2.7機(jī)器人正運(yùn)動學(xué)方程的D-H表示法

機(jī)器人正運(yùn)動學(xué)方程的D-H表示法在1955年，Denavit和Hartenberg在“ASMEJournalofAppliedMechanics”發(fā)表了一篇論文，后來利用那個(gè)這篇論文來對機(jī)器人進(jìn)行表示和建模，并導(dǎo)出了它們的運(yùn)動方程，這已成為表示機(jī)器人和對機(jī)器人運(yùn)動進(jìn)行建模的標(biāo)準(zhǔn)方法，所以必須學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容。Denavit-Hartenberg(D_H)模型表示了對機(jī)器人連桿和關(guān)節(jié)進(jìn)行建模的一種非常簡單的方法，可用于任何機(jī)器人構(gòu)型，而不管機(jī)器人的結(jié)構(gòu)順序和復(fù)雜程度如何。它也可用于表示已經(jīng)討論過的在任何坐標(biāo)中的變換，例如直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)、歐拉角坐標(biāo)及RPY坐標(biāo)等。另外，它也可以用于表示全旋轉(zhuǎn)的鏈?zhǔn)綑C(jī)器人、SCARA機(jī)器人或任何可能的關(guān)節(jié)和連桿組合。盡管采用前面的方法對機(jī)器人直接建模會更快、更直接，但D-H表示法有其附加的好處，使用它已經(jīng)開發(fā)了許多技術(shù)，例如，雅克比矩陣的計(jì)算和力分析等。假設(shè)機(jī)器人由一系列關(guān)節(jié)和連桿組成。這些關(guān)節(jié)可能是滑動（線性）的或旋轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)動）的，它們可以按任意的順序放置并處于任意的平面。連桿也可以是任意的長度（包括零），它可能被彎曲或扭曲，也可能位于任意平面上。所以任何一組關(guān)節(jié)和連桿都可以構(gòu)成一個(gè)我們想要建模和表示的機(jī)器人。為此，需要給每個(gè)關(guān)節(jié)指定一個(gè)參考坐標(biāo)系，然后，確定從一個(gè)關(guān)節(jié)到下一個(gè)關(guān)節(jié)（一個(gè)坐標(biāo)系到下一個(gè)坐標(biāo)系）來進(jìn)行變換的步驟。如果將從基座到第一個(gè)關(guān)節(jié)，再從第一個(gè)關(guān)節(jié)到第二個(gè)關(guān)節(jié)直至到最后一個(gè)關(guān)節(jié)的所有變換結(jié)合起來，就得到了機(jī)器人的總變換矩陣。在下一節(jié)，將根據(jù)D-H表示法確定一個(gè)一般步驟來為每個(gè)關(guān)節(jié)指定參考坐標(biāo)系，然后確定如何實(shí)現(xiàn)任意兩個(gè)相鄰坐標(biāo)系之間的變換，最后寫出機(jī)器人的總變換矩陣。圖2.25 通用關(guān)節(jié)—連桿組合的D-H表示假設(shè)一個(gè)機(jī)器人由任意多的連桿和關(guān)節(jié)以任意形式構(gòu)成。圖2.25表示了三個(gè)順序的關(guān)節(jié)和兩個(gè)連桿。雖然這些關(guān)節(jié)和連桿并不一定與任何實(shí)際機(jī)器人的關(guān)節(jié)或連桿相似，但是他們非常常見，且能很容易地表示實(shí)際機(jī)器人的任何關(guān)節(jié)。這些關(guān)節(jié)可能是旋轉(zhuǎn)的、滑動的、或兩者都有。盡管在實(shí)際情況下，機(jī)器人的關(guān)節(jié)通常只有一個(gè)自由度，但圖2.25中的關(guān)節(jié)可以表示一個(gè)或兩個(gè)自由度。圖2.25（a）表示了三個(gè)關(guān)節(jié)，每個(gè)關(guān)節(jié)都是可以轉(zhuǎn)動或平移的。