zernike多項式及其在低溫光學(xué)中的應(yīng)用

Zernike多項式及其在低溫光學(xué)中的應(yīng)用摘要：Zernike多項式不但能精確地表示一個表面，還具有很多其它優(yōu)點，在工程項目中得到了廣泛的應(yīng)用，特別是用以描述鏡面面型。光學(xué)元件從室溫降低至運行溫度時，就會發(fā)生面形變化，因而對光學(xué)成像質(zhì)量和探測器靈敏度有很大影響。Zernike多項式在低溫光學(xué)中的應(yīng)用包括鏡面溫度場的擬合以及鏡面面形擬合。擬合編程用Matlab軟件實現(xiàn)，用最小二乘法對超定方程進行編程求解。最后給出了一個動鏡的Zernike面形擬合實例。Zernike多項式擬合的結(jié)果可以導(dǎo)入光學(xué)分析軟件(ZEMAX)中，求出各個像差，進行熱分析綜合評價。關(guān)鍵字：Zernike多項式低溫光學(xué)鏡面面形熱分析0引言隨著空間技術(shù)的不斷發(fā)展，對地探測、大氣觀測、及天體觀測等應(yīng)用衛(wèi)星也不斷地發(fā)展。這些衛(wèi)星大都需要探測器及其相關(guān)儀器來實現(xiàn)觀測任務(wù)。對于這些探測器和儀器來說，最主要的是減少放大器的噪聲和宇宙輻射背景的噪聲，來提高探測器的靈敏度和成像的質(zhì)量。由于空間背景的平均溫度低于4K，光學(xué)系統(tǒng)的熱輻射成了紅外探測系統(tǒng)的主要熱背景來源。為了提高探測器的靈敏度，就需要降低光學(xué)系統(tǒng)本身的溫度。工作在低溫條件下的光學(xué)系統(tǒng)，與常規(guī)的光學(xué)系統(tǒng)有很大的不同。當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)從室溫降低至運行溫度時，就會發(fā)生熱變形，特別是光學(xué)元件的面形的改變，對光學(xué)成像質(zhì)量有很大的影響。在光學(xué)元件發(fā)生變形的時候，元件的表面就變的不規(guī)則起來，此時就不能用一般的標(biāo)準(zhǔn)方程來描述。有很多方法用以描述計算光學(xué)元件的表面面形，如最小二乘法、Gram-Schmidt方法、協(xié)方差法和SVD法，但是最理想的一種方法是Zernike多項式法。由于它的正交特性，它對于測量數(shù)據(jù)點兩維的多項式擬合是非?？尚械腫1]。1Zernike多項式自1934年F.Zernike構(gòu)造出Zernike多項式以來，它在工程項目中得到了廣泛的應(yīng)用，特別是用以描述鏡面面型。它不但能精確地表示一個表面，還具有很多其它優(yōu)點：它具有良好的數(shù)學(xué)性能，多項式之間是正交的和獨立的；多項式的前幾項的值和光學(xué)系統(tǒng)的初級相差相對應(yīng)。Zernike多項式描述了表面變形而多出的那部分值，其表達式為：（1）式中：——多項式第i項的系數(shù)；——徑向長度除以最大的徑向值；——角度；N——多項式的最大項數(shù)。根據(jù)文獻[2]，該表達式一般取到第28項就足夠精確。熱分析變形得到的結(jié)果是由直角坐標(biāo)系的變形值，因此需要把公式轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)系。如表1為的直角坐標(biāo)表達式。表1的直角坐標(biāo)表達式抹項鋪數(shù)單i趕直角坐標(biāo)撞系表達式柱項觀數(shù)畝i勢直角坐標(biāo)刃系表達式縣1安1算15孟2夾16右3古17攀4鈔18言5身19紋6靠20們7師21龜8莫22血9舍23難10橡24請11皆25籌12粒26況13野27州14葛282Zernike多項式擬合2.1鏡面溫度場的擬合環(huán)模試驗可以在玻璃表面粘貼溫度傳感器獲得測點溫度。但是熱光學(xué)分析需要知道每個節(jié)點或單元的溫度，實際中很難測量這些點的溫度，再加上很難準(zhǔn)確掌握內(nèi)部的溫度，所以需要在測量的溫度的基礎(chǔ)上分析出其它節(jié)點或單元的溫度。