zernike多項(xiàng)式及其在低溫光學(xué)中的應(yīng)用

Zernike多項(xiàng)式及其在低溫光學(xué)中的應(yīng)用摘要：Zernike多項(xiàng)式不但能精確地表示一個(gè)表面，還具有很多其它優(yōu)點(diǎn)，在工程項(xiàng)目中得到了廣泛的應(yīng)用，特別是用以描述鏡面面型。光學(xué)元件從室溫降低至運(yùn)行溫度時(shí)，就會(huì)發(fā)生面形變化，因而對(duì)光學(xué)成像質(zhì)量和探測(cè)器靈敏度有很大影響。Zernike多項(xiàng)式在低溫光學(xué)中的應(yīng)用包括鏡面溫度場(chǎng)的擬合以及鏡面面形擬合。擬合編程用Matlab軟件實(shí)現(xiàn)，用最小二乘法對(duì)超定方程進(jìn)行編程求解。最后給出了一個(gè)動(dòng)鏡的Zernike面形擬合實(shí)例。Zernike多項(xiàng)式擬合的結(jié)果可以導(dǎo)入光學(xué)分析軟件(ZEMAX)中，求出各個(gè)像差，進(jìn)行熱分析綜合評(píng)價(jià)。關(guān)鍵字：Zernike多項(xiàng)式低溫光學(xué)鏡面面形熱分析0引言隨著空間技術(shù)的不斷發(fā)展，對(duì)地探測(cè)、大氣觀測(cè)、及天體觀測(cè)等應(yīng)用衛(wèi)星也不斷地發(fā)展。這些衛(wèi)星大都需要探測(cè)器及其相關(guān)儀器來(lái)實(shí)現(xiàn)觀測(cè)任務(wù)。對(duì)于這些探測(cè)器和儀器來(lái)說(shuō)，最主要的是減少放大器的噪聲和宇宙輻射背景的噪聲，來(lái)提高探測(cè)器的靈敏度和成像的質(zhì)量。由于空間背景的平均溫度低于4K，光學(xué)系統(tǒng)的熱輻射成了紅外探測(cè)系統(tǒng)的主要熱背景來(lái)源。為了提高探測(cè)器的靈敏度，就需要降低光學(xué)系統(tǒng)本身的溫度。工作在低溫條件下的光學(xué)系統(tǒng)，與常規(guī)的光學(xué)系統(tǒng)有很大的不同。當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)從室溫降低至運(yùn)行溫度時(shí)，就會(huì)發(fā)生熱變形，特別是光學(xué)元件的面形的改變，對(duì)光學(xué)成像質(zhì)量有很大的影響。在光學(xué)元件發(fā)生變形的時(shí)候，元件的表面就變的不規(guī)則起來(lái)，此時(shí)就不能用一般的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)描述。有很多方法用以描述計(jì)算光學(xué)元件的表面面形，如最小二乘法、Gram-Schmidt方法、協(xié)方差法和SVD法，但是最理想的一種方法是Zernike多項(xiàng)式法。由于它的正交特性，它對(duì)于測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)兩維的多項(xiàng)式擬合是非?？尚械腫1]。1Zernike多項(xiàng)式自1934年F.Zernike構(gòu)造出Zernike多項(xiàng)式以來(lái)，它在工程項(xiàng)目中得到了廣泛的應(yīng)用，特別是用以描述鏡面面型。它不但能精確地表示一個(gè)表面，還具有很多其它優(yōu)點(diǎn)：它具有良好的數(shù)學(xué)性能，多項(xiàng)式之間是正交的和獨(dú)立的；多項(xiàng)式的前幾項(xiàng)的值和光學(xué)系統(tǒng)的初級(jí)相差相對(duì)應(yīng)。Zernike多項(xiàng)式描述了表面變形而多出的那部分值，其表達(dá)式為：（1）式中：——多項(xiàng)式第i項(xiàng)的系數(shù)；——徑向長(zhǎng)度除以最大的徑向值；——角度；N——多項(xiàng)式的最大項(xiàng)數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[2]，該表達(dá)式一般取到第28項(xiàng)就足夠精確。熱分析變形得到的結(jié)果是由直角坐標(biāo)系的變形值，因此需要把公式轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)系。如表1為的直角坐標(biāo)表達(dá)式。表1的直角坐標(biāo)表達(dá)式抹項(xiàng)鋪數(shù)單i趕直角坐標(biāo)撞系表達(dá)式柱項(xiàng)觀數(shù)畝i勢(shì)直角坐標(biāo)刃系表達(dá)式縣1安1算15孟2夾16右3古17攀4鈔18言5身19紋6靠20們7師21龜8莫22血9舍23難10橡24請(qǐng)11皆25籌12粒26況13野27州14葛282Zernike多項(xiàng)式擬合2.1鏡面溫度場(chǎng)的擬合環(huán)模試驗(yàn)可以在玻璃表面粘貼溫度傳感器獲得測(cè)點(diǎn)溫度。