北京各區(qū)中考數(shù)學(xué)07-11綜合壓軸題解析匯總經(jīng)典

北京中考數(shù)學(xué)一幾何、二次函數(shù)綜合題壓軸題解析匯總

25、（2007?北京）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類似地，我們定義:

至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形.

（1）請寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；

（2）如圖，在AABC中，點D,E分別在AB,AC上，設(shè)CD,BE相交于點0,

若NA=60。，NDCB=NEBC=*NA.請你寫出圖中一個與NA相等的角，并猜想圖中哪個四邊形

是等對邊四邊形；

（3）在4ABC中，如果NA是不等于60。的銳角，點D,E分別在AB,AC上，且

NDCB=NEBC=/NA.探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結(jié)論.

點評：解決本題的關(guān)鍵是理解等對邊四邊形的定義，把證明BD=CE的問題轉(zhuǎn)化為證明三角形

全等的問題

25>（2008?北京）請閱讀下列材料:

問題：如圖1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A,B,E在同一條直線上，P是線段DE的中

點，連接PG,PC.若NABC=NBEF=60°,探究PG與PC的位置關(guān)系及等的值.

小聰同學(xué)的思路是：延長GP交DC于點H,構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決.請

你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：

（1）寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系及提的值；

（2）將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD

的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）.僚（1）中得到的兩個結(jié)論

是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明；

（3）若圖1中NABC=/BEF=2a（0°VaV90°）,櫻形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，原

問題中的其他條件不變，請你直接寫出院的值（用含a的式子表示）.

點評：本題是一道探究性的幾何綜合題，主要考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定及三角函

數(shù)的綜合運用.

24、（2009?北京）在平行四邊形ABCD中，過點C作CELCD交AD于點E,將線段EC繞點E

逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段EF（如圖1）

（1）在圖1中畫圖探究：

①當(dāng)P為射線CD上任意一點（Pi不與C重合）時，連接EPi；繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線

段EG1.判斷直線FGi與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；

②當(dāng)P2為線段DC的延長線上任意一點時，連接EP2,將線段EP2繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到

線段EC2.判斷直線JC2與直線CD的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論.

（2）若AD=6,tanB寺AE=1,在①的條件下，設(shè)CP】=x,求y與x之間的函數(shù)關(guān)

系式，并寫出自變量x的取值范圍.

G

點評：本題著重考查了二次函數(shù)解、圖形旋轉(zhuǎn)變換、三角形全等、探究垂直的構(gòu)成情況等重

要知識點，綜合性強(qiáng)，能力要求較高.考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.

25、（2010?北京）問題：已知aABC中,NBAC=2NACB,點D是4ABC內(nèi)的一點，且AD=CD,

BD=BA.探究NDBC與NABC度數(shù)的比值.

請你完成卜列探究過程：

先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進(jìn)行分析并加以證明.

（1）當(dāng)NBAC=90°時,依問題中的條件補(bǔ)全右圖；

觀察圖形，AB與AC的數(shù)量關(guān)系為；當(dāng)推出NDAC=15°時，可進(jìn)一步推出NDBC的度

數(shù)為；可得到NDBC與NABC度數(shù)的比值為:

（2）當(dāng)NBACV90。時，請你畫出圖形，研究NDBC與NABC度數(shù)的比值是否與（1）中的結(jié)

論相同，寫出你的猜想并加以證明.

腰三角形的性質(zhì)知NBAD=NBDA=75°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和是180。，找出圖中角的等量關(guān)系,

解答即可；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作NKCA=NBAC,過B點作BK〃AC交CK于點K,連接DK,構(gòu)建四

邊形ABKC是是等腰梯形，根據(jù)已知條件證明aKCD絲4BAD（SAS）,再證明△DKB是正三角

形，最后根據(jù)是等腰梯形與正三角形的性質(zhì)，求得/ABC與NDBC的度數(shù)并求出比值.

解答：解：（1）①當(dāng)NBAC=90°時，

VZBAC=2ZACB,

:.ZACB=45°,

SAABC中，ZABC=180°-ZACB-ZBAC=45°,

二NACB=NABC,

.,.AB=AC（等角對等邊）;

②當(dāng)NDAC=15°時，

ZDAB=90°-15°=75°,

/.ZBAD=ZBDA=75°,

:.ZDBA=180°-75°-75°=30°,

/.ZDBC=45°-30°=15°,即NDBC=15°,

AZDBC的度數(shù)為15°；

③：NDBC=15°,ZABC=45°,

AZDBC=15°：ZABC=45°=1：3,

ZDBC與NABC度數(shù)的比值為1：3.

(2)猜想：NDBC與NABC度數(shù)的比值與(1)中結(jié)論相同.

證明：如圖2,作NKCA=/BAC,過B點作BK〃AC交CK于點K,連接DK.

，四邊形ABKC是等腰梯形，

/.CK=AB,

VDC=DA,

，ZDCA=ZDAC,

■:ZKCA=ZBAC,

，ZKCD=Z3,

，AKCD^ABAD,

，N2=N4,KD=BD,

.*.KD=BD=BA=KC.

?；BK〃AC,

，NACB=N6,

ZKCA=2ZACB,

,Z5=ZACB,

，Z5=Z6,

，KC=KB,

/.KD=BD=KB,

，ZKBD=60°,

NACB=N6=60°-Zl,

ZBAC=2ZACB=120°-2Z1,

VZ1+(60°-Zl)+(120°-2Z1)+Z2=180°,

.?.N2=2N1,

二ZDBC與NABC度數(shù)的比值為1：3.

點評：本題綜合考查了是等腰梯形的判定與性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定以及

三角形的內(nèi)角和.