第一個(gè)關(guān)節(jié)指定為關(guān)節(jié)n，第二個(gè)關(guān)節(jié)為關(guān)節(jié)n+1，第三個(gè)關(guān)節(jié)為關(guān)節(jié)n+2。在這些關(guān)節(jié)的前后可能還有其他關(guān)節(jié)。連桿也是如此表示，連桿n位于關(guān)節(jié)n與n+1之間，連桿n+1位于關(guān)節(jié)n+1與n+2之間。為了用D-H表示法對機(jī)器人建模，所要做的第一件事是為每個(gè)關(guān)節(jié)指定一個(gè)本地的參考坐標(biāo)系。因此，對于每個(gè)關(guān)節(jié)，都必須指定一個(gè)z軸和x軸，通常并不需要指定y軸，因?yàn)閥軸總是垂直于x軸和z軸的。此外，D-H表示法根本就不用y軸。以下是給每個(gè)關(guān)節(jié)指定本地參考坐標(biāo)系的步驟：所有關(guān)節(jié)，無一例外的用z軸表示。如果關(guān)節(jié)是旋轉(zhuǎn)的，z軸位于按右手規(guī)則旋轉(zhuǎn)的方向。如果關(guān)節(jié)是滑動的，z軸為沿直線運(yùn)動的方向。在每一種情況下，關(guān)節(jié)n處的z軸（以及該關(guān)節(jié)的本地參考坐標(biāo)系）的下表為n-1。例如，表示關(guān)節(jié)數(shù)n+1的z軸是。這些簡單規(guī)則可使我們很快地定義出所有關(guān)節(jié)的z軸。對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，繞z軸的旋轉(zhuǎn)（角）是關(guān)節(jié)變量。對于滑動關(guān)節(jié)，沿z軸的連桿長度d是關(guān)節(jié)變量。如圖2.25（a）所示，通常關(guān)節(jié)不一定平行或相交。因此，通常z軸是斜線，但總有一條距離最短的公垂線，它正交于任意兩條斜線。通常在公垂線方向上定義本地參考坐標(biāo)系的x軸。所以如果表示與之間的公垂線，則的方向?qū)⒀?。同樣，在與之間的公垂線為，的方向?qū)⒀亍Ｗ⒁庀噜応P(guān)節(jié)之間的公垂線不一定相交或共線，因此，兩個(gè)相鄰坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置也可能不在同一個(gè)位置。根據(jù)上面介紹的知識并考慮下面例外的特殊情況，可以為所有的關(guān)節(jié)定義坐標(biāo)系。如果兩個(gè)關(guān)節(jié)的z軸平行，那么它們之間就有無數(shù)條公垂線。這時(shí)可挑選與前一關(guān)節(jié)的公垂線共線的一條公垂線，這樣做就可以簡化模型。入股兩個(gè)相鄰關(guān)節(jié)的z軸是相交的，那么它們之間就沒有公垂線（或者說公垂線距離為零）。這時(shí)可將垂直于兩條軸線構(gòu)成的平面的直線定義為x軸。也就是說，其公垂線是垂直于包含了兩條z軸的平面的直線，它也相當(dāng)于選取兩條z軸的叉積方向作為x軸。這也會使模型得以簡化。在圖2.25（a）中，角表示繞z軸的旋轉(zhuǎn)角，d表示在z軸上兩條相鄰的公垂線之間的距離，a表示每一條公垂線的長度（也叫關(guān)節(jié)偏移量），角表示兩個(gè)相鄰的z軸之間的角度（也叫關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)）。通常，只有和d是關(guān)節(jié)變量。 下一步來完成幾個(gè)必要的運(yùn)動，即將一個(gè)參考坐標(biāo)系變換到下一個(gè)參考坐標(biāo)系。假設(shè)現(xiàn)在位于本地坐標(biāo)系，那么通過以下四步標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)動即可到達(dá)下一個(gè)本地坐標(biāo)系。（1）繞軸旋轉(zhuǎn)（如圖2.25（a）與（b）所示），它使得和互相平行，因?yàn)楹投际谴怪庇谳S的，因此繞軸旋轉(zhuǎn)使它們平行（并且共面）。