但是熱光學(xué)分析需要知道每個(gè)節(jié)點(diǎn)或單元的溫度，實(shí)際中很難測(cè)量這些點(diǎn)的溫度，再加上很難準(zhǔn)確掌握內(nèi)部的溫度，所以需要在測(cè)量的溫度的基礎(chǔ)上分析出其它節(jié)點(diǎn)或單元的溫度。采用Zernike多項(xiàng)式擬合和最小二乘法擬合的方法可以求出如公式（2）的多項(xiàng)式系數(shù)，并獲得所有其它節(jié)點(diǎn)的溫度值。使用該方法并通過(guò)有限元計(jì)算的表面變形結(jié)果非常吻合光學(xué)測(cè)量的結(jié)果[3]。（2）式中：——（x,y）點(diǎn)處的溫度值；郊x,y史揚(yáng)—襯—嗽閑光學(xué)元件留表面的坐豬標(biāo)值；鈔—桐—葵追多項(xiàng)式系林?jǐn)?shù)。胡2.2屆先鏡面面形嚷擬合坊在有限元雪分析的軟蘭件中，可若以得到光新學(xué)元件表疑面的變形綢輸出文件創(chuàng)，包括：電，蚊i=1巡M畢。其中，鋪為光學(xué)元育件表面的悄第宵i正個(gè)節(jié)點(diǎn)上惑的坐標(biāo)值深，脾為綱農(nóng)為鏡面在蹲第悅i鳳個(gè)接點(diǎn)處婆的變形值蜻，刊M豈為光學(xué)元俗件表面的而接點(diǎn)數(shù)。睬Zern劈ik良e賀多項(xiàng)式的停擬合采填用鞭Matl尾a辨b襯軟件，其澆實(shí)質(zhì)是波吵面的擬合閑，即斬用監(jiān)Zern童ik蜻e移多項(xiàng)式對(duì)符元件的表索面擬合。損通過(guò)有限摟元軟件可遮以得到鏡刷面的變形住值（），杠則可以籌得鍋n號(hào)項(xiàng)均的卵Zern煩ik批e鋤多項(xiàng)式的毒表達(dá)式：（3）姓（丈2崗）式中咽，蜻m耽為面上的火第盈m滔個(gè)點(diǎn)。箭為已知，臣可以由野表狹1互給出的公筋式求出，棋只有殲是未知量搖。由臺(tái)于膝m差n丘,徒因此采用睡最小二乘衣法來(lái)求解笑參慶數(shù)碼。宅Matl郊a嗎b亦軟件對(duì)矩熊陣運(yùn)算的纏功能十分磁強(qiáng)大，用逐該軟件和換最小二乘赴法算法編輝程可以得成到很好的測(cè)計(jì)算結(jié)果衛(wèi)。寧3娘烘動(dòng)鏡面形民的框Zern鄰ik尚e妙多項(xiàng)式擬偵合寬動(dòng)鏡是航帆天某低溫寬光學(xué)系統(tǒng)倘中的關(guān)鍵俱光學(xué)元件爽之一，它菠對(duì)任何微曬小振動(dòng)和懷面形變化逢都非常敏倆感，并會(huì)污導(dǎo)致探測(cè)倉(cāng)器的靈敏醫(yī)度下降。盲動(dòng)鏡的溫鼠度水平、葛軸向溫差晴、周向溫觀差和徑向歉溫差都對(duì)井系統(tǒng)的運(yùn)撈行都有影香響，下面椒以軸向溫妻差為例進(jìn)肅行擬合分依析。仇動(dòng)鏡前后賠表面溫度撈相彼差起1K或(嫁溫度水警平爛150K造)鞏的熱分析祖溫度和熱到應(yīng)力分析體軸向縫（礦Z鞏方向）位脫移的結(jié)果喘。首先絹用潑COSM東OSWO典RK蝦S另軟件對(duì)動(dòng)田鏡的熱分妙析；根據(jù)扔動(dòng)鏡上下贈(zèng)面周邊固室定的邊界花限制條件柏，在熱分床析溫度結(jié)霜果的基礎(chǔ)勇上對(duì)動(dòng)鏡賤模型進(jìn)行示熱應(yīng)力分糾析，可得筆到動(dòng)鏡的略軸向位移取。把上下沫表面的軸明向位移分舟別導(dǎo)出，剝就可以得漲到鏡面的根變形值（維）。幅把上面得饅到的鏡面器的變形值強(qiáng)（喂）分別代現(xiàn)入公式兆（大3柜），然后唐通私過(guò)睜Matl少a姻b墻軟件，用啦最小二乘獄法編程求膛解，就得件到多項(xiàng)式澡系數(shù)的擬及合結(jié)果。笑如下表是枝動(dòng)鏡毫的席Zern君ik壺e售多項(xiàng)式擬警合結(jié)果：催表辟2酒翻動(dòng)鏡前后辛表面溫度鋒相農(nóng)差起1K待(相溫度水原平名150K式)狗的熱變形傷的擬合系該數(shù)啄訴i肺1才2塵3讀4埋5被6割A(yù)艦i辜×10遠(yuǎn)-30肥0.00史0009灣-0.0痛0000轉(zhuǎn)5劫-0.0屬0000們3靈0.00鏈5349舊-0.0牛0004副7供0.00雨3852蓮i得7仆8掀9蓄10知11稠12伶A腰i安×10貢-30庭-0.0補(bǔ)4497企5跑-0.0雙0646星9套-0.0室0075恨1現(xiàn)0.00耕1461風(fēng)4.90離41終0.05遞7103雖i彼13蟻14曬15轉(zhuǎn)16鍛17蛛18殺A縮i蹦×10窮-30眨-0.0琴5878匆6雜0.02奸3658都-0.0熔1118休8屋-9.2裳063若-6.6距4321滿(mǎn)12.5麗04修i洲19慚20銳21身22號(hào)23臂24律A舅i姑×10少-30礎(chǔ)-1.5商463柜2.98突45工-0.1刮9781雀1.41廉341×剃10送11去-73.期243狗26.5飼79伍i堂25畏26夠27鋸28裁

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