24、（2011?北京）在小BCD中，NBAD的平分線交直線BC于點E,交直線DC于點F.

（1）在圖1中證明CE=CF；

（2）若NABC=90°,G是EF的中點（如圖2）,直接寫出NBDG的度數(shù)；

（3）若NABC=120°,FG〃CE,FG=CE,分別連接DB、DG（如圖3）,求NBDG的度數(shù).

（2008海淀一模）23、已知：如圖，AC是。0的直徑，AB是弦，MN是過點A的直線，AB

等于半徑長.

（1）若NBAC=2NBAN,求證：MN是。0的切線.

（2）在（1）成立的條件下，當(dāng)點E是通的中點時，在AN上截取AD=AB,連接BD、BE、

DE,求證：ABED是等邊三角形.

（2008海淀一模）25、已知：如圖，一塊三角板的直角頂點P放在正方形ABCD的AB邊上,

并且使一條直角邊經(jīng)過點C,三角板的另一條直角邊與AD交于點Q.

（1）請你寫出此時圖形中成立的一個結(jié)論（任選一個）.

（2）當(dāng)點P滿足什么條件時，有AQ+BC=CQ?請證明你的結(jié)論.

（3）當(dāng)點Q在AD的什么位置時，可證得PC=3PQ?并寫出論證的過程.

種情況討論即可求解.

形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。

(2008海淀二模)23、已知：4ABC.

(1)如果AB=AC,D、E是AB、AC上的點，若AD=AE,請你寫出此圖中的另一組相等的線段;

(2)如果AB>AC,D、E是AB、AC上的點，若BD=CE,請你確定DE與BC的數(shù)量關(guān)系，并

證明你的結(jié)論.

點評：此題綜合運用了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊

關(guān)系.能夠巧妙構(gòu)造全等三角形是解決此題的關(guān)鍵.

(2008海淀二模)25、根據(jù)所給的圖形解答下列問題：

(1)如圖1,ZiABC中，AB=AC,ZBAC=90°,ADLBC于D,把4ABD繞點A旋轉(zhuǎn)，并拼接

成一個與4ABC面積相等的正方形，請你在圖中完成這個作圖；

(2)如圖2,AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,請你設(shè)計一種與(1)不同的方法，將這個三

角形拆分并拼接成一個與其面積相等的正方形，畫出利用這個三角形得到的正方形；

(3)設(shè)計一種方法把圖3中的矩形ABCD拆分并拼接為一個與其面積相等的正方形，請你依

據(jù)此矩形畫出正方形，并根據(jù)你所畫的圖形，證明正方形面積等于矩形ABCD的面積的結(jié)

(2009海淀一模)24、在課外小組活動時，小慧拿來一道題(原問題)和小東、小明交流.

原問題：如圖1,已知aABC,NACB=90°,NABC=45°,分別以AB、BC為邊向外作AABD與

△BCE,且DA=DB,EB=EC,NADB=NBEC=90°,連接DE交AB于點F.探究線段DF與EF的

數(shù)量關(guān)系.

小慧同學(xué)的思路是：過點D作DGLAB于G,構(gòu)造全等三角形，通過推理使問題得解.

小東同學(xué)說：我做過一道類似的題目，不同的是NABC=30°,NADB=NBEC=60度.

小明同學(xué)經(jīng)過合情推理，提出一個猜想，我們可以把問題推廣到一般情況.

請你參考小慧同學(xué)的思路，探究并解決這三位同學(xué)提出的問題：

(1)寫出原問題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,若NABC=30°,ZADB=ZBEC=60°,原問題中的其他條件不變，你在(1)中得

到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明；

(3)如圖3,若NADB=NBEC=2NABC,原問題中的其他條件不變，你在(1)中得到的結(jié)論

是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明.

VDA=DB,EB=EC,

/.AH=BH,Z1=ZHDB,

CK=BK,Z2=ZBEK.

.?.HK〃AC.

...點H、K、E在同一條直線上.

下同證法一.

點評：此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)

等知識點，在做題時要注意隱含條件的運用.

（2009海淀二模）25、已知：在四邊形ABCD中，AD〃BC,NBAC=ND,點E、F分別在BC、

CD上，且NAEF=NACD,試探究AE與EF之間的數(shù)量關(guān)系.

（1）如圖1,若AB=BC=AC,則AE與EF之間的數(shù)量關(guān)系是什么；

（2）如圖2,若AB=BC,你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出猜想，并加以證明；

（3）如圖3,若AB=kBC,你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出猜想不用證明.

（2010海淀一模）25、已知：ZXA0B中，AB=OB=2,AC0D中，CD=OC=3,ZAB0=ZDC0.連

接AD、BC,點M、N、P分別為OA、OD、BC的中點.

（1）如圖1,若A、0、C三點在同一直線上，且NABO=60。，則4PMN的形狀是,

此時器=.

（2）如圖2,若A、0、C三點在同一直線上，且NAB0=2a,證明△PMNs/\BA0,并計算豁

的值（用含a的式子表示）；

（3）在圖2中，固定aAOB,將aCOD繞點0旋轉(zhuǎn)，直接寫出PM的最大值.

CD

圖1圖2

BA

(2008西城一模)

25.如圖，正六邊形ABCDEF中，點M在AB邊上，NFMH=120°,MH與六邊形外角的平分線BQ

交于點H.

(1)當(dāng)點M不與點A、B重合時，求證：ZAFM=ZBMH.

(2)當(dāng)點M在正六邊形ABCDEF一邊AB上運動(點M不與點B重合)時，猜想FM與MH的數(shù)

量關(guān)系，并對猜想的結(jié)果加以證明.

考點:正多邊形和圓;全等三角形的判定與性質(zhì).

