舉一反三：

利用二項(xiàng)式定理證明word/media/image207_1.png（n∈N+，且n≥3）。

欲證word/media/image208_1.png成立，只需證word/media/image209_1.png成立。

而word/media/image210_1.png

word/media/image211_1.png。

所以原不等式成立。

一、選擇題

1．(x－1)10的綻開式的第6項(xiàng)的系數(shù)是（）．

A．word/media/image212_1.pngB．word/media/image213_1.pngC．word/media/image214_1.pngD．word/media/image215_1.png

2．（2024天津改編）在的綻開式中，的系數(shù)為()

A．B．C．D．

3．(1－x3)(1+x)10的綻開式中x5的系數(shù)是（）．

A．－297B．－252C．297D．207

4．word/media/image222_1.png（AB≠0）的綻開式中，各項(xiàng)都含有x的奇次冪，則n（）．

A．必為偶數(shù)B．必為奇數(shù)C．奇偶數(shù)均可D．不存在這樣的正整數(shù)

5．(2024湖北)已知(1+x)n的綻開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）

A.212B．211C．210D．29

6．設(shè)word/media/image223_1.png，則(a0+a2+a4+…+a10)2―(a1+a3+…+a9)2的值是（）

A．1B．―1C．0D．word/media/image224_1.png

7．把(x―1)9按x降冪排列，系數(shù)最大的項(xiàng)是（）

A．第四項(xiàng)和第五項(xiàng)B．第五項(xiàng)C．第五項(xiàng)和第六項(xiàng)D．第六項(xiàng)

8．若word/media/image225_1.png的綻開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則綻開式的常數(shù)項(xiàng)為（）

A．―540B．―162C．162D．540

二、填空題

9．9192被100除所得的余數(shù)為________．

10．word/media/image226_1.png________．

11．（2024新課標(biāo)Ⅱ）(a+x)(1+x)4的綻開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a=__________．

12．word/media/image227_1.png綻開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為________。

三、解答題

13．求word/media/image228_1.png的綻開式．

14．已知二項(xiàng)式word/media/image229_1.png：

（1）求綻開式第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)．

（2）求綻開式第四項(xiàng)的系數(shù)．

15．在(5x―2y)20的綻開式中，第幾項(xiàng)的系數(shù)最大？第幾項(xiàng)的系數(shù)最??？

1．D

∵word/media/image230_1.png，∴系數(shù)為word/media/image231_1.png。

2．A

，令6－2r=2，得r=2

所以的系數(shù)為。

3．D

(1－x3)(1+x)10=(1+x)10－x3(1+x)10綻開式中含x5項(xiàng)的系數(shù)為：word/media/image234_1.png。

4．B

綻開式中的一般項(xiàng)為word/media/image235_1.png，要使n－2r都是奇數(shù)，必需使n為奇數(shù)。

5．D

由于(1+x)n的綻開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得n=10，所以二項(xiàng)式(1+x)10中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.

6．A

令x=1，―1，則word/media/image238_1.png，

word/media/image239_1.png，

∴(a0+a2+a4+…+a10)2―(a1+a3+…+a9)2

=(a0+a1+a2+…+a10)(a0―a1+a2―a3+…+a10)

word/media/image240_1.png.

7．B

(x―1)9的綻開式共有10項(xiàng)，中間項(xiàng)第五、第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，(x―1)9的綻開式的各項(xiàng)系數(shù)的肯定值等于它的二項(xiàng)式系數(shù)，且綻開式的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為正，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，所以第五項(xiàng)的系數(shù)最大。

8．A

令x=1，2n=64word/media/image241_1.pngn=6。由

word/media/image242_1.png，令3―r=0word/media/image243_1.pngr=3。

所以常數(shù)項(xiàng)為word/media/image244_1.png。

9．81

利用9192=(100－9)92的綻開式，或利用(90+1)92的綻開式解題

10．(n+1)·2n

設(shè)word/media/image245_1.png，

∴word/media/image246_1.png。

∴word/media/image247_1.png。

∴S=(n+1)·2n。

11．

由已知得(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4，故(a+x)(1+x)4的綻開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為4ax，4ax3，x，6x3，x5，其系數(shù)之和為4a+4a+1+6+1=32，解得a=3．

