對數(shù)的概念與運(yùn)算性質(zhì)

《對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算》（第一課時(shí)）（人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1第二章第二節(jié)）《對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算》選自人教A版高中數(shù)學(xué)必修一第二章，共分兩小節(jié)，第一小節(jié)主要內(nèi)容是對數(shù)的概念、對數(shù)式與指數(shù)式的互化，第二小節(jié)內(nèi)容是對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，本課時(shí)為第一小節(jié)內(nèi)容．16、17世紀(jì)之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成為當(dāng)務(wù)之急.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾正是在研究天文學(xué)的過程中，為了簡化其中的計(jì)算而發(fā)明了對數(shù).與傳統(tǒng)教科書相比，教材從具體問題引進(jìn)對數(shù)概念，加強(qiáng)了對數(shù)的實(shí)際應(yīng)用與數(shù)學(xué)文化背景，強(qiáng)調(diào)“對數(shù)源于指數(shù)”以及指數(shù)運(yùn)算與對數(shù)運(yùn)算的互逆關(guān)系，將對數(shù)安排在指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)之后進(jìn)行學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)對數(shù)與原有知識體系的對接，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)發(fā)現(xiàn)與論證對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).基于以上分析，本課時(shí)的教學(xué)重點(diǎn)是：對數(shù)概念的理解以及指數(shù)式與對數(shù)式的互化.感受引入對數(shù)的必要性，理解對數(shù)的概念；能夠說出對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，能根據(jù)定義進(jìn)行互化和求值；感受數(shù)學(xué)符號的抽象美、簡潔美.本課時(shí)落實(shí)以上三個(gè)教學(xué)目標(biāo)：通過“推斷化石年代”和“解指數(shù)方程”兩個(gè)實(shí)例，認(rèn)識到引入對數(shù)，研究對數(shù)是基于實(shí)際需求的。根據(jù)底數(shù)、指數(shù)與冪之間的關(guān)系，通過“知二求一”的分析，引導(dǎo)學(xué)生借助指數(shù)函數(shù)圖象，分析問題中冪指數(shù)的存在性，以及為了表示指數(shù)的準(zhǔn)確值，引入了對數(shù)符號，從而引出對數(shù)概念.通過圖示連線，對指數(shù)式和對數(shù)式中各字母進(jìn)行對比分析，來認(rèn)識對數(shù)與指數(shù)的相互聯(lián)系；利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化，來幫助學(xué)生理解對數(shù)概念，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在對數(shù)計(jì)算中的作用.對數(shù)源于指數(shù)，本課時(shí)中，對數(shù)問題往往回歸本源，轉(zhuǎn)化為指數(shù)問題來解決，因而要在理解對數(shù)概念的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)互化和求值.恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號，對數(shù)學(xué)發(fā)展起著巨大的推動(dòng)作用，對數(shù)符號抽象而簡潔，學(xué)生需要在不斷的學(xué)習(xí)中逐漸體驗(yàn)對數(shù)符號的重要性.三、學(xué)生學(xué)情分析認(rèn)知基礎(chǔ)從運(yùn)算的角度來講，加、乘、乘方運(yùn)算中只有乘方的逆運(yùn)算對數(shù)運(yùn)算還沒有學(xué)習(xí).