概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課后習題答案

PAGE..概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后習題答案第二章1.一袋中有5只乒乓球,編號為1,2,3,4,5,在其中同時取3只,以X表示取出的3只球中的最大號碼,寫出隨機變量X的分布律.[解]故所求分布律為X345P0.10.30.62.設在15只同類型零件中有2只為次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽樣,以X表示取出的次品個數(shù),求：〔1X的分布律；〔2X的分布函數(shù)并作圖；<3>.[解]故X的分布律為X012P〔2當x<0時,F〔x=P〔X≤x=0當0≤x<1時,F〔x=P〔X≤x=P<X=0>=當1≤x<2時,F〔x=P〔X≤x=P<X=0>+P<X=1>=當x≥2時,F〔x=P〔X≤x=1故X的分布函數(shù)<3>3.射手向目標獨立地進行了3次射擊,每次擊中率為0.8,求3次射擊中擊中目標的次數(shù)的分布律及分布函數(shù),并求3次射擊中至少擊中2次的概率.[解]設X表示擊中目標的次數(shù).則X=0,1,2,3.故X的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512分布函數(shù)4.〔1設隨機變量X的分布律為P{X=k}=,其中k=0,1,2,…,λ＞0為常數(shù),試確定常數(shù)a.〔2設隨機變量X的分布律為P{X=k}=a/N,k=1,2,…,N,試確定常數(shù)a.[解]〔1由分布律的性質(zhì)知故<2>由分布律的性質(zhì)知即.5.甲、乙兩人投籃,投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次,求：〔1兩人投中次數(shù)相等的概率;〔2甲比乙投中次數(shù)多的概率.[解]分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù),則X~b〔3,0.6,Y~b<3,0.7><1>+<2>=0.2436.設某機場每天有200架飛機在此降落,任一飛機在某一時刻降落的概率設為0.02,且設各飛機降落是相互獨立的.試問該機場需配備多少條跑道,才能保證某一時刻飛機需立即降落而沒有空閑跑道的概率小于0.01<每條跑道只能允許一架飛機降落>？[解]設X為某一時刻需立即降落的飛機數(shù),則X~b<200,0.02>,設機場需配備N條跑道,則有即利用泊松近似查表得N≥9.故機場至少應配備9條跑道.7.有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設每輛車在一天的某時段出事故的概率為0.0001,在某天的該時段內(nèi)有1000輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少〔利用泊松定理？[解]設X表示出事故的次數(shù),則X~b〔1000,0.00018.已知在五重貝努里試驗中成功的次數(shù)X滿足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}.[解]設在每次試驗中成功的概率為p,則故所以.9.設事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3,當A發(fā)生不少于3次時,指示燈發(fā)出信號,〔1進行了5次獨立試驗,試求指示燈發(fā)出信號的概率；〔2進行了7次獨立試驗,試求指示燈發(fā)出信號的概率.[解]〔1設X表示5次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù),則X~6〔5,0.3<2>令Y表示7次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù),則Y~b〔7,0.310.某公安局在長度為t的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為〔1/2t的泊松分布,而與時間間隔起點無關(guān)〔時間以小時計.〔1求某一天中午12時至下午3時沒收到呼救的概率；〔2求某一天中午12時至下午5時至少收到1次呼救的概率.[解]〔1<2>11.設P{X=k}=,k=0,1,2P{Y=m}=,m=0,1,2,3,4分別為隨機變量X,Y的概率分布,如果已知P{X≥1}=,試求P{Y≥1}.[解]因為,故.而故得即從而12.某教科書出版了2000冊,因裝訂等原因造成錯誤的概率為0.001,試求在這2000冊書中恰有5冊錯誤的概率.[解]令X為2000冊書中錯誤的冊數(shù),則X~b<2000,0.001>.利用泊松近似計算,得13.進行某種試驗,成功的概率為,失敗的概率為.以X表示試驗首次成功所需試驗的次數(shù),試寫出X的分布律,并計算X取偶數(shù)的概率.[解]14.有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為0.002,每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費,而在死亡時家屬可從保險公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：〔1保險公司虧本的概率;〔2保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.[解]以"年"為單位來考慮.〔1在1月1日,保險公司總收入為2500×12=30000元.設1年中死亡人數(shù)為X,則X~b<2500,0.002>,則所求概率為由于n很大,p很小,λ=np=5,故用泊松近似,有<2>P<保險公司獲利不少于10000>即保險公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P〔保險公司獲利不少于20000即保險公司獲利不少于20000元的概率約為62%15.