2013四川高考數(shù)學(xué)(理科)答案及解析

年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(四川卷)第Ⅰ卷(選擇題共50分)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．1．(2013四川，理1)設(shè)集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，則A∩B＝()．A．{－2}B．{2}C．{－2,2}D．2．(2013四川，理2)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()．A．AB．BC．CD．D3．(2013四川，理3)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()．4．(2013四川，理4)設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題p：x∈A,2x∈B，則()．A．p：x∈A,2xBB．p：xA,2xBC．p：xA,2x∈BD．p：x∈A,2xB5．(2013四川，理5)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是()．A．2，B．2，C．4，D．4，6．(2013四川，理6)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2－＝1的漸近線的距離是()．A．B．C．1D．7．(2013四川，理7)函數(shù)的圖象大致是()．8．(2013四川，理8)從1,3,5,7,9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個(gè)數(shù)是()．A．9B．10C．18D．9．(2013四川，理9)節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈．這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮．那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2秒的概率是()．A．B．C．D．10．(2013四川，理10)設(shè)函數(shù)f(x)＝(a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若曲線y＝sinx上存在點(diǎn)(x0，y0)使得f(f(y0))＝y(tǒng)0，則a的取值范圍是()．A．[1，e]B．[e－1－1,1]C．[1，e＋1]D．[e－1－1，e＋1]第Ⅱ卷(非選擇題共100分)二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11．(2013四川，理11)二項(xiàng)式(x＋y)5的展開式中，含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是__________．(用數(shù)字作答)12．(2013四川，理12)在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，＋＝λ，則λ＝__________.13．(2013四川，理13)設(shè)sin2α＝－sinα，α∈，則tan2α的值是__________．14．(2013四川，理14)已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是__________．15．(2013四川，理15)設(shè)P1，P2，…，Pn為平面α內(nèi)的n個(gè)點(diǎn)，在平面α內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)P到點(diǎn)P1，P2，…，Pn的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)P1，P2，…，Pn的一個(gè)“中位點(diǎn)”，例如，線段AB上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)A，B的中位點(diǎn)，現(xiàn)有下列命題：①若三個(gè)點(diǎn)A，B，C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點(diǎn)；②直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；③若四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D共線，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一；④梯形對(duì)角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)．其中的真命題是__________．(寫出所有真命題的序號(hào))三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．(2013四川，理16)(本小題滿分12分)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a3＝8，且a4為a2和a9的等比中項(xiàng)，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公差及前n項(xiàng)和．

19．(2013四川，理19)(本小題滿分12分)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點(diǎn)，P是線段(1)在平面ABC內(nèi)，試作出過點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l⊥平面ADD1A1(2)設(shè)(1)中的直線l交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，求二面角A－A1M－N

20．(2013四川，理20)(本小題滿分13分)已知橢圓C：(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P.(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)過點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

21．(2013四川，理21)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝其中a是實(shí)數(shù)．設(shè)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且x1＜x2.(1)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，且x2＜0，求x2－x1的最小值；(3)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線重合，求a的取值范圍．