采用Zernike多項式擬合和最小二乘法擬合的方法可以求出如公式（2）的多項式系數(shù)，并獲得所有其它節(jié)點的溫度值。使用該方法并通過有限元計算的表面變形結(jié)果非常吻合光學(xué)測量的結(jié)果[3]。（2）式中：——（x,y）點處的溫度值；郊x,y史揚—襯—嗽閑光學(xué)元件留表面的坐豬標(biāo)值；鈔—桐—葵追多項式系林數(shù)。胡2.2屆先鏡面面形嚷擬合坊在有限元雪分析的軟蘭件中，可若以得到光新學(xué)元件表疑面的變形綢輸出文件創(chuàng)，包括：電，蚊i=1巡M畢。其中，鋪為光學(xué)元育件表面的悄第宵i正個節(jié)點上惑的坐標(biāo)值深，脾為綱農(nóng)為鏡面在蹲第悅i鳳個接點處婆的變形值蜻，刊M豈為光學(xué)元俗件表面的而接點數(shù)。睬Zern劈ik良e賀多項式的停擬合采填用鞭Matl尾a辨b襯軟件，其澆實質(zhì)是波吵面的擬合閑，即斬用監(jiān)Zern童ik蜻e移多項式對符元件的表索面擬合。損通過有限摟元軟件可遮以得到鏡刷面的變形住值（），杠則可以籌得鍋n號項均的卵Zern煩ik批e鋤多項式的毒表達式：（3）姓（丈2崗）式中咽，蜻m耽為面上的火第盈m滔個點。箭為已知，臣可以由野表狹1互給出的公筋式求出，棋只有殲是未知量搖。由臺于膝m差n丘,徒因此采用睡最小二乘衣法來求解笑參慶數(shù)碼。宅Matl郊a嗎b亦軟件對矩熊陣運算的纏功能十分磁強大，用逐該軟件和換最小二乘赴法算法編輝程可以得成到很好的測計算結(jié)果衛(wèi)。寧3娘烘動鏡面形民的框Zern鄰ik尚e妙多項式擬偵合寬動鏡是航帆天某低溫寬光學(xué)系統(tǒng)倘中的關(guān)鍵俱光學(xué)元件爽之一，它菠對任何微曬小振動和懷面形變化逢都非常敏倆感，并會污導(dǎo)致探測倉器的靈敏醫(yī)度下降。盲動鏡的溫鼠度水平、葛軸向溫差晴、周向溫觀差和徑向歉溫差都對井系統(tǒng)的運撈行都有影香響，下面椒以軸向溫妻差為例進肅行擬合分依析。仇動鏡前后賠表面溫度撈相彼差起1K或(嫁溫度水警平爛150K造)鞏的熱分析祖溫度和熱到應(yīng)力分析體軸向縫（礦Z鞏方向）位脫移的結(jié)果喘。首先絹用潑COSM東OSWO典RK蝦S另軟件對動田鏡的熱分妙析；根據(jù)扔動鏡上下贈面周邊固室定的邊界花限制條件柏，在熱分床析溫度結(jié)霜果的基礎(chǔ)勇上對動鏡賤模型進行示熱應(yīng)力分糾析，可得筆到動鏡的略軸向位移取。把上下沫表面的軸明向位移分舟別導(dǎo)出，剝就可以得漲到鏡面的根變形值（維）。幅把上面得饅到的鏡面器的變形值強（喂）分別代現(xiàn)入公式兆（大3柜），然后唐通私過睜Matl少a姻b墻軟件，用啦最小二乘獄法編程求膛解，就得件到多項式澡系數(shù)的擬及合結(jié)果。笑如下表是枝動鏡毫的席Zern君ik壺e售多項式擬警合結(jié)果：催表辟2酒翻動鏡前后辛表面溫度鋒相農(nóng)差起1K待(相溫度水原平名150K式)狗的熱變形傷的擬合系該數(shù)啄訴i肺1才2塵3讀4埋5被6割A(yù)艦i辜×10遠-30肥0.00史0009灣-0.0痛0000轉(zhuǎn)5劫-0.0屬0000們3靈0.00鏈5349舊-0.0牛0004副7供0.00雨3852蓮i得7仆8掀9蓄10知11稠12伶A腰i安×10貢-30庭-0.0補4497企5跑-0.0雙0646星9套-0.0室0075恨1現(xiàn)0.00耕1461風(fēng)4.90離41終0.05遞7103雖i彼13蟻14曬15轉(zhuǎn)16鍛17蛛18殺A縮i蹦×10窮-30眨-0.0琴5878匆6雜0.02奸3658都-0.0熔1118休8屋-9.2裳063若-6.6距4321滿12.5麗04修i洲19慚20銳21身22號23臂24律A舅i姑×10少-30礎(chǔ)-1.5商463柜2.98突45工-0.1刮9781雀1.41廉341×剃10送11去-73.期243狗26.5飼79伍i堂25畏26夠27鋸28裁

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