已知隨機變量X的密度函數(shù)為f<x>=Ae|x|,∞<x<+∞,求：〔1A值；〔2P{0<X<1};<3>F<x>.[解]〔1由得故.<2><3>當x<0時,當x≥0時,故16.設某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管,電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f<x>=求：〔1在開始150小時內(nèi)沒有電子管損壞的概率；〔2在這段時間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；〔3F〔x.[解]〔1<2><3>當x<100時F〔x=0當x≥100時故17.在區(qū)間［0,a］上任意投擲一個質(zhì)點,以X表示這質(zhì)點的坐標,設這質(zhì)點落在［0,a］中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長度成正比例,試求X的分布函數(shù).[解]由題意知X~∪[0,a],密度函數(shù)為故當x<0時F〔x=0當0≤x≤a時當x>a時,F〔x=1即分布函數(shù)18.設隨機變量X在[2,5]上服從均勻分布.現(xiàn)對X進行三次獨立觀測,求至少有兩次的觀測值大于3的概率.[解]X~U[2,5],即故所求概率為19.設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X〔以分鐘計服從指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務,若超過10分鐘他就離開.他一個月要到銀行5次,以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務而離開窗口的次數(shù),試寫出Y的分布律,并求P{Y≥1}.[解]依題意知,即其密度函數(shù)為該顧客未等到服務而離開的概率為,即其分布律為20.某人乘汽車去火車站乘火車,有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠,所需時間X服從N〔40,102；第二條路程較長,但阻塞少,所需時間X服從N〔50,42.〔1若動身時離火車開車只有1小時,問應走哪條路能乘上火車的把握大些？〔2又若離火車開車時間只有45分鐘,問應走哪條路趕上火車把握大些？[解]〔1若走第一條路,X~N〔40,102,則若走第二條路,X~N〔50,42,則++故走第二條路乘上火車的把握大些.〔2若X~N〔40,102,則若X~N〔50,42,則故走第一條路乘上火車的把握大些.21.設X~N〔3,22,〔1求P{2<X≤5},P{4<X≤10},P{｜X｜＞2},P{X＞3};〔2確定c使P{X＞c}=P{X≤c}.[解]〔1<2>c=322.由某機器生產(chǎn)的螺栓長度〔cmX~N〔10.05,0.062,規(guī)定長度在10.05±0.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.[解]23.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命X〔小時服從正態(tài)分布N〔160,σ2,若要求P{120＜X≤200}≥0.8,允許σ最大不超過多少？[解]故24.設隨機變量X分布函數(shù)為F〔x=〔1求常數(shù)A,B；〔2求P{X≤2},P{X＞3}；〔3求分布密度f〔x.[解]〔1由得〔2<3>25.設隨機變量X的概率密度為f〔x=求X的分布函數(shù)F〔x,并畫出f〔x及F〔x.[解]當x<0時F〔x=0當0≤x<1時當1≤x<2時當x≥2時故26.設隨機變量X的密度函數(shù)為〔1f<x>=ae|x|,λ>0;<2>f<x>=試確定常數(shù)a,b,并求其分布函數(shù)F〔x.[解]〔1由知故即密度函數(shù)為當x≤0時當x>0時故其分布函數(shù)<2>由得b=1即X的密度函數(shù)為當x≤0時F〔x=0當0<x<1時當1≤x<2時當x≥2時F〔x=1故其分布函數(shù)為27.求標準正態(tài)分布的上分位點,〔1=0.01,求;〔2=0.003,求,.[解]〔1即即故〔2由得即查表得由得即查表得28.設隨機變量X的分布律為X21013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.[解]Y可取的值為0,1,4,9故Y的分布律為Y0149Pk1/57/301/511/3029.設P{X=k}=<>k,k=1,2,…,令求隨機變量X的函數(shù)Y的分布律.[解]30.設X~N〔0,1.〔1求Y=eX的概率密度；〔2求Y=2X2+1的概率密度；〔3求Y=｜X｜的概率密度.[解]〔1當y≤0時,當y>0時,故<2>當y≤1時當y>1時故<3>當y≤0時當y>0時故31.設隨機變量X~U〔0,1,試求：〔1Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)；〔2Z=2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù).[解]〔1故當時當1<y<e時當y≥e時即分布函數(shù)故Y的密度函數(shù)為〔2由P〔0<X<1=1知當z≤0時,當z>0時,即分布函數(shù)故Z的密度函數(shù)為32.設隨機變量X的密度函數(shù)為f<x>=試求Y=sinX的密度函數(shù).[解]當y≤0時,當0<y<1時,當y≥1時,故Y的密度函數(shù)為33.設隨機變量X的分布函數(shù)如下：試填上<1>,<2>,<3>項.[解]由知②填1。由右連續(xù)性知,故①為0。從而③亦為0。即34.同時擲兩枚骰子,直到一枚骰子出現(xiàn)6點為止,求拋擲次數(shù)X的分布律.[解]設Ai={第i枚骰子出現(xiàn)6點}?！瞚=1,2,P<Ai>=.且A1與A2相互獨立。再設C={每次拋擲出現(xiàn)6點}。