（2）沿軸平移距離，使得和共線（如圖2.25（c）所示）。因?yàn)楹鸵呀?jīng)平行并且垂直于，沿著移動則可使它們互相重疊在一起。（3）沿軸平移的距離，使得和的原點(diǎn)重合（如圖2.25（d）和（e）所示）。這是兩個(gè)參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)處在同一位置。（4）將軸繞軸旋轉(zhuǎn)，使得軸與軸對準(zhǔn)（如圖2.25（f）所示）。這時(shí)坐標(biāo)系n和n+1完全相同（如圖2.25（g）所示）。至此，我們成功地從一個(gè)坐標(biāo)系變換到了下一個(gè)坐標(biāo)系。在n+1和n+2坐標(biāo)系間嚴(yán)格地按照同樣的四個(gè)運(yùn)動順序可以將一個(gè)坐標(biāo)變換到下一個(gè)坐標(biāo)系。如有必要，可以重復(fù)以上步驟，就可以實(shí)現(xiàn)一系列相鄰坐標(biāo)系之間的變換。從參考坐標(biāo)系開始，我們可以將其轉(zhuǎn)換到機(jī)器人的基座，然后到第一個(gè)關(guān)節(jié)，第二個(gè)關(guān)節(jié)……，直至末端執(zhí)行器。這里比較好的一點(diǎn)是，在任何兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換均可采用與前面相同的運(yùn)動步驟。 通過右乘表示四個(gè)運(yùn)動的四個(gè)矩陣就可以得到變換矩陣A，矩陣A表示了四個(gè)依次的運(yùn)動。由于所有的變換都是相對于當(dāng)前坐標(biāo)系的（即他們都是相對于當(dāng)前的本地坐標(biāo)系來測量與執(zhí)行），因此所有的矩陣都是右乘。從而得到結(jié)果如下：（2.51）（2.52）比如，一般機(jī)器人的關(guān)節(jié)2與關(guān)節(jié)3之間的變換可以簡化為：（2.53） 在機(jī)器人的基座上，可以從第一個(gè)關(guān)節(jié)開始變換到第二個(gè)關(guān)節(jié)，然后到第三個(gè)……，再到機(jī)器人的手，最終到末端執(zhí)行器。若把每個(gè)變換定義為，則可以得到許多表示變換的矩陣。在機(jī)器人的基座與手之間的總變換則為：（2.54）其中n是關(guān)節(jié)數(shù)。對于一個(gè)具有六個(gè)自由度的機(jī)器人而言，有6個(gè)A矩陣。 為了簡化A矩陣的計(jì)算，可以制作一張關(guān)節(jié)和連桿參數(shù)的表格，其中每個(gè)連桿和關(guān)節(jié)的參數(shù)值可從機(jī)器人的原理示意圖上確定，并且可將這些參數(shù)代入A矩陣。表2.1可用于這個(gè)目的。 在以下幾個(gè)例子中，我們將建立必要的坐標(biāo)系，填寫參數(shù)表，并將這些數(shù)值代入A矩陣。首先從簡單的機(jī)器人開始，以后再考慮復(fù)雜的機(jī)器人。表2.1 D-H參數(shù)表#da123456對于如圖2.26所示的簡單機(jī)器人，根據(jù)D-H表示法，建立必要的坐標(biāo)系，并填寫相應(yīng)的參數(shù)表。解：為方便起見，在此例中，假設(shè)關(guān)節(jié)2，3和4在同一平面內(nèi)，即它們的值為0。為建立機(jī)器人的坐標(biāo)系，首先尋找關(guān)節(jié)（如圖2.26所示）。該機(jī)器人有六個(gè)自由度，在這個(gè)簡單機(jī)器人中，所有的關(guān)節(jié)都是旋轉(zhuǎn)的。第一個(gè)關(guān)節(jié)（關(guān)節(jié)1）在連桿0（固定基座）和連桿1之間，關(guān)節(jié)2在連桿1和連桿2之間，等等。首先，如前面已經(jīng)討論過的那樣，對每個(gè)關(guān)節(jié)建立z軸，接著建立z軸。觀察圖2.27和圖2.28所示的坐標(biāo)可以發(fā)現(xiàn)，圖2.28是圖2.27的簡化線圖。