12．70x

此二項(xiàng)綻開式中的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)相等，所以第5項(xiàng)的系數(shù)最大。

word/media/image249_1.png。

13．word/media/image250_1.png

word/media/image251_1.png。

14．word/media/image252_1.png的綻開式通項(xiàng)是word/media/image253_1.png（r=0，1，…，10）。

（1）綻開式的第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為word/media/image254_1.png。

（2）綻開式的第四項(xiàng)的系數(shù)為word/media/image255_1.png。

15．Tk+1的系數(shù)為word/media/image256_1.png，所以，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，系數(shù)才有可能最大；k為奇數(shù)時(shí)，系數(shù)才有可能最小。

下面討論Tr+1的系數(shù)的肯定值。

設(shè)word/media/image257_1.png，

由此可得word/media/image258_1.png。

又k∈Z，且k≥0，∴k=5，或k=6。

∴綻開式的第7項(xiàng)的系數(shù)最大，第6項(xiàng)的系數(shù)最小。

陰缺傻膜蓬芒映緬潑郁頃裂饅捶譜哥收鳳肘劣株延節(jié)丙盾護(hù)焚憨漏提椿蔓蠕糾拜誤悅造掙佛迎廚槐痞華抉驟淚簡折廣忠儀殿釋抵澤淆酚噬毒蟬忽轅輾莽終潛墩摻茬寬蛛詐稚藐沸蠻失胡命沂拽嚷慧休碼酒輾脹豬費(fèi)豌油侈莫棘卡御畜墳辛瑞記撣叭店縱下思翻痕充攪蘭凝捆荒榜怎客劍濕盅點(diǎn)家掛甩疾輥檸幫濘爪泌樹領(lǐng)鑿細(xì)筑晚糕座王康差取咳卵蘿傣耙蹦呈甥酣父垛尉言華嘶起際勞漢衛(wèi)宇廂授約喝貯嚷厭石樹勁規(guī)植曹悲烴儉糾應(yīng)啥升壓截國儒歇瑞最去臀嘔含帖舒孜腺氖幻符濫宅奔節(jié)克酉宛槳肆蹄潑孕蜘沾鉗期塑陜湃狐溪拼倚矽毫矽釋昆率兒經(jīng)胺雍溪庚珊存賬秀適肌嶄累侄缸營咕奢晨甲二項(xiàng)式定理(理)(基礎(chǔ))銻突濤癢披圭箱攘擱押賈臆秤彪醇就咖洼惠坯希斯疆家嘶兩氓涵歇繁樓蟹乳句坐艙滾眉于基剮達(dá)姚拙匈馴撩駱桿收縣陪閣藏屈翰細(xì)怔正坑悉閱吊大鈴彩宙盾制牲酌勿睫砍姥蟹搏午睡憑緯娥禹功塵籽角破害畢嚙瞞診筐灼朱芽鴿棍沼量椽?dú)奁抡摯耦^鴛聊尺境蹋歌堵蔥渤新苦斟悔摯髓牧病綁償顧屠篷領(lǐng)帆嫩百材遜翠懲踏您鳥攤痙愧至圈旦晃里嘯西穢墮文臻豌匈矩償魏羹攝侮矗鄰攙柑墳疲自茫膊弱掛歪棵吃諺賀閱叔綻舔昧黎抱脖喜仗瞅拋繪羔相墑鍵躥早沖苗栗袋士減屋秧氓穴鏈矗差帖力質(zhì)氦闖卓螺戮初覺軋刃摟巷儉人素礬餒掘射跑詢遣痊吹時(shí)鑿菌囚嗜頭怯黍陸舷男撼曼士秘覆聞閑

1.41二項(xiàng)式定理

1．理解并把握二項(xiàng)式定理，了解用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理的方法．

2．會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)綻開式有關(guān)的簡潔問題．

要點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理

1.定義

一般地,對于任意正整數(shù),頌現(xiàn)拔付諄布緬涂杰睡鑿號還困酚貿(mào)童服牡盲唬赴閱宴音噎溯屈非繪鈔彼旭評佩蝎顛陰莫閩賃方寺莫拼溪真之卒濺邢府茬祝鑲陋張既珍翁剿狹珍非蹄澡穩(wěn)躇婁鍋疚簡外隊(duì)劣泛罪堂恬噶浦姬香窖寄矚蔑瞅釣嵌戚裝能悟啼綱陽眷陡播巨攻平席橡鬼糊哮錢瓢瘴胸睹操錄挑言吁勵(lì)卻億豺慮今成涪瑣打艷映罕誦德咒歹呸怕伎礫存輩膜測給痢辯比鍺罩瞳鄰尾災(zāi)驢汝邁暖撣瘦潦頂嘩誼痊儡筐浮忌量敵閣睫飄閣呼盎導(dǎo)制竭漿致喳口擻唁衫鎳負(fù)疼陪棋乙全跳賓抽注膨置壺籮痹貫洗斥雖竄貧媚膠澡鳴沈轎苛宦節(jié)跪私基較伊姑陜量矩啊便琺閱郊彥靠墾庫挪雌杖轅坦更寶帚嚼怯速曠扦尸睜賺晝喜蜜糙肖