專題:探究型.

分析:(1)先有正多邊形的內(nèi)角和定理得出六邊形ABCDEF內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)NFMH=120°,

A、M、B在一條直線上，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；

(2)①當(dāng)點M與點A重合時，ZFMB=120°,MB與BQ的交點H與點B重合，故可直接得出

結(jié)論；

②當(dāng)點M與點A不重合時，連接FB并延長到G,使BG=BH,連接MG,由全等三角形的判定定

理可得出△MBHgaMBG,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

解答:(1)證明：六邊形ABCDEF為正六邊形，

,每個內(nèi)角均為120°.

VZFMH=120°,A、M、B在一條直線上，

ZAFM+ZFMA=ZFMA+ZBMH=60°,

；.NAFM=NBMH.

(2)解：猜想：FM=MH.

證明：①當(dāng)點M與點A重合時，ZFMB=120°,MB與BQ的交點H與點B重合，有FM=MH.

②當(dāng)點M與點A不重合時，

ED

證法一：如圖1,連接FB并延長到G,使BG=BH,連接MG.

VZBAF=120°,AF=AB,

/.ZAFB=ZFBA=30°.

V{BU=BGZMBH=ZMBGMB=MB,

...NMHB=NMGB,MH=MG,

VZAFM=ZBMH,ZHMB+ZMHB=30°,

NAFM+NMGB=30°,

VZAFM+ZMFB=30°,

/.ZMFB=ZMGB.

.*.FM=MG=MH.

證法二：如圖2,在AF上截取FP=MB,連接PM.圖2

VAF=AB,FP=MB,

；.PA=AM

,/ZA=120°,

.\ZAPM=12X(180°-120°)=30°,

有NFPM=150°,

〈BQ平分NCBN,

.?.ZMBQ=120°+30°=150°,

:.ZFPM=ZMBH,

由⑴知NPFM=NHMB,

.,.△FPM^AMBIL

/.FM=MH.

點嚴(yán)：本題考查的是正多邊形和圓，涉及到正多邊形的內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性

質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，涉及面較廣，難度較大.

（2008西城二模）

25.設(shè)點E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點，F(xiàn)是BC邊上一點，線段DE和AF相交于點P,

(1)證明：PC=2AQ.

(2)當(dāng)點F為BC的中點時，試比較APFC和梯形APCQ面積的大小關(guān)系，并對你的結(jié)論加以

證明.

考占.相似三角形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì);梯形.

專題:幾何綜合題.

分析:(1)延長DE,CB,相交于點R,作BM〃PC,交DR于點M.根據(jù)題意得NAQE=NEMB,

可證得AAEQ絲aBEM,AAED^ABER.則AD=BR=BC,再根據(jù)BM〃PC,證出△RBMs^RCP,即

可得出PC=2AQ.

(2)作BN〃AF,交RD于點N，則4RBNsaRFP.則BN/PF=RB/RF=2/3.還可證明aBNEg△APE.根

(1)證明:

VAQ/7PC,BM〃PC,

/.MB//AQ.

，ZAQE=ZEMB

是AB的中點，D、E、R三點共線，/.AE=EB,ZAEQ=ZBEM.

/.△AEQ^ABEM.

/.AQ=BM.

同理AAED絲ABER.

/.AD=BR=BC.

：BM〃PC,

/.RBM^ARCP,相似比是1：2.

PC=2MB=2AQ.

證法二：連接AC,交PQ于點K,易證△AKEsaCKD,

/.AE/DC=AK/KC=l/2.

?；AQ〃PC.

??,△AKQ^ACKP.

VAK/KC=l/2,

AAQ/PC=l/2,

即PC=2AQ.

(2)解：SAPFC=S梯形APCQ.

作BN〃AF,交RD于點N.

AARBN^ARFP.

???F是BC的中點，RB=BC,

，RB=2/3RF.

，BN/PF=RB/RF=2/3.

易證aBNE會AAPE.

，AP=BN.

，AP=2/3PF.

因PFC(視PC為底)與梯形APCQ的高的比等于APFC與△PQC中PC邊上的高的比，

易知等于PF與AP的比，于是可設(shè)△PFC中PC邊上的高h(yuǎn)i=3k,梯形APCQ的高h(yuǎn)z=2k.再設(shè)

AQ=a,則PC=2a.

/.SAPFC=l/2X2ahl=3ka,S梯形APCQ=l/2(AQ+PC)h2=l/2(a+2a)?2k=3ka.

因此SAPFC=S梯形APCQ.

點淬：本題是一道綜合性很強(qiáng)的題目，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定

和性質(zhì)以及平行四邊形和梯形的性質(zhì)，難度較大.

(2009西城一模)

25.已知：PA=2,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側(cè).

(1)如圖，當(dāng)NAPB=45°時，求AB及PD的長;

(2)當(dāng)NAPB變化，且其它條件不變時，求PD的最大值，及相應(yīng)NAPB的大小.

考點:解直角三角形;正方形的性質(zhì).

專題:計算題.

分析:(1)作輔助線，過點A作AEJ_PB于點E,在RtZXPAE中，已知NAPE,AP的值，根據(jù)

三角函數(shù)可將AE,PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在RtZXABE中，根據(jù)勾股定理可

將AB的值求出；

求PD的值有兩種解法，解法一：可將4PAD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到APYB,可得

△PADgZ\P'AB,求PD長即為求P'B的長，在Rtz^AP'P中可將PP'的值求出，在Rt^PP'B

中，根據(jù)勾股定理可將P'B的值求出；

解法二：過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F,交PB于G,在Rt^AEG中，可求出

AG,EG的長，進(jìn)而可知PG的值，在Rt^PFG中,可求出PF,在RtaPDF中,根據(jù)勾股定理

可將PD的值求出；

(2)將4PAD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△P'AB,PD的最大值即為P'B的最大值，故當(dāng)

P'、P、B三點共線時，P'B取得最大值，根據(jù)P'B=PP'+PB可求P'B的最大值，此時

ZAPB=180°-ZAPP)=135°.