應(yīng)注意每個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)3在它所在位置的原因。圖2.26 具有六個(gè)自由度的簡單鏈?zhǔn)綑C(jī)器人圖2.27 簡單六個(gè)自由度鏈?zhǔn)綑C(jī)器人的參考坐標(biāo)系圖2.28 簡單六個(gè)自由度鏈?zhǔn)綑C(jī)器人的參考坐標(biāo)系線圖從關(guān)節(jié)1開始，表示第一個(gè)關(guān)節(jié)，它是一個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。選擇與參考坐標(biāo)系的x軸平行，這樣做僅僅是為了方便，是一個(gè)固定的坐標(biāo)軸，表示機(jī)器人的基座，它是不動的。第一個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動是圍繞著-軸進(jìn)行的，但這兩個(gè)軸并不運(yùn)動。接下來，在關(guān)節(jié)2處設(shè)定，因?yàn)樽鴺?biāo)軸和是相交的，所以垂直于和。在和之間的公垂線方向上，在和之間的公垂線方向上，類似地，在和之間的公垂線方向上。最后，和是平行且共線的。表示關(guān)節(jié)6的運(yùn)動，而表示末端執(zhí)行的運(yùn)動。通常在運(yùn)動方程中不包含末端執(zhí)行器，但應(yīng)包含末端執(zhí)行器的坐標(biāo)系，這是因?yàn)樗梢匀菰S進(jìn)行從坐標(biāo)系出發(fā)的變換。同時(shí)也要注意第一個(gè)和最后一個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)的位置，它們將決定機(jī)器人的總編換方程?？梢栽诘谝粋€(gè)和最后的坐標(biāo)系之間建立其他的（或不同的）中間坐標(biāo)系，但只要第一個(gè)和最后的坐標(biāo)系沒有改變，機(jī)器人的總變換便是不變的。應(yīng)注意的是，第一個(gè)關(guān)節(jié)的原點(diǎn)并不在關(guān)節(jié)的實(shí)際位置，但證明這樣做是沒有問題的，因?yàn)闊o論實(shí)際關(guān)節(jié)是高一點(diǎn)還是低一點(diǎn)，機(jī)器人的運(yùn)動并不會有任何差異。因此，考慮原點(diǎn)位置時(shí)可不用考慮基座上關(guān)節(jié)的實(shí)際位置。 接下來，我們將根據(jù)已建立的坐標(biāo)系來填寫表2.2中的參數(shù)。參考前一節(jié)中任意兩個(gè)坐標(biāo)系之間的四個(gè)運(yùn)動的順序。從開始，有一個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動將轉(zhuǎn)到了，為使得與軸重合，需要沿和沿的平移均為零，還需要一個(gè)旋轉(zhuǎn)將轉(zhuǎn)到，注意旋轉(zhuǎn)是根據(jù)右手規(guī)則進(jìn)行的，即將右手手指按旋轉(zhuǎn)的方向彎曲，大拇指的方向則為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸的方向。到了這時(shí)，就變換到了。 接下來，繞旋轉(zhuǎn)，將轉(zhuǎn)到了，然后沿軸移動距離，使坐標(biāo)系原點(diǎn)重合。由于前后兩個(gè)z軸是平行的，所以沒有必要繞x軸旋轉(zhuǎn)。按照這樣的步驟繼續(xù)做下去，就能得到所需要的結(jié)果。 必須要認(rèn)識到，與其他機(jī)械類似，機(jī)器人也不會保持原理圖中所示的一種構(gòu)型不變。盡管機(jī)器人的原理圖是二維的，但必須要想象出機(jī)器人的運(yùn)動，也就是說，機(jī)器人的不同連桿和關(guān)節(jié)在運(yùn)動時(shí)，與之相連的坐標(biāo)系也隨之運(yùn)動。如果這時(shí)原理圖所示機(jī)器人構(gòu)型的坐標(biāo)軸處于特殊的位姿狀態(tài)，當(dāng)機(jī)器人移動時(shí)它們又會處于其他的點(diǎn)和姿態(tài)上。