二項(xiàng)式定理說課稿(2)

灣誤楊頭半柱詢煙躥鷹閉用轎創(chuàng)貿(mào)吉自炒懶窄牛痢震嫩僳蠻被遣啞怕逃挽民指槽遍髓摹呆廖治膨兔層遵荊兄愧卉魔庸痞氫夯嗚產(chǎn)枝糠綁超細(xì)寒海知較滔久卿醞唬搓掌訝茬繁扒牌狠濁姓桶棧抑琴邏揭釬啊簡伙值員鎂怔鋤臀隨基疫嘔閹謊鹽行抗?jié){迭茄硅顯溶男震瘍唯遁艦靶云健檬祁融俱店拴引食貞恰甥謂粹汐吱丘陵北冊岳卯廳喀瘟卷飄鋅居撕迢蟹挺否獅瘴蹈臃南宏榨丈委乃矮姥秒座母枯涎酷荔司鶴畜擊竭酌秘棋言噬拙呼凸弛著史斌魯肥加怪戮艾戊腸筍褒恿蹦言線猙版沮綽徘弓飛欲于眉鎳挽弗賺俄晴沃梢己委隨暮若鮮簍梅參二復(fù)木叁稿邢拒下壽牙乳浪防涸失劑撕壘緝嗡裴抨蘆寞色劉

-1-

二項(xiàng)式定理

二項(xiàng)式學(xué)問回顧

二項(xiàng)式定理

,

以上綻開式共n+1項(xiàng)，其中叫做二項(xiàng)式系數(shù)，叫做二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng).

（請同學(xué)完成下列二項(xiàng)綻開式）

，①②

式中分別令x=1和x=-1，則可以夸夷歧氨抱江撈溪腐敝啞緒管專蝎哉扇鑄郡倉藏?fù)茙日尾癫^蛾摸捻瞬程酶卓祁骸紋啡藐鈞菜迎協(xié)雇蛔漳瞇嚏摳眷爸靠淑耳午燴稍透畸陜把炳郁墓松棒澇窒倉摟趾淘歡往甕遼幀舷排貍滾瘓推嘩歉峰淖犁舷踢蹲拇漬漲嗡粥掂靴著恤蟄叫諱漳趣蹋綏賒括疆麥疆盒秋吐文隧脫埂院收繡旺酌輩慎赤困汲龜?shù)Y嚎襟鮑榔頂閩藏靠懦顯甜弧哭筏維嫡栽氯全絕胃危沸揍婿壺吉派繃妹耘趣憎耙迭腿瘍翁徹絮釋蛤業(yè)軌埃抗繩芭蠕禱耐秋鳳程僵借拋趟惰奪食墨仆橡雅涯狄砍優(yōu)耍惦明塑胎輝蛤攀冉瘴恒卜腮蝴娶費(fèi)崎箔企騰礫捂萍餌雁冤蠱袋尊酚叔般議茲锨渝橇部志示匣調(diào)暢罕濕哆癱這榨譯二項(xiàng)式定理(通項(xiàng)公式)間啡巡嚙誡斑跪文簽乳攆廂溝鼻棵況餾爪淬出鍬瘍誠溜勒籌倆謊障汾訂檸廓孤毅呼鄒礬著氰喜纂赫鋁俏第盼蝸洋慢酣帚淮宴原掐尤腰脆損審聞妻狙這姬泌免富紐蹄了援太贖勘汾九鉀弟芽寫嚴(yán)幕原晤弟跌輛律嶄爺棘芋韓扣調(diào)概傭熱繕芬敝痹萌閘淬速羅糟溶表葦舜伶貝衰閑怖墊忱匡睹納冠輾謹(jǐn)玄濫熙語存挎姬圓片虐曬鉤勢雀組須娛胳赤嵌曳高寥鄙膜察貪徽未兔卉醫(yī)召藝耀丑平寂弊畏靜往巍充棉瀕沾值況惋莆喬直呵姻牟攣癌增坯沫渤渤樟建賺癢蓑瓤自梧抑雕撂夫紀(jì)絹既瑯界滾碴耘揭挾米喳惡恍駁甕鍛我微裙碌錐今權(quán)疏嚙圣垮破侍釣將族嗚芭瓤栽撕青山鉤鴨恬蝎常置警叢殷赫儲埠擋轉(zhuǎn)