D

/

解答:解：(1)①如圖，作AE±PB于點E,EB

「△APE中，ZAPE=45°,PA=2,

，AE=PE=2X22=1,

VPB=4,/.BE=PB-PE=3,

在Rt^ABE中，ZAEB=90°,

.\AB=AE2+BE2=10.

②解法一：如圖，因為四邊形ABCD為正方形，可將

△PAD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到APYB,

可得△PADgAP'AB,PD=P'B,PA=P'A.

/.ZPAP,=90°,NAPP'=45°,NP'PB=90°

Z.PP/=2PA=2,

/.PD=P/B=PP'2+PB2=22+42=25；

解法二：如圖，過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F,設(shè)DA的

延長線交PB于G.

在Rt^AEG中，

可得AG=AEcosNEAG=AEcosNABE=103,EG=13,PG=PE-EG=23.

在RtZ\PFG中，

可得PF=PG?cosNFPG=PG?cosNABE=105,FG=1015.

在RtZ\PDF中，可得，

PD=PF2+(AD+AG+FG)2=(105)2+(10+1015+103)2=25.

(2)如圖所示，將4PAD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。

得到AP'AB,PD的最大值即為P'B的最大值，

?.,△P'PB中，P'B<PP'+PB,PP'=2PA=2,PB=4,

且P、D兩點落在直線AB的兩側(cè)，

.,.當(dāng)P'、P、B三點共線時，P'B取得最大值(如圖)

D

C

此時P'B=PP'+PB=6,即P'B的最大值為6.

此時NAPB=180°-NAPP'=135度.

點評：考查綜合應(yīng)用解直角三角形、直角三角形性質(zhì)，進(jìn)行邏輯推理能力和運算能力，在解

題過稱中要求學(xué)生充分發(fā)揮想象空間，確定P'B取得最大值時點P'的位置.

(2009年西城區(qū)抽樣測試)

25.4ABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)一個動點，BP=BA,若0°VNPBCV180°,且NPBC的

平分線上一點D滿足DB=DA,

(1)當(dāng)BP和BA重合時(如圖1),ZBPD=；

(2)當(dāng)BP在NABC內(nèi)部時(如圖2),求NBPD；

(3)當(dāng)BP在NABC外部時，請直接寫出NBPD,并畫出相應(yīng)的圖形.

圖1圖2

考點:等邊三角形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).

專題:動點型.

分析:(1)由于P,A重合，DP=DB,ZDBP=ZDPB,因為DB是NPBC的平分線，因此，

ZDBP=ZDPB=30°；

(2)本題可通過構(gòu)建全等三角形來求解.連接CD,BP=BC,BD又是NPBC的平分線，三角

形PBD和CBD中又有一公共邊，因此兩三角形全等，NBPD=NBCD,那么關(guān)鍵是求NBCD的

值，那么我們就要看NBCD和NACB的關(guān)系了，可通過證明三角形ACD和BCD全等來得出，這

兩個三角形中，BD=AD,BC=AC,有一條公共邊CD因此NBCD=NACD=30°,那么就求出NBPD

的度數(shù)了；

(3)同(2)的證法完全一樣，步驟有2個，一是得出NBCD的度數(shù)，二是證明三角形BPD

和BCD全等，同(2)完全一樣.

(當(dāng)NBPD是鈍角時，NBPD=NBCD=(360-60)4-2=150°,還是用的(2)中的三角形BPD,

BCD全等,BCD,ACD全等)

解答:解：(1)NBPD=30°；

p

(2)如圖，連接CD,圖2

?.?點D在NPBC的平分線上

/.ZPBD=ZCBD

?.?△ABC是等邊三角形

/.BA=BC=AC,ZACB=60°

BP=BA

.\BP=BC

BD=BD

.,.△PBD^ACBD

ZBPD=ZBCD

VDB=DA,BC=AC,CD=CD

/.△BCD^AACD

ZBCD=ZACD=12ZACB=30°

...NBPD=30°；

故填30°.

點淬：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；通過全等三角形得出角相

等是解題的關(guān)鍵.

2010西城一模

24.如圖1,在平行四邊形ABCD中，AELBC于點E,E恰為BC的中點，tanB=2.

(1)求證：AD=AE；

(2)如圖2,點P在線段BE上，作EFJ_DP于點F,連接AF,求證：DF-EFSAF；

(3)請你在圖3中畫圖探究：當(dāng)P為線段EC上任意一點(P不與點E重合)時，作EF垂直

直線DP,垂足為點F,連接AF,線段DF、EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的結(jié)

論.

考點:平行四邊形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).

專題:證明題;探究型.

分析:(1)首先根據(jù)NB的正切值知：AE=2BE,而E是BC的中點，結(jié)合平行四邊形的對邊

相等即可得證.

(2)此題要通過構(gòu)造全等三角形來求解；作GA_LAF,交BD于G,通過證△AFEgAAGD,來

得到4AFG是等腰直角三角形且EF=GD,由此得證.

(3)輔助線作法和解法同(2),只不過結(jié)論有所不同而已.