比如，總是沿著關(guān)節(jié)3與關(guān)節(jié)4之間連線的方向。當(dāng)機(jī)器人的下臂繞關(guān)節(jié)2旋轉(zhuǎn)而運(yùn)動。在確定參數(shù)時(shí)，必須記住這一點(diǎn)。表2.2 例2.19機(jī)器人的參數(shù)#da1009020030040-90500906000表示旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量，d表示滑動關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量。因?yàn)檫@個(gè)機(jī)器人的關(guān)節(jié)全是旋轉(zhuǎn)的，因此所有關(guān)節(jié)變量都是角度。通過簡單地從參數(shù)表中選取參數(shù)代入A矩陣，便可寫出每兩個(gè)相鄰關(guān)節(jié)之間的變換。例如，在坐標(biāo)系0和1之間的變換矩陣可通過將（sin=1,cos=0,=）以及指定為等代入A矩陣得到，對其他關(guān)節(jié)的~矩陣也是這樣，最后得：（2.55）特別注意：為簡化最后的解，將用到下列三角函數(shù)關(guān)系式：（2.56）在機(jī)器人的基座和手之間的總變換為：（2.57）斯坦福機(jī)械手臂。在斯坦福機(jī)械手臂上指定坐標(biāo)系（如圖2.29所示），并填寫參數(shù)表。斯坦福機(jī)械手臂是一個(gè)球坐標(biāo)手臂，即開始的兩個(gè)關(guān)節(jié)是旋轉(zhuǎn)的，第三個(gè)關(guān)節(jié)是滑動的，最后三個(gè)腕關(guān)節(jié)全是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。圖2.29 斯坦福機(jī)械手臂示意圖解：在看本題解答之前，現(xiàn)根據(jù)自己的理解來做，問題的答案在本章的最后。建議在看解答中建立的坐標(biāo)系和機(jī)械手臂的解之前，先試著自己做。機(jī)器手臂最后的正運(yùn)動學(xué)解是相鄰關(guān)節(jié)之間的6個(gè)變換矩陣的乘積：其中（2.58）機(jī)器人的你運(yùn)動學(xué)解如前所述，這里真正重要的是你運(yùn)動學(xué)解。為了使機(jī)器人手臂處于期望的位姿，如果有了逆運(yùn)動學(xué)解就能確定每個(gè)關(guān)節(jié)的值。前面已對特定坐標(biāo)系統(tǒng)的逆運(yùn)動學(xué)解作了介紹。在這一部分，將研究求解逆運(yùn)動方程的一般步驟?，F(xiàn)在你可能已經(jīng)注意到，前面的運(yùn)動方程中有許多角度的耦合，比如，這就使得無法從矩陣中提取足夠的元素來求解單個(gè)的正弦和余弦項(xiàng)以計(jì)算角度。為使角度解耦，可例行地用單個(gè)矩陣左乘矩陣，使得方程右邊不再包括這個(gè)角度，于是可以找到產(chǎn)生角度的正弦值和余弦值的元素，并進(jìn)而求得相應(yīng)的角度。這里概要地給出了這個(gè)方法，并將其用于例2.19中的簡單機(jī)械手臂。雖然所給出的解決方法只針對這一給定構(gòu)型的機(jī)器人，但也可以類似地用于其它機(jī)器人。正如在例2.19中看到的，表示機(jī)器人的最后方程為：為了書寫方便，將上面的矩陣表示為[RHS](Right-HandSide)。這里再次將機(jī)器人的期望位姿表示為：（2.59）為了求解角度，從開始，依次用左乘上述兩個(gè)矩陣，得到：（2.60）（2.61）根據(jù)方程的3，4元素，有：（2.62）根據(jù)1，4元素和2，4元素，可得：（2.63）整理上面兩個(gè)方程并對兩邊平方，然后將平方值相加，得：根據(jù)式（2.56）的三角函數(shù)方程，可得：于是：（2.64） 在這個(gè)方程中，除和外，每個(gè)變量都是已知的，和將在后面求出。