高階常系數(shù)線性微分方程歐拉方程

高階常系數(shù)線性微分方程歐拉方程目前一頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)第七章常微分方程本章學(xué)習(xí)要求：了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念.了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方程、一階線性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分方程.熟練掌握分離變量法和一階線性方程的解法.會(huì)利用變量代換的方法求解齊次方程和伯努利方程.知道下列高階方程的降階法：了解高階線性微分方程階的結(jié)構(gòu)，并知道高階常系數(shù)齊線性微分方程的解法.熟練掌握二階常系數(shù)齊線性微分方程的解法.掌握自由項(xiàng)（右端）為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和或乘積的二階常系數(shù)非齊線性微分方程的解法.目前二頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)第五節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)非齊線性方程特征方程特征根目前三頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如的方程，稱為二階常系數(shù)齊線性微分方程，即特征方程目前四頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為是方程(1)的兩個(gè)線性無關(guān)的解，故方程(1)的通解為目前五頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為由求根公式目前六頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)由劉維爾公式求另一個(gè)解：于是，當(dāng)特征方程有重實(shí)根時(shí)，方程(1)的通解為目前七頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為3)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根：是方程(1)的兩個(gè)線性無關(guān)的解，其通解為利用歐拉公式去掉表達(dá)式中虛數(shù)單位i。目前八頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)歐拉公式：由線性方程解的性質(zhì)：均為方程(1)的解，且它們是線性無關(guān)的：目前九頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)故當(dāng)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，原方程的通解可表示為目前十頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)二階常系數(shù)齊線性微分方程特征方程特征根通解形式目前十一頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)例解目前十二頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)例解目前十三頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)例解故所求特解為目前十四頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)例解此時(shí)彈簧僅受到彈性恢復(fù)力f

的作用。求反映此彈突然放手，開始拉長，簧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律（設(shè)其彈性系數(shù)為

k）。目前十五頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)例解此時(shí)彈簧僅受到彈性恢復(fù)力f

的作用。求反映此彈突然放手，開始拉長，簧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律（設(shè)其彈性系數(shù)為

k）。取x軸如如圖所示。由力學(xué)的虎克定理，有（恢復(fù)力與運(yùn)動(dòng)方向相反）由牛頓第二定律，得目前十六頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)它能正確描述我們的問題嗎？記拉長后，突然放手的時(shí)刻為我們要找的規(guī)律是下列初值問題的解：目前十七頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)從而，所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為簡(jiǎn)諧振動(dòng)目前十八頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)二、n階常系數(shù)齊線性微分方程形如的方程，稱為n階常系數(shù)齊線性微分方程，目前十九頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)n階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為特征根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)目前二十頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)例解目前二十一頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)例解在研究彈性地基梁時(shí)，遇到一個(gè)微分方程試求此方程的通解。目前二十二頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程形如的方程，稱為二階常系數(shù)非齊線性微分方程，它對(duì)應(yīng)的齊方程為我們只討論函數(shù)f(x)的幾種簡(jiǎn)單情形下，(2)的特解。目前二十三頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)常系數(shù)非齊線性微分方程算子解法參考書：《常微分方程講義》王柔懷伍卓群編人民教育出版社目前二十四頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)方程(2)對(duì)應(yīng)的齊方程(1)的特征方程及特征根為單根二重根一對(duì)共軛復(fù)根你認(rèn)為方程應(yīng)該有什么樣子的特解？目前二十五頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)假設(shè)方程有下列形式的特解：則代入方程(2)，得即方程(3)的系數(shù)與方程(2)的特征根有關(guān)。目前二十六頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)由方程(3)及多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有方程(2)有下列形式的特解:目前二十七頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有方程(2)有下列形式的特解:目前二十八頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有方程(2)有下列形式的特解:目前二十九頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)定理1當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性方程它有下列形式的特解：其中：

目前三十頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)例解對(duì)應(yīng)的齊方程的特征方程為特征根為對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為將它代入原方程，得目前三十一頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)比較兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)，得故原方程有一特解為綜上所述，原方程的通解為目前三十二頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)例解對(duì)應(yīng)的齊方程的特征方程為特征根為對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為將它代入原方程，得請(qǐng)同學(xué)們自己算目前三十三頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)上式即故原方程有一特解為綜上所述，原方程的通解為目前三十四頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)例解對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為綜上所述，原方程的通解為目前三十五頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)你有什么想法沒有？目前三十六頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)歐拉公式：性質(zhì)4的一個(gè)特解。目前三十七頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)目前三十八頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)例解代入上述方程，得從而，原方程有一特解為目前三十九頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)例解代入上述方程，得比較系數(shù)，得目前四十頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)從而，原方程有一特解為故目前四十一頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)例解由上面兩個(gè)例題立即可得目前四十二頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)例解對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為將它代入此方程中，得從而，原方程有一特解為目前四十三頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)故原方程的通解為我想，你一定會(huì)做這種推廣工作。目前四十四頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)四、歐拉方程形如的方程，稱為n

階歐拉方程，其中關(guān)于變量t的常系數(shù)線性微分方程。目前四十五頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)引入算子記號(hào)：由數(shù)學(xué)歸納法可以證明：目前四十六頁\總數(shù)四十八頁\編于二十點(diǎn)