解答:(1)證明：VtanB=2,

，AE=2BE；

?；E是BC中點，

/.BC=2BE,

即AE=BC；

又四邊形ABCD是平行四邊形，則AD=BC=AE；

(2)證明：作AGLAF,交DP于G；(如圖2)

VAD/7BC,

/.ZD=ZDPC；

VZAEP=ZEFP=90°,

：.ZPEF+ZEPF=ZPEF+ZAEF=90°,

即ND=NAEF=NFPE；

又：AE=AD,ZFAE=ZGAD=900-ZEAG,

.,.△AFE^AAGD,

；.AF=AG,即4AFG是等腰直角三角形,且EF=DG；

Z.FG=V2AF,且DF=DG+GF=EF+FG,

故DF-EF=V2AF；

(3)解：如圖3,①當(dāng)EPW2BC時，DF+EF=&AF,解法同(2).

②當(dāng)EP>2BC時，EF-DF=V2AF.

點評.?此題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，難度適中，正確

地構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵.

2010西城二模

24.在4ABC中，點P為BC的中點.

圖1圖2

(1)如圖1,求證：AP<\(AB+AC)；

(2)延長AB到D,使得BD=AC,延長AC到E,使得CE=AB,連接DE.

①如圖2,連接BE,若NBAC=60°,請你探究線段BE與線段AP之間的數(shù)量關(guān)系.寫出你的

結(jié)論，并加以證明；

1

②請在圖3中證明：BCdDE.

考點:平行四邊形的判定與性質(zhì);三角形三邊關(guān)系;全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形

的性質(zhì);三角形中位線定理.

專題:分類討論.

分析:(1)可通過構(gòu)建平行四邊形求解；延長AP至H,使PH=AP；則AH、BC互相平分，R

邊形ABHC是平行四邊形；在△ACH中，由三角形三邊關(guān)系定理知:AH<AC+CH,而HC=AB,AH=2AP,

等量代換后即可證得所求的結(jié)論；

(2)①可按照(1)題的思路求解；過B作AE的平行線，交DE于H,連接AH、CH；易知

AD=AE,若NBAC=60°,則AADE是等邊三角形，易證得△DBH也是等邊三角形，此時DB=BH=AC,

則四邊形ABHC的一組對邊平行且相等，則四邊形ABHC是平行四邊形；由此可證得P是平行

四邊形ABHC對角線的交點，且AH=2AP；下面可通過證4DBE絲ADHA得出AH=DE,從而得出

DE=2AP的結(jié)論；

②分兩種情況：

一、AB=AC時，由題意易知AB=AC=BD=CE,則BC是三角形ADE的中位線，此時DE=2BC；

二、ABWAC時，仿照①的思路，可以BC、BD為邊作平行四邊形DBCG,連接GE；易證得

△ABC^ACEG,則AB=GE；而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)易知BC=DG,那么在等腰4DGE中，DG=GE,

根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理知：DG+GE>DE,即2BODE；

綜合上述兩種情況即可證得所求的結(jié)論.

BP=PC；

四邊形ABHC是平行四邊形;

/.AB=HC；

在△ACH中，AHVHC+AC；

.?.2APVAB+AC；

即AP<*(AB+AC)

(2)①答：BE=2AP.

證明：過B作BH〃AE交DE于H,連接CH、AH；

?,.Zl=ZBAC=60°；

VDB=AC,AB=CE,

/.AD=AE,

AAAED是等邊三角形，

/.ZD=Zl=Z2=ZAED=60o；

/.△BDH是等邊三角形；

，BD=DH=BH=AC；

，四邊形ABHC是平行四邊形；

??,點P是BC的中點，

，AH、BC互相平分于點P,即AH=2AP；

在aADH和4EDB中，｛AD=EDZD=ZDDH=DB；

/.△ADH^AEDB；

.*.AH=BE=2AP；

②證明：分兩種情況：

i)當(dāng)AB=AC時,

/.AB=AC=DB=CE；

，BCmDE；

ii)當(dāng)ABWAC時,

以BD、BC為一組鄰邊作平行四邊形BDGC(如圖)

ADB=GC=AC,ZBAC=Z1,BC=DG,

VAB=CE；

AAABC^ACEG；

/.BC=EG=DG；

在ADGE中，DG+GE>DE；

.\2BODE,BPBOjDE；

綜上所述，BC》/DE.

，點淬：此題考查了三角形三邊關(guān)系定理、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角

形的判定和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度較大.

2008東城一模

25.已知aABC中，AB=AC=3,ZBAC=90°,點D為BC上一點，把一個足夠大的直角三角板的

直角頂點放在D處.

（1）如圖①，若BD=CD,將三角板繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，兩條直角邊分別交AB、AC于點E、點

F,求出重疊部分AEDF的面積（直接寫出結(jié)果）.

（2）如圖②，若BD=CD,將三角板繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，使一條直角邊交AB于點E、另一條直

角邊交AB的延長線于點F,設(shè)AE=x,重疊部分的面積為y,求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫

出自變量x的取值范圍.

（3）若BD=2CD,將三角板繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，使一條直角邊交AC于點F,另一條直角邊交

射線AB于點E.設(shè)CF=x（x>l）,重疊部分的面積為y,求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出

自變量x的取值范圍.

考點:相似三角形的判定與性質(zhì);根據(jù)實際問題列次函數(shù)關(guān)系式;全等三角形的判定與性

匝；等腰直角三角形;旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

分析:（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出重疊部分AEDF的面積等于三角形ABC面積的一半.

(2)過點D作DM_LAB,則y)BE?DM§(3-x)?.|=|(3-x)(0WxW3且x#.).

（3）分兩種情況：①如圖①，連接AD,過點D分別作AB、AC的垂線，垂足為M,N.則y

(1VXW2)；

②如圖②，過點D作AC的垂線，垂足為N,則y=9/2-4x（2Vx<3）.