從函數(shù)的角度來說，高一的學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了集合、函數(shù)的概念、函數(shù)的表示方法和函數(shù)的一般性質(zhì)，對函數(shù)有了初步的認(rèn)識，在此基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了指數(shù)運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)，了解了研究函數(shù)的一般方法，經(jīng)歷過從特殊到一般，具體到抽象的研究過程，之后將在學(xué)習(xí)對數(shù)的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù).問題診斷對數(shù)的概念對于學(xué)生來說，是全新的.形式地進(jìn)行指數(shù)式與對數(shù)式之間的互化是容易的，在真正理解對數(shù)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行解題是有一定難度的，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：（1）不能將對數(shù)與普通的數(shù)平等對待，不理解對數(shù)的概念，只能夠進(jìn)行表面上的形式轉(zhuǎn)換；（2）不能把“對數(shù)的實(shí)質(zhì)是指數(shù)”應(yīng)用在數(shù)學(xué)問題的解決中.基于以上分析，本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)是：（1）對數(shù)概念的理解；（2）對數(shù)的常用性質(zhì)的概括.為了突破第一個(gè)難點(diǎn)，要在引入對數(shù)概念時(shí)，通過不同的實(shí)例，讓學(xué)生感受到為什么要學(xué)習(xí)對數(shù)，是基于研究指數(shù)的需求才引入對數(shù)，因此對數(shù)的實(shí)質(zhì)是指數(shù)；在形成概念時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生明確“對數(shù)是數(shù)”這一事實(shí)；在引入對數(shù)概念后，學(xué)生通過自主舉例，具體感知個(gè)例，從對數(shù)概念外延的角度進(jìn)行理解.本節(jié)的第二個(gè)難點(diǎn)是：“0和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)”這一性質(zhì)的深入認(rèn)識.在教學(xué)中最明顯的例證是涉及到求定義域時(shí)，看到對數(shù)符號，不能如同看到分母一樣，瞬間閃現(xiàn)出真數(shù)要大于0的限制，因此應(yīng)該在學(xué)習(xí)對數(shù)伊始，就打好“0和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)”的認(rèn)識基礎(chǔ).為了突破第二個(gè)難點(diǎn)，不要急于將現(xiàn)成的結(jié)論拋出，可以讓學(xué)生在自主舉例（感受個(gè)例）的基礎(chǔ)上，嘗試思考（分析通例）對數(shù)中的底數(shù)和真數(shù)可以取什么樣的數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生思考是不是所有的實(shí)數(shù)都有對數(shù)，哪些數(shù)有對數(shù)？為什么？通過互化和求值的練習(xí)，讓學(xué)生逐漸地從內(nèi)涵和外延兩方面加深對數(shù)概念的理解.本節(jié)教學(xué)中，學(xué)習(xí)對數(shù)概念的過程就是認(rèn)識的辨證發(fā)展過程：從實(shí)踐到認(rèn)識：通過具體情境，具體問題，具體對數(shù)的體驗(yàn)感知，遵循從具體到抽象的過程，來建立對數(shù)概念，從概念內(nèi)涵的角度學(xué)習(xí)；

