數(shù)學(xué)歸納法(重點(diǎn))

千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁(yè)/共2頁(yè)精品文檔推薦數(shù)學(xué)歸納法(重點(diǎn))

教學(xué)過(guò)程

一.課程導(dǎo)入：

多米諾骨牌試驗(yàn)

要使全部的多米諾骨牌一一倒下？需要幾個(gè)步驟才干做到？

（1）第一張牌被推倒（奠基作用）

（2）隨意一張牌倒下必需保證它的下一張牌倒下（遞推作用）于是可以獲得結(jié)論：多米諾骨牌會(huì)所有倒下。

從上面的例子我們是否也許了解我們這節(jié)課的內(nèi)容呢?

二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)

復(fù)習(xí)時(shí)要抓住數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)命題的原理，明晰其內(nèi)在的聯(lián)系，掌握數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)命題的普通步驟，熟知每一步之間的區(qū)分聯(lián)系，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法在證實(shí)命題中的應(yīng)用技巧

三、學(xué)問(wèn)講解

考點(diǎn)1、歸納法

由一系列有限的特別事例得出普通結(jié)論的推理辦法，通常叫做歸納法．按照推理過(guò)程中考查的對(duì)象是涉及事物的全體或部分可分為徹低歸納法和不徹低歸納法．

考點(diǎn)2、數(shù)學(xué)歸納法

(1)數(shù)學(xué)歸納法：設(shè){Pn}是一個(gè)與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，假如：①證實(shí)起始命題P1(或P0)成立；②在假設(shè)Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以斷定{Pn}對(duì)一切正整數(shù)成立．

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，其步驟為：

①歸納奠基：證實(shí)當(dāng)取第一個(gè)自然數(shù)n0時(shí)命題成立；

②歸納遞推：假設(shè)n＝k，(k∈N*，k≥n0)時(shí)，命題成立，證實(shí)當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立；

③由①②得出結(jié)論．

四、例題精析

考點(diǎn)一數(shù)學(xué)歸納法原理

【例題1】

【題干】在用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)“2n>n2對(duì)從n0開(kāi)頭的全部正整數(shù)都成立”時(shí)，第一步驗(yàn)證的n0等于A．1B．3C．5D．7

【答案】C

【解析】n的取值與2n，n2的取值如下表：

因?yàn)?n的增長(zhǎng)速度要遠(yuǎn)大于n2的增長(zhǎng)速度，故當(dāng)n>4時(shí)恒有2n>n2.

考點(diǎn)二用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)恒等式【例題2】

【題干】是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=

12)1

(

n

n(an2+bn+c)

【答案】見(jiàn)解析

【解析】假設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立，

這時(shí)令

n=1,2,3,有?????===∴?????????++=++=++=101133970)24(2122)(614cbacbacbacba于是，對(duì)n=1,2,3下面等式成立

1·22+2·32+…+n(n+1)2=)10113(12

)1(2+++nnnn記Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2

設(shè)n=k時(shí)上式成立，即Sk=12

)1(+kk(3k2+11k+10)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=2

)1(+kk(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=12

)2)(1(++kk(3k2+5k+12k+24)=12

)2)(1(++kk［3(k+1)2+11(k+1)+10］

也就是說(shuō)，等式對(duì)n=k+1也成立

綜上所述，當(dāng)a=3,b=11,c=10時(shí)，題設(shè)對(duì)一切自然數(shù)n均成立

考點(diǎn)三用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)不等式

【例題3】

【題干】試證實(shí)不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時(shí)，均有an+cn＞2bn

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=q

b,c=bq(q＞0且q≠1)∴an+

cn=nn

qb+bnqn=bn(nq1+qn)＞2bn

(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，

則2b=a+c猜測(cè)2nnca+＞(2

ca+)n(n≥2且n∈N*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)①當(dāng)n=2時(shí)，由

2(a2+c2)＞(a+c)2，∴222)2(2caca+>+②設(shè)

n=k時(shí)成立，即,)2

(2kkkcaca+>+則當(dāng)n=k+1時(shí)，41211=+++kkca(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞41(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=41(ak+ck)(a+c)＞(2ca+)k·(2ca+)=(2ca+)k+1