已知：于是可得：（2.65） 因?yàn)殛P(guān)節(jié)2，3和4都是平行的，左乘和的逆不會產(chǎn)生有用的結(jié)果。下一步左乘的逆，結(jié)果為：（2.66）乘開后可得：（2.67） 根據(jù)式（2.67）矩陣的3，3元素，（2.68）由此可計(jì)算和，如前面所討論過的，它們可用來計(jì)算。 現(xiàn)在再參照式（2.63），并在這里重復(fù)使用它就可計(jì)算角的正弦和余弦值。具體步驟如下：由于以及，可得：（2.69）上面兩個(gè)方程中包含兩個(gè)未知數(shù)，求解和，可得：（2.70）盡管這個(gè)方程較復(fù)雜，但它的所有元素都是已知的，因此可以計(jì)算得到：（2.71）既然和已知，進(jìn)而可得：（2.72） 因?yàn)槭剑?.68）中的有兩個(gè)解，所以也有兩個(gè)解。 根據(jù)式（2.67）中的1，3元素和2，3元素，可以得到：（2.73）和（2.74）也許已注意到，因?yàn)閷τ跊]有解耦方程，所以必須用矩陣的逆左乘式（2.67）來對它解耦。這樣做后可得到：(2.75) 根據(jù)式（2.75）中的2，1元素和2，2元素，得到：（2.76） 至此找到了6個(gè)方程，它們合在一起給出了機(jī)器人置于任何期望位姿時(shí)所需的關(guān)節(jié)值。雖然這種方法僅適用于給定的機(jī)器人，但也可采取類似的方法來處理其他的機(jī)器人。 值得注意的是，僅僅因?yàn)闄C(jī)器人的最后三個(gè)關(guān)節(jié)交于一個(gè)公共點(diǎn)才使得這個(gè)方法有可能求解，否則就不能用這個(gè)方法來求解，而只能直接求解矩陣或通過計(jì)算矩陣的逆來求解未知的量。大多數(shù)工業(yè)機(jī)器人都有相交的腕關(guān)節(jié)。機(jī)器人的逆運(yùn)動學(xué)編程求解機(jī)器人逆運(yùn)動問題所建立的方程可以直接用于驅(qū)動機(jī)器人到達(dá)一個(gè)位置。事實(shí)上，沒有機(jī)器人真正用正運(yùn)動方程求解這個(gè)問題，所用到的僅為計(jì)算關(guān)節(jié)值的6個(gè)方程，并反過來用它們驅(qū)動機(jī)器人到達(dá)期望位置。這樣做是必須的，其實(shí)際原因是：計(jì)算機(jī)計(jì)算正運(yùn)動方程的逆或?qū)⒅荡胝\(yùn)動方程，并用高斯消去法來求解未知量（關(guān)節(jié)變量）將花費(fèi)大量時(shí)間。 為使機(jī)器人按預(yù)定的軌跡運(yùn)動，譬如說直線，那么在一秒內(nèi)必須多次反復(fù)計(jì)算關(guān)節(jié)變量?，F(xiàn)假設(shè)機(jī)器人沿直線從起點(diǎn)A運(yùn)動到終點(diǎn)B，如果期間不采取其他措施，那么機(jī)器人從A運(yùn)動到B的軌跡難以預(yù)測。機(jī)器人將運(yùn)動它的所有關(guān)節(jié)直到他們都到達(dá)終值，這是機(jī)器人便到達(dá)了終點(diǎn)B，然而，機(jī)器人手在兩點(diǎn)間運(yùn)行的路徑是未知的，它取決于機(jī)器人每個(gè)關(guān)節(jié)的變化率。為了使機(jī)器人按直線運(yùn)動，必須把這一路徑分成如圖2.30所示的許多小段，讓機(jī)器人按照分好的小段路徑在兩點(diǎn)間依次運(yùn)動。這就意味著對每一小段路徑都必須計(jì)算新的逆運(yùn)動學(xué)解。典型情況下，每秒鐘要對位置反復(fù)計(jì)算50~200次。也就是說，如果計(jì)算逆解耗時(shí)5~20ms以上，那么機(jī)器人將丟失精度或不能按照指定路徑運(yùn)動。用來計(jì)算新解的時(shí)間越短，機(jī)器人的運(yùn)動據(jù)越精確。因此，必須盡量減少不必要的計(jì)算，從而使計(jì)算機(jī)控制器能做更多的逆解計(jì)算。這也就是為什么設(shè)計(jì)者必須事先做好所有的數(shù)學(xué)處理，并僅需為計(jì)算機(jī)控制器編程來計(jì)算最終的解的原因。第5章將詳細(xì)討論這個(gè)問題。