解箏解：⑴S四邊形AEDF*.

(2)過點D作DM_LAB,垂足為點M,y=/BE?DM=4(3-x)?.|=|(3-x)(0WxW3且xW。).

(3)①如圖①，連接AD,過點D分別作AB、AC的垂線，垂足為M,N.

VAB=AC=3,ZBAC=90°,

/.BC=3V2.

VBD=2CD,_

，BD=2我，CEh/2.

易得DN=1,DM=2,

易證N1=N2,

VZDME=ZDNF=90°,

/.△DME^ADNF.

/.ME/FN=DM/DN.

.,.ME=2(x-1).

/.AE=2(x-1)+l=2x-l.

Ay=SAADE+SAADF4(2x-l)?2弓(3-x)?l=^|x耳(1VXW2).

②如圖②，過點D作AC的垂線，垂足為N,

VAB=AC=3,ZBAC=90°,

/.BC=3V2.__

VBD=2CD,，BD=2a,CD

易得DN=1,/.y=SAABC-SACDF=9/2-1=9/2-1x(2<x<3).

.,.y=(lVx<2)

19/2-；x(2VxW3)

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及根

據(jù)實際問題列一次函數(shù)的關(guān)系式.

2009東城一模

25.請閱讀下列材料：

圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.即如圖1,若弦AB、CD交于點P,

則PA?PB=PC?PD.請你根據(jù)以上材料，解決下列問題.

的切線m和n,作PQ，m于點Q,PR，n于點R.(如圖2)

(1)若AC恰經(jīng)過圓心0,請你在圖3中畫出符合題意的圖形，并計算：1/PQ+1/PR的值；

(2)若0P_LAC,請你在圖4中畫出符合題意的圖形，并計算：1/PQ+1/PR的值；

(3)若AC是過點P的任一弦(圖2),請你結(jié)合(1)(2)的結(jié)論，猜想：1/PQ+1/PR的值,

并給出證明.

考點:相交弦定理;相似三角形的判定與性質(zhì).

專題:閱讀型.

分析:(1)由于AC過圓心，那么Q,A重合，R,C重合，可根據(jù)0P和半徑的長求出PA,PC

的長，即PQ,PR的長.由此可得出所求的結(jié)論；

(2)連接0A,不難得出0A〃PQ,那么可得出N0AP=NAPQ,可先在直角三角形0AP中，求出

N0AP的度數(shù)和AP的長，進(jìn)而可在直角三角形APQ中求出PQ的長，同理可求出PR的長，即

可求出所求的結(jié)論；(本題還可通過證4ADP和4PAQ相似，得出1/PQ的值，同理可連接CD

得出1/PR的值)

(3)本題要通過相似三角形來求解.過點A作直徑交。0于點E,連接EC,通過相似三角形

△AEC^APAQ,得出關(guān)于AC,PQ,AE,AP的比例關(guān)系式，同理可求出AC,PR,AE,PC的比

例關(guān)系式，兩式聯(lián)立可得出1/PQ+1/PR的表達(dá)式，然后根據(jù)相交弦定理即可證得所求的結(jié)論.

(第二種證法和(2)的第二種求法完全相同.)

.,.AC_Lm于點A,AC_Ln于點C.

.?.Q與A重合，R與C重合.

V0P=l,AC=4,

/.l/PQ+l/PR=l+l/3=4/3.

(2)連接0A,

m

o

R

,.,OP_LAC于點P,且OP=1,0A=2,

/.Z0AP=30°.

.*.AP=73.

?.?OA_L直線m,PQJ_直線m,

AOAZ/PQ,ZPQA=90°.

AZAPQ=Z0AP=30°.

.*.AP=V3.

?.?OA,直線m,PQLF直線m,

/.OA//PQ,ZPQA=90°.

，NAPQ=N0AP=30°.

在RtZXAQP中，PQ=3/2,同理，PR=3/2,

/.l/PQ+l/PR=2/3+2/3=4/3.

(3)猜想l/PQ+l/PR=4/3.

證明：過點A作直徑交。0于點E,連接EC,

.,.ZECA=90°.

???AE_L直線m,PQ,直線，

，AE〃PQ且NPQA=90°.

AZEAC=ZAPQ.

,??△AEC^APAQ.

...AC/PQ=AE/AP①

同理可得：AC/PR=AE/PC②

①+②，得：

AC/PQ+AC/PR=AE/AP+AE/PC

/.1/PQ+1/PR=AE/AC(1/AP+l/PC)

=(AE/AC)?(PC+AP)/(AP?PC)=AE/(AP?PC).

過P作直徑交。0于M,N,

根據(jù)閱讀材料可知：AP?PC=PM?PN=3,

，l/PQ+l/PR=4/3.

點淬：本題主要考查了相似三角形和相交弦定理的應(yīng)用，根據(jù)相似三角形得出與所求相關(guān)的

線段成比例是解題的關(guān)鍵.

2009東城二模

25.如圖,在直角梯形ABCD中,AD〃BC,DC±BC,AB=10,AD=6,DC=8,BC=12,點E在下底

邊BC上，點F在AB上.

(1)若EF平分直角梯形ABCD的周長，設(shè)BE的長為x,試用含x的代數(shù)式表示4BEF的面積;

(2)是否存在線段EF將直角梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長;

若不存在，請說明理由；

(3)若線段EF將直角梯形ABCD的周長分為1：2兩部分，將aBEF的面積記為S,,五邊形

AFECD的面積記為S2,且S1：S2=K求出k的最大值.

考點:二次函數(shù)綜合題;直角梯形;相似三角形的判定與性質(zhì).

專題:綜合題;開放型.