2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(四川卷)第Ⅰ卷(選擇題共50分)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．1．答案：A解析：由題意可得，A＝{－2}，B＝{－2,2}，∴A∩B＝{－2}．故選A．2．答案：B解析：復(fù)數(shù)z表示的點(diǎn)與其共軛復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱．3．答案：D解析：由三視圖可知該幾何體為一個(gè)上部為圓臺(tái)、下部為圓柱的組合體，故選D．4．答案：D5．答案：A解析：由圖象可得，，∴T＝π，則ω＝＝2，再將點(diǎn)代入f(x)＝2sin(2x＋φ)中得，，令＋φ＝2kπ＋，k∈Z，解得，φ＝2kπ－，k∈Z，又∵φ∈，則取k＝0，∴φ＝.故選A．6．答案：B解析：由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，雙曲線的漸近線方程為，即x－y＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離.7．答案：C解析：由函數(shù)解析式可得，該函數(shù)定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；取x＝－1，y＝＝＞0，故再排除B；當(dāng)x→＋∞時(shí)，3x－1遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于x3的值且都為正，故→0且大于0，故排除D，選C．8．答案：C解析：記基本事件為(a，b)，則基本事件空間Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20個(gè)基本事件，而lga－lgb＝，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使的值相等，則不同值的個(gè)數(shù)為20－2＝18(個(gè))，故選C．9．答案：C解析：設(shè)兩串彩燈第一次閃亮的時(shí)刻分別為x，y，則由題意可得，0≤x≤4,0≤y≤4；而所求事件“兩串彩燈同時(shí)通電后，第一次閃亮相差不超過2秒”＝{(x，y)||x－y|≤2}，由圖示得，該事件概率.10．答案：A解析：由題意可得，y0＝sinx0∈[－1,1]，而由f(x)＝可知y0∈[0,1]，當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝為增函數(shù)，∴y0∈[0,1]時(shí)，f(y0)∈[1，]．∴f(f(y0))≥＞1.∴不存在y0∈[0,1]使f(f(y0))＝y(tǒng)0成立，故B，D錯(cuò)；當(dāng)a＝e＋1時(shí)，f(x)＝，當(dāng)y0∈[0,1]時(shí)，只有y0＝1時(shí)f(x)才有意義，而f(1)＝0，∴f(f(1))＝f(0)，顯然無意義，故C錯(cuò)．故選A．第Ⅱ卷(非選擇題共100分)注意事項(xiàng)：必須使用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內(nèi)作答．作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚，答在試題卷上無效．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11．答案：10解析：由二項(xiàng)式展開系數(shù)可得，x2y3的系數(shù)為＝＝10.12．答案：2解析：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，＋＝＝2，∴λ＝2.13．答案：解析：∵sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα.又∵α∈，∴cosα＝.∴sinα＝.∴sin2α＝，cos2α＝2cos2α－1＝.∴tan2α＝＝.14．答案：(－7,3)解析：當(dāng)x≥0時(shí)，令x2－4x＜5，解得，0≤x＜5.又因?yàn)閒(x)為定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，則不等式f(x＋2)＜5等價(jià)于－5＜x＋2＜5，即－7＜x＜3；故解集為(－7,3)．15．答案：①④解析：由“中位點(diǎn)”可知，若C在線段AB上，則線段AB上任一點(diǎn)都為“中位點(diǎn)”，C也不例外，故①正確；對(duì)于②假設(shè)在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如圖所示，點(diǎn)P為斜邊AB中點(diǎn)，設(shè)腰長為2，則|PA|＋|PB|＋|PC|＝|AB|＝，而若C為“中位點(diǎn)”，則|CB|＋|CA|＝4＜，故②錯(cuò)；對(duì)于③，若B，C三等分AD，若設(shè)|AB|＝|BC|＝|CD|＝1，則|BA|＋|BC|＋|BD|＝4＝|CA|＋|CB|＋|CD|，故③錯(cuò)；對(duì)于④，在梯形ABCD中，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為O，在梯形ABCD內(nèi)任取不同于點(diǎn)O的一點(diǎn)M，則在△MAC中，|MA|＋|MC|＞|AC|＝|OA|＋|OC|，同理在△MBD中，|MB|＋|MD|＞|BD|＝|OB|＋|OD|，則得，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＞|OA|＋|OB|＋|OC|＋|OD|，故O為梯形內(nèi)唯一中位點(diǎn)是正確的．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．解：設(shè)該數(shù)列公差為d，前n項(xiàng)和為Sn.由已知，可得2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d所以，a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，解得a1＝4，d＝0，或a1＝1，d＝3，即數(shù)列{an所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝4n或Sn＝.17．解：(1)由2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝，得[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝，即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝.則cos(A－B＋B)＝，即cosA＝.(2)由cosA＝，0＜A＜π，得sinA＝，由正弦定理，有，所以，sinB＝.由題知a＞b，則A＞B，故.根據(jù)余弦定理，有＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(舍去)．故向量在方向上的投影為||cosB＝.18．解：(1)變量x是在1,2,3，…，24這24個(gè)整數(shù)中隨機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)數(shù)，共有24種可能．當(dāng)x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值為1，故P1＝；當(dāng)x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值為2，故P2＝；當(dāng)x從6,12,18,24這4個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值為3，故P3＝.所以，輸出y的值為1的概率為，輸出y的值為2的概率為，輸出y的值為3的概率為.(2)當(dāng)n＝2100時(shí)，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻率如下：輸出y的值為1的頻率輸出y的值為2的頻率輸出y的值為3的頻率甲乙比較頻率趨勢(shì)與概率，可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大．(3)隨機(jī)變量ξ可能的取值為0,1,2,3.P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，故ξ的分布列為ξ0123P所以，Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.即ξ的數(shù)學(xué)期望為1.19．解：(1)如圖，在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)P作直線l∥BC，因?yàn)閘在平面A1BC外，BC在平面A1BC內(nèi)，由直線與平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC．由已知，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，所以，BC⊥AD，則直線l⊥AD．因?yàn)锳A1⊥平面ABC，所以AA1⊥直線l.又因?yàn)锳D，AA1在平面ADD1A1內(nèi)，且AD與AA1所以直線l⊥平面ADD1A1(2)解法一：連接A1P，過A作AE⊥A1P于E，過E作EF⊥A1M于F，連接AF由(1)知，MN⊥平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面A1MN.所以AE⊥平面A1MN，則A1M⊥AE所以A1M⊥平面AEF，則A1M⊥故∠AFE為二面角A－A1M－N的平面角(設(shè)為θ設(shè)AA1＝1，則由AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1.又P為AD的中點(diǎn)，所以M為AB中點(diǎn)，且AP＝，AM＝1，所以，在Rt△AA1P中，A1P＝；在Rt△A1AM中，A1M＝.從而，.所以sinθ＝.所以cosθ＝.故二面角A－A1M－N的余弦值為.解法二：設(shè)A1A＝1.如圖，過A1作A1E平行于B1C1，以A1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(點(diǎn)O與點(diǎn)A1重合)．則A1(0,0,0)，A(0,0,1)．因?yàn)镻為AD的中點(diǎn)，所以M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)．故M，N.所以＝，＝(0,0,1)，＝(，0,0)．設(shè)平面AA1M的一個(gè)法向量為n1＝(x1，y1，z1則即故有從而取x1＝1，則y1＝，所以n1＝(1，，0)．設(shè)平面A1MN的一個(gè)法向量為n2＝(x2，y2，z2)，則即故有從而取y2＝2，則z2＝－1，所以n2＝(0,2，－1)．設(shè)二面角A－A1M－N的平面角為θ又θ為銳角，則cosθ＝＝.故二面角A－A1M－N的余弦值為.20．解：(1)由橢圓定義知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝，所以.又由已知，c＝1.所以橢圓C的離心率.(2)由(1)知，橢圓C的方程為＋y2＝1.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)．(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與橢圓C交于(0,1)，(0，－1)兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.(2)當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2.因?yàn)镸，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，則|AM|2＝(1＋k2)x12，|AN|2＝(1＋k2)x22.又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.由，得，即.①將y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞.由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝，代入①中并化簡(jiǎn)，得.③因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y＝kx＋2上，所以，代入③中并化簡(jiǎn)，得10(y－2)2－3x2＝18.由③及k2＞，可知0＜x2＜，即x∈∪.又滿足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈.由題意，Q(x，y)在橢圓C內(nèi)，所以－1≤y≤1.又由10(y－2)2＝18＋3x2有(y－2)2∈且－1≤y≤1，則y∈.所以，點(diǎn)Q的軌跡方程為10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈.21．解：(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，單調(diào)遞增區(qū)間為[－1,0)，(0，＋∞)．(2)由導(dǎo)數(shù)的