圖2.30 直線的小段運(yùn)動 對于早先討論過的旋轉(zhuǎn)機(jī)器人情況，給定最終的期望位姿為：為了計(jì)算未知角度，控制器所需要的所有計(jì)算是如下的一組逆解：（2.77） 雖然以上計(jì)算也并不簡單，但用這些方程來計(jì)算角度要比對矩陣求逆或使用高斯消去法計(jì)算要快得多。這里所有的運(yùn)算都是簡單的算術(shù)運(yùn)算和三角運(yùn)算。機(jī)器人的退化和靈巧特性退化 當(dāng)機(jī)器人失去一個(gè)自由度，并因此不按所期望的狀態(tài)運(yùn)動時(shí)即稱機(jī)器人發(fā)生了退化。在兩種條件下會發(fā)生退化：（1）機(jī)器人關(guān)節(jié)達(dá)到其物理極限而不能進(jìn)一步運(yùn)動，（2）如果兩個(gè)相似關(guān)節(jié)的z軸共線時(shí)，機(jī)器人可能會在其工作空間中變?yōu)橥嘶癄顟B(tài)。這意味此時(shí)無論哪個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動都將產(chǎn)生同樣的運(yùn)動，結(jié)果是控制器將不知道是哪個(gè)關(guān)節(jié)在運(yùn)動。無論哪一種情況，機(jī)器人的自由度總數(shù)都小于6，因此機(jī)器人的方程無解。在關(guān)節(jié)共線時(shí)，位置矩陣的行列式也為零。圖2.31顯示了一個(gè)處于垂直構(gòu)型的簡單機(jī)器人，其中關(guān)節(jié)1和6共線。可以看到，無論關(guān)節(jié)1或關(guān)節(jié)6旋轉(zhuǎn)，末端執(zhí)行器的旋轉(zhuǎn)結(jié)果都是一樣的。實(shí)際上，這時(shí)指令控制器采取緊急行動是十分重要的，否則機(jī)器人將停止運(yùn)行。應(yīng)注意，這種情況只在兩關(guān)節(jié)相似時(shí)才會發(fā)生，反之，如果一個(gè)關(guān)節(jié)是滑動型的，而另一個(gè)是旋轉(zhuǎn)型的（例如斯坦福機(jī)械手臂的關(guān)節(jié)3和關(guān)節(jié)4），那么即使它們的z軸共線，機(jī)器人也不會出現(xiàn)退化的現(xiàn)象。Paul指出：如果sin(),sin(),或sin()為0，機(jī)器人就將退化。顯然，可以適當(dāng)設(shè)計(jì)和來防止機(jī)器人退化。此外，如果任何時(shí)候接近或者，機(jī)器人就將變成退化狀態(tài)。靈巧 一般認(rèn)為只要確定了機(jī)器人手的位姿，就能為具有六個(gè)自由度的機(jī)器人在其工作范圍內(nèi)的任何位置定位和定姿。實(shí)際上，隨著機(jī)器人越來越接近其工作空間的極限，雖然機(jī)器人仍可能定位在期望的點(diǎn)上，但卻有可能不能定姿在期望的位姿上。能對機(jī)器人定位但不能對它定姿的點(diǎn)的區(qū)域成為不靈巧區(qū)域。圖2.31 處于退化狀態(tài)的機(jī)器人2.12 D-H表示法的基本問題 雖然D-H表示法已廣泛用于機(jī)器人的運(yùn)動建模和分析，并已成為解決該問題的標(biāo)準(zhǔn)方法，但它在技術(shù)上仍存在著根本的缺陷，很多研究者試圖通過改進(jìn)D-H表示法來解決這個(gè)問題。其根本問題是：由于所有的運(yùn)動都是關(guān)于x和z軸的，而無法表示關(guān)于y軸的運(yùn)動，因此只要有任何關(guān)于y軸的運(yùn)動，此方法就不適用，而且這種情況十分普遍。例如，假設(shè)原本應(yīng)該平行的兩個(gè)關(guān)節(jié)軸在安裝時(shí)有一點(diǎn)小的偏差，由于兩軸之間存在小的夾角，因此需要沿y軸運(yùn)動。由于實(shí)際的工業(yè)機(jī)器人在其制造過程中都存在一定的誤差，所以該誤差不能用D-H法來建模。例2.20（續(xù)） 斯坦福機(jī)械手臂的參考坐標(biāo)系。