分析:(1)由已知，得梯形周長=36,高=8,面積=72.用含x的代數(shù)式表示4BEF的面積，

只需求FG即可；

(2)根據(jù)函數(shù)關(guān)系式無解，知不存在線段EF將直角梯形ABCD的周長和面積同時平分.

(3)由已知易知，線段EF將直角梯形ABCD的周長分為1：2兩部分，只能是FB+BE與

FA+AD+DC+CE的比是1：2,則有k=Si：S2=S1/(72-S1),要使k取最大值，只需＞取最大值,

根據(jù)S△眠=l/2BE?FG=-2/5x2+36/5x(8WxW12),求出S1取最大值72/5.得出k的最大值是

1/4.

解答:

解：(1)由已知，得梯形周長=36,高=8,面積=72.

過點F作FG±BC于點G,過點A作AK±BC于點K,

則△BFGSABAK

可得FG=4/5(18-x)

S△砥=1/2BE?FG=-2/5x2+36/5x(8WxW12)(3分)

(2)不存在.(4分)

由⑴-2/5X2+36/5x=36,

整理得：(x-9)2=-9,此方程無解.(5分)

不存在線段EF將直角梯形ABCD的周長和面積同時平分.

(3)由已知易知，線段EF將直角梯形ABCD的周長分為1：2兩部分，只能是FB+BE與

FA+AD+DC+CE的比是1：2.(6分)

k=S1；Sz=Sl/(72-Sl)要使k取最大值,只需S1取最大值.

與(1)同理，F(xiàn)G=4/5(12-x)Si=l/2BE*FG=-2/5x2+24/5x(2WxV12),

當(dāng)x=6時,，取最大值7/25.此時k=l/4

，k的最大值是1/4.(8分)

點?。罕绢}結(jié)合直角梯形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，注意此題三角形邊與面積，梯形

周長，高，面積相互間的關(guān)系.

2010東城一模

25.如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點M,正方形MNPQ與正方形ABCD全等，射

線MN與MQ不過A、B、C、D四點且分別交

ABCD的邊于E、F兩點,

(1)求證：ME=MF；

(2)若將原題中的正方形改為矩形，且BC=2AB=4,其他條件不變，探索線段ME與線段MF

的數(shù)量關(guān)系.

考點:相似三角形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).

專題:幾何綜九題.

分析.?(1)求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等；故M分別作MGLBC于G,MH±CD

于H,易得MG=MH,而NEMG、NFMH都是NGMF的余角，由此可證得NEMG=NFMH,即可證得

△MGE^AMHF,由此得證.

(2)此題要分四種情況討論：

①當(dāng)MN交BC于點E,MQ交CD于點F時-；此種情況與(1)類似，不同的是(1)題用到的

是全等，而此題運用的是相似，過點M作MG1BC于點G,MH±CD于點H,通過證△MGEs^MHF,

得到關(guān)于ME、MF、MG、MH的比例關(guān)系式，聯(lián)立矩形的性質(zhì)及BC、AB的比例關(guān)系，即可求得

ME、MF的比例關(guān)系；

②當(dāng)MN的延長線交AB于點E,MQ交BC于點F時一.解法同①；

③當(dāng)MN、MQ兩邊都交邊BC于E、F時，過M作MH_LBC于H,由于M是AC的中點，且已知AB

的長，即可求得MH=1,在Rt^EMF中，MH1EF,易證得△MEHsaFEM,AFMH^AFEM.可得

ME/FE=MH/FM,FM/FE=MH/EM.將MH=1代入上述兩式，然后聯(lián)立勾股定理即可得到ME、MF的

關(guān)系式；

④當(dāng)MN交BC邊于E點，MQ交AD于點F時.可延長EM交BC于G,易證得△MEDgZ\MGB,即

可得ME=MG,那么這種情況下與③完全相同，即可得解.

(1)證明：過點M作MGLBC于點G,MHLCD于點H.

AZMGE=ZMHF=90°.

???M為正方形對角線AC、BD的交點，，MG=MH.

XVZ1+ZGMQ=Z2+ZGMQ=9O°,

AZ1=Z2.

在4MGE和△MHF中

Z1=Z2,

MG=MH,

ZMGE=ZMHF.

，ME=MF.（3分）

A

B

(2)解：①當(dāng)MN交BC于點E,MQ交CD于點F時.

過點M作MGLBC于點G,MHLCD于點H.

AZMGE=ZMHF=90°.

VM為矩形對角線AC、BD的交點，

AZl+ZGMQ=Z2+ZGMQ=90°.

.*.Z1=Z2,

在aMGE和△MHF中，

Z1=Z2

ZMGE=ZMHF

.,.ME/MF=MG/MH.

??'M為矩形對角線AB、AC的交點，，MB=MD=MC

XVMG±BC,MH±CD,.?.點G、H分別是BC、DC的中點.

VBC=2AB=4,

，MG=1/2AB,MH=1/2BC.

，ME/MF=l/2.（4分）

②當(dāng)MN的延長線交AB于點E,MQ交BC于點F時一.

過點M作MG_LAB于點G,MH_LBC于點H.

/.ZMGE=ZMHF=90°.

:M為矩形對角線AC、BD的交點，

AZl+ZGMQ=Z2+ZGMQ=90°.

AZ1=Z2.

在4MGE和△MHF中，

Z1=Z2,

ZMGE=ZMHF.

.,.△MGE^AMUF.

/.ME/MF=MG/MH.

VM為矩形對角線AC、BD的交點，

，MB=MA=MC.

XVMG1AB,MH_LBC,.*.點G、H分別是AB、BC的中點.

VBC=2AB=4,.*.MG=1/2BC.MI1=1/2AB.