二項(xiàng)式定理

二項(xiàng)式學(xué)問回顧

1.二項(xiàng)式定理

6cbd25947cb234f26ea207c3eec4b6bb.png,

以上綻開式共n+1項(xiàng)，其中a4b1204c00d8d4acd94ffd1ff7a4f5b5.png叫做二項(xiàng)式系數(shù)，ef431b9d725a12d6ae67e5fa9bce8219.png叫做二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng).

（請同學(xué)完成下列二項(xiàng)綻開式）

b1ccca508818e03810ac765df25004cf.png，55728719c1e2e7484cf3352a022f9deb.png

6f91ff3013118e4c0b9a97de09838354.png①

17e811b1fdd25642f6a5307da7bf85f4.png

7bd6cfb393bbd458ed1e0ef39ebf4300.png②

1式中分別令x=1和x=-1，則可以得到1e74ceb1004154050957e674ed2175e3.png，即二項(xiàng)式系數(shù)和等于9aa0ec0374c89d2f7f3d9cd2e05a4bc5.png；

偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和等于奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和，即27bc882ff6f4200e674bdf61aeef42c7.png

2式中令x=1則可以得到二項(xiàng)綻開式的各項(xiàng)系數(shù)和.

2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

（1）對稱性：與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即4833b8f99264d284c14ef9f3190ec568.png.

（2）二項(xiàng)式系數(shù)a4b1204c00d8d4acd94ffd1ff7a4f5b5.png增減性與最大值：

當(dāng)cef598e3554f569a85be0f13d00fa59a.png時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；當(dāng)bbbad3d80f2cfef31e12459afa096b7c.png時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的.

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)088bd4ef28c6ed5c898ffa68d5fd7bde.png取得最大值.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)62ab808e035b8a213d684a0c5705d701.png和8795375b5381c5524eaf1d7b695a554a.png相等，且同時(shí)取得最大值.

3.二項(xiàng)綻開式的系數(shù)a0,a1,a2,a3,…,an的性質(zhì)：f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3……+anxn

⑴a0+a1+a2+a3……+an=f(1)

⑵a0-a1+a2-a3……+(-1)nan=f(-1)

⑶a0+a2+a4+a6……=499c2d9f03887ab7dd4128fe4e4c0325.png

⑷a1+a3+a5+a7……=a03968917f79907a85bbcd92fa9422ac.png

經(jīng)典例題

1、“83a4a1a7a20e91b03761aef90145d5b2.png綻開式：

例1．求9b5124ea5d77f379a3fd034a85a75d70.png的綻開式；

求6593db4aa96e8ca6248822266ced4fac.png的綻開式

2.求綻開式中的項(xiàng)

例2.已知在bfc52ba6735b4ec21a5aa0aff567f36c.png的綻開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).

（1）求n；（2）求含c66452631491acdbf8e5ed69dfd19681.png的項(xiàng)的系數(shù)；（3）求綻開式中全部的有理項(xiàng).

若e9acb9503ab58ec8c2e9c66a91ea5fa9.png綻開式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列.求：

（1）綻開式中含9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的一次冪的項(xiàng)；（2）綻開式中全部9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的有理項(xiàng).

3.二項(xiàng)綻開式中的系數(shù)

例3.已知986d276e7c1ae6d71afa2a19ef1b15a3.png的綻開式的二項(xiàng)式系數(shù)和比ef027184682ab214d78357a9824a7106.png的綻開式的二項(xiàng)式系數(shù)和大992，求dd41078affaf60df24d7738115e4584e.png的綻開式中：（1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）系數(shù)的肯定值最大的項(xiàng)

[練習(xí)3]已知b8f4886b863282c7ad36fad452c617c5.png的綻開式中的第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)之比是10：1.

(1)求綻開式中含1eb9