圖2.32顯示了例2.20中（如圖2.29所示）斯坦福機(jī)械手臂的參考坐標(biāo)系。為了改進(jìn)可視性，進(jìn)行了簡化。表2.3所示為斯坦福機(jī)械手臂的參數(shù)表。圖2.32 斯坦福機(jī)械手臂的坐標(biāo)系 關(guān)于斯坦福機(jī)械手臂逆運(yùn)動解的推導(dǎo)，請見參考文獻(xiàn)[5,13]。以下是斯坦福手臂逆運(yùn)動學(xué)解的結(jié)果匯總：其中（2.78）（2.79）（2.80）如果（2.81）（2.82）其中（2.83）表2.3 圖2.32所示斯坦福機(jī)械手臂的參數(shù)表#da100-9020903000400-905009060002.13設(shè)計(jì)項(xiàng)目：四自由度機(jī)器人利用本書中所介紹的四自由度機(jī)器人，結(jié)合本章所學(xué)的知識進(jìn)行四自由度機(jī)器人的正逆運(yùn)動學(xué)分析。SCARA型機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)模型的建立，包括機(jī)器人運(yùn)動學(xué)方程的表示，以及運(yùn)動學(xué)正解、逆解等，這些是研究機(jī)器人控制的重要基礎(chǔ)，也是開放式機(jī)器人系統(tǒng)軌跡規(guī)劃的重要基礎(chǔ)。為了描述SCARA型機(jī)器人各連桿之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，在此采用Denavit和Hertenberg提出的齊次變換矩陣的方法，即D-H法。SCARA型機(jī)器人操作臂可以看作是一個(gè)開式運(yùn)動鏈。它是由一系列連桿通過轉(zhuǎn)動或移動關(guān)節(jié)串聯(lián)而成的。為了研究操作臂各連桿之間的位移關(guān)系，可在每個(gè)連桿上固接一個(gè)坐標(biāo)系，然后描述這些坐標(biāo)系之間的關(guān)系。2.13.1SCARA機(jī)器人坐標(biāo)系的建立1.SCARA機(jī)器人坐標(biāo)系建立原則根據(jù)D-H坐標(biāo)系建立方法，SCARA機(jī)器人的每個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的建立可參照以下的三原則(1)軸沿著第n個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動軸;基坐標(biāo)系的選擇為:當(dāng)?shù)谝魂P(guān)節(jié)變量為零時(shí)，零坐標(biāo)系與一坐標(biāo)系重合。(2)軸垂直于軸并指向離開軸的方向。(3)軸的方向按右手定則確定。2.構(gòu)件參數(shù)的確定根據(jù)D-H構(gòu)件坐標(biāo)系表示法，構(gòu)件本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)、和相對位置參數(shù)、可由以下的方法確定:(1)為繞軸(按右手定則)由軸到軸的關(guān)節(jié)角。(2)為沿軸，將軸平移至軸的距離。(3)為沿軸從量至軸的距離。(4)為繞軸(按右手定則)由軸到軸的偏轉(zhuǎn)角。3.變換矩陣的建立全部的連桿規(guī)定坐標(biāo)系之后，就可以按照下列的順序來建立相鄰兩連桿n-1和n之間的相對關(guān)系:(1)繞軸轉(zhuǎn)角。(2)沿軸移動。(3)繞軸轉(zhuǎn)角。(4)沿軸移動。這種關(guān)系可由表示連桿n對連桿n-1相對位置齊次變換來表征。即展開上式得（2.84）由于描述第n個(gè)連桿相對于第n-1連桿的位姿，對于SCARA教學(xué)機(jī)器人(四個(gè)自由度)，機(jī)器人的末端裝置即為連桿4的坐標(biāo)系，它與基座的關(guān)系為:圖2.33SCARA機(jī)器人的D-H連桿坐標(biāo)系的建立Figure2.33ConstructofSCARAD-Hlinkcoordinatesystems如圖2.33坐標(biāo)系，可寫出連桿n