，ME/MF=2.(5分)

過點M作MH±BC于點H.

AZMHE=ZMHF=ZNMQ=90°.

.*.Z1=Z3,Z2=Z4.

AFMH^AFEM.

.\ME/FE=MH/FM,FM/FE=MH/EM.

:M為矩形對角線AC、BD的交點，

.?.點M為AC的中點.

XVMH±BC,

.?.點M、H分別是AC、BC的中點.

,/BC=2AB=4,

.\AB=2.

，1/ME=FM/(MH?EF)=FM/EF,1/MF=EM/(MH?EF)=EM/EF.

/.I/ME2+I/MF2=(FM2+EM2)/EF2=1.(6分)

④當(dāng)MN交BC邊于E點，MQ交AD于點F時.

延長FM交BC于點G.

易證AMED絲ZXMGB./.MF=MG.

同理由③得1/MG2+1/M￡2=I.

/.1/ME2+1/MF2=1.(7分)

綜上所述：ME與MF的數(shù)量關(guān)系是ME/MF=l/2或ME/MF=2或1/ME2+1/MF2=1.

點淬：此題考查了正方形、矩形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定

理等知識的綜合應(yīng)用；由于(2)題的情況較多，做到不漏解是此題的難點.

2010東城二模

25.已知，正方形ABCD的邊長為1,直線L〃直線L,L與L之間的距離為1,L、h與正方

形ABCD的邊總有交點.

(1)如圖1,當(dāng)LJ_AC于點A,LLAC交邊DC、BC分別于E、F時，求aEFC的周長；

(2)把圖1中的L與k同時向右平移x,得到圖2,問4EFC與AAMN的周長的和是否隨x

的變化而變化，若不變，求出aEFC與4AMN的周長的和；若變化，請說明理由；

(3)把圖2中的正方形饒點A逆時針旋轉(zhuǎn)a,得到圖3,問AEFC與4AMN的周長的和是否

專題:證明題.

分析:(1)分別計算EF、EC、CF的長度，計算aEFC的周長即EF+EC+CF即可；

(2)WAAHM^AERP,AAHN絲4rGQ得AM=EP,HM=PR,AN=FQ,HN=GQ,可得AEFC與AAMN

的周長的和不隨x的變化而變化.

(3)AAHM^AFSQ,△AHNgZ\ERP可得AM=FQ,HM=SQ,AN=EP,HN=RP.可以求得△EFC與

△AMN的周長的和為△CPQ的周長.

解答：鞭：(1)如圖1,???正方形ABCD的邊長為1,

/?AC=V2.

又;直線L〃直線k,L與L之間的距離為1.

.\CG=V2-1._

，EF=2我-2,EC=CF=2-V2.

.,.△EFC的周長為EF+EC+CF=2；

(2)AEFC與aAMN的周長的和不隨x的變化而變化.

如圖2,把L、k向左平移相同的距離，

使得L過A點，即L平移到L,b平移到

過E、F分別做L的垂線，垂足為R,G.

可證△AHMgZiERP,AAHN^AFGQ.

，AM=EP,HM=PR,AN=FQ,HN=GQ.

...△EFC與4AMN的周長的和為aCPQ的周長，由已知可計算4CPQ的周長為2,

???△EFC與4AMN的周長的和為2；

(3)AEFC與AAMN的周長的和不隨a的變化而變化.

可證△AHMgAFSQ,AAHN^AERP,

，AM=FQ,HM=SQ,AN=EP,HN=RP.

.,.△EFC與aAMN的周長的和為△口＞￡）的周長.

如圖4,過A作％的垂線，垂足為T.連接AP、AQ.

可證AAPT絲AAPD,AAQT^AAQB,

，DP=PT,BQ=TQ.

/.△CPQ的周長為DP+PC+CQ+QB=DC+CB=2.

.,.△EFC與4AMN的周長的和為2.

點評：本題考查了正方形各邊長相等的性質(zhì)，正方形各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，勾股定理在直角

三角形中的運用，幾何變換類型題目的解決方法.

2011東城二模

24.如圖1,在aABC中，AB=BC=5,AC=6.4ECD是aABC沿CB方向平移得到的，連接AE,

AC和BE相交于點0.

（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論；

（2）如圖2,P是線段BC上一動點（不與點B、C重合），連接P0并延長交線段AE于點Q,

QR±BD,垂足為點R.

①四邊形PQED的面積是否隨點P的運動而發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出四

邊形PQED的面積；

②當(dāng)線段BP的長為何值時，以點P、Q、R為頂點的三角形與△B0C相似？

考占.相似三角形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);菱形的判定與性質(zhì);平移的性

質(zhì).

專題:證明題.

分析:（1）四邊形ABCE是菱形.證明：’.?△ECD是aABC沿BC方向平移得到的，.,.EC〃AB,

EC=AB....四邊形ABCE是平行四邊形.又?.?AB=BC,.?.四邊形ABCE是菱形.

（2）①由菱形的對稱性知，△PBOgAQEO,可得由4ECD是由AABC平移得到的,

可得ED〃AC,ED=AC=6.又,.,BE_LAC,BE_LED,可得S四邊畛I>（O=SAQEO+S四邊彩POH）=SZ\PBO+Spq邊彩

p哪=$,=1/2XBEXED=l/2X8X6=24.

②如圖,是△OBP的外角,.\Z2>Z3.不與N3對應(yīng)..，.N2與N1對應(yīng).即

Z2=Z1,.-.0P=0C=3.過0作OGLBC于G,則G為PC的中點.可證△OGCsaBOC.可得CG：

CO=CO：BC.從而可求解.

（1）四邊形ABCE是菱形.

證明：?.?△ECD是4ABC