則故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。35.隨機數(shù)字序列要多長才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9?[解]令X為0出現(xiàn)的次數(shù),設數(shù)字序列中要包含n個數(shù)字,則X~b<n,0.1>即得n≥22即隨機數(shù)字序列至少要有22個數(shù)字。36.已知F〔x=則F〔x是〔隨機變量的分布函數(shù).〔A連續(xù)型；〔B離散型；〔C非連續(xù)亦非離散型.[解]因為F〔x在〔∞,+∞上單調(diào)不減右連續(xù),且,所以F〔x是一個分布函數(shù)。但是F〔x在x=0處不連續(xù),也不是階梯狀曲線,故F〔x是非連續(xù)亦非離散型隨機變量的分布函數(shù)。選〔C37.設在區(qū)間[a,b]上,隨機變量X的密度函數(shù)為f<x>=sinx,而在[a,b]外,f<x>=0,則區(qū)間[a,b]等于〔<A>[0,π/2];<B>[0,π];<C>[π/2,0];<D>[0,].[解]在上sinx≥0,且.故f<x>是密度函數(shù)。在上.故f<x>不是密度函數(shù)。在上,故f<x>不是密度函數(shù)。在上,當時,sinx<0,f<x>也不是密度函數(shù)。故選〔A。38.設隨機變量X~N〔0,σ2,問：當σ取何值時,X落入?yún)^(qū)間〔1,3的概率最大？[解]因為利用微積分中求極值的方法,有得,則又故為極大值點且惟一。故當時X落入?yún)^(qū)間〔1,3的概率最大。39.設在一段時間內(nèi)進入某一商店的顧客人數(shù)X服從泊松分布P〔λ,每個顧客購買某種物品的概率為p,并且各個顧客是否購買該種物品相互獨立,求進入商店的顧客購買這種物品的人數(shù)Y的分布律.[解]設購買某種物品的人數(shù)為Y,在進入商店的人數(shù)X=m的條件下,Y~b<m,p>,即由全概率公式有此題說明：進入商店的人數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布,購買這種物品的人數(shù)仍服從泊松分布,但參數(shù)改變?yōu)棣藀.40.設隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.證明：Y=1e2X在區(qū)間〔0,1上服從均勻分布.[證]X的密度函數(shù)為由于P〔X>0=1,故0<1e2X<1,即P〔0<Y<1=1當y≤0時,FY〔y=0當y≥1時,FY〔y=1當0<y<1時,即Y的密度函數(shù)為即Y~U〔0,141.設隨機變量X的密度函數(shù)為f<x>=若k使得P{X≥k}=2/3,求k的取值范圍.<2000研考>[解]由P〔X≥k=知P〔X<k=若k<0,P<X<k>=0若0≤k≤1,P<X<k>=當k=1時P〔X<k=若1≤k≤3時P〔X<k=若3<k≤6,則P〔X<k=若k>6,則P〔X<k=1故只有當1≤k≤3時滿足P〔X≥k=.42.設隨機變量X的分布函數(shù)為F<x>=求X的概率分布.〔1991研考[解]由離散型隨機變量X分布律與分布函數(shù)之間的關(guān)系,可知X的概率分布為X113P0.40.40.243.設三次獨立試驗中,事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27,求A在一次試驗中出現(xiàn)的概率.[解]令X為三次獨立試驗中A出現(xiàn)的次數(shù),若設P〔A=p,則X~b<3,p>由P〔X≥1=知P〔X=0=〔1p3=故p=44.若隨機變量X在〔1,6上服從均勻分布,則方程y2+Xy+1=0有實根的概率是多少？[解]45.若隨機變量X~N〔2,σ2,且P{2<X<4}=0.3,則P{X<0}=.[解]故因此46.假設一廠家生產(chǎn)的每臺儀器,以概率0.7可以直接出廠；以概率0.3需進一步調(diào)試,經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠,以概率0.2定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n<n≥2>臺儀器〔假設各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨立.求〔1全部能出廠的概率α；〔2其中恰好有兩臺不能出廠的概率β；〔3其中至少有兩臺不能出廠的概率θ.[解]設A={需進一步調(diào)試},B={儀器能出廠},則={能直接出廠},AB={經(jīng)調(diào)試后能出廠}由題意知B=∪AB,且令X為新生產(chǎn)的n臺儀器中能出廠的臺數(shù),則X~6〔n,0.94,故47.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明,考生的外語成績〔百分制近似服從正態(tài)分布,平均成績?yōu)?2分,96分以上的占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率.[解]設X為考生的外語成績,則X~N〔72,σ2故查表知,即σ=12從而X~N〔72,122故48.在電源電壓不超過200V、200V~240V和超過240V三種情形下,某種電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2〔假設電源電壓X服從正態(tài)分布N〔220,252.試求：〔1該電子元件損壞的概率α;<2>該電子元件損壞時,電源電壓在200~240V的概率β[解]設A1={電壓不超過200V},A2={電壓在200~240V},A3={電壓超過240V},B={元件損壞}。由X~N〔220,252知由全概率公式有由貝葉斯公式有49.設隨機變量X在區(qū)間〔1,2上服從均勻分布,試求隨機變量Y=e2X的概率密度fY<y>.[解]因為P〔1<X<2=1,故P〔e2<Y<e4=1當y≤e2時FY〔y=P<Y≤y>=0.當e2<y<e4時,當y≥e4時,即故50.設隨機變量X