再實(shí)踐：形成概念之后，遵循從一般到特殊的思路，進(jìn)行自主舉例，感知個(gè)例，從概念外延的角度加深概念理解；再認(rèn)識：理性分析通例（思考底數(shù)和真數(shù)的范圍），又從特殊到一般進(jìn)行概念的再認(rèn)識；循環(huán)往復(fù)：在隨后的練習(xí)鞏固中，認(rèn)識兩種特殊的對數(shù)（常用對數(shù)和自然對數(shù)）和兩種特殊的對數(shù)值（1的對數(shù)和底數(shù)的對數(shù)），來獲得基于對數(shù)概念的運(yùn)算性質(zhì)，從而豐富學(xué)生對于對數(shù)概念的認(rèn)知.突破難點(diǎn)的策略為：舊知新悟，適度模仿，歸納概括，自主舉例.五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)對數(shù)概念的形成創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考【實(shí)際情境】網(wǎng)上的一則消息：有驢友挖到幾枚恐龍蛋，送到權(quán)威機(jī)構(gòu)做了碳14同位素鑒定，結(jié)果是白堊紀(jì)的恐龍蛋化石，現(xiàn)坐等博物館上門收購.生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量，每經(jīng)過大約6000年，會(huì)衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”，研究人員常常根據(jù)機(jī)體內(nèi)碳14的含量來推斷生物體的年代，其中半衰次數(shù)x衰次數(shù)x與碳14的含量P間的關(guān)系為：P但是，當(dāng)生物組織內(nèi)的碳14含量低于千分之一時(shí)（這里我們按1來計(jì)算），一般的放1024射性探測器就測不到碳14了.眾所周知，恐龍生活在距今大約一億年前的地球上，那么用碳14同位素法能推斷出恐龍蛋化石的年代嗎？問題1：（1）經(jīng)過1次半衰期，碳14的含量會(huì)變?yōu)樵瓉淼亩嗌伲?次呢？（2）經(jīng)過幾次半衰期，一般的放射性探測器就測不到碳14了呢？（3）用碳14同位素法能推斷出恐龍蛋化石的年代嗎？【預(yù)設(shè)的答案】1,1;10;不能28【設(shè)計(jì)意圖】對數(shù)概念不是憑空產(chǎn)生的，用考古鑒定這一實(shí)例，讓學(xué)生感受“求指數(shù)”這樣的問題是客觀存在的，是源于實(shí)際生活的.【數(shù)學(xué)情境】解方程：（1）2%=2； （2）2x=3；（3）2x=4.【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，通過指數(shù)方程的實(shí)例，讓學(xué)生感受在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“求指數(shù)”這樣的問題也是存在的，有必要研究這一類問題.問題2：以上幾個(gè)問題的共同特征是什么？【活動(dòng)預(yù)設(shè)】引導(dǎo)學(xué)生歸納概括出問題的共同特征：已知底數(shù)和幕，求指數(shù)探究典例，形成概念活動(dòng)：解方程：(1)2%=2； (2)2x=3；(3)2x=4.【活動(dòng)預(yù)設(shè)】感受在求指數(shù)的過程中，有的指數(shù)可以直接寫出結(jié)果，有的指數(shù)卻不好表示.【設(shè)計(jì)意圖】為引入對數(shù)符號表示指數(shù)做鋪墊.問題3：以引例中的2%=3為例，分析％的值存在嗎？如果存在，符合條件的％的值有幾個(gè)？能估計(jì)出尤的大致范圍嗎？【活動(dòng)預(yù)設(shè)】根據(jù)函數(shù)圖象，思考等式2%=3中指數(shù)尤的存在性，唯一性和大致范圍；類比：在學(xué)習(xí)求方程%3=2的根時(shí)，為了表示底數(shù)尤，引入了數(shù)學(xué)符號：廠，表示3次方為2的數(shù)；這里，我們引入對數(shù)符號來表示指數(shù)％,將尤記作log23?【設(shè)計(jì)意圖】從引例中的具體問題入手，思考指數(shù)尤的存在性，唯一性和大致范圍，為了表示指數(shù)，引入對數(shù)符號，在具體問題中體驗(yàn)用對數(shù)符號表示指數(shù)的過程.問題4：結(jié)合方程2%=3來思考，x=log23中l(wèi)og23表示什么？【活動(dòng)預(yù)設(shè)】分析log23表示的含義；感受：以2%=4為例，分析指數(shù)尤可以怎樣用對數(shù)符號表示，以及該符號表示什么.教師講授：若g=N(a>0,a^1)，那么數(shù)％叫做以Q為底N的對數(shù)，記作：xlogN，a其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).【設(shè)計(jì)意圖】理解具體的對數(shù)符號所表示的含義，并且在探究特例的基礎(chǔ)上，遵循從具體到抽象的思路，形成對數(shù)概念.問題5：指數(shù)式與對數(shù)式是等價(jià)的，但a,x，W在兩個(gè)式子中的名稱一樣嗎？【預(yù)設(shè)的答案】此處畫上連線圖，呈現(xiàn)指數(shù)式與對數(shù)式之間的關(guān)系。【設(shè)計(jì)意圖】體驗(yàn)對數(shù)式與指數(shù)式的互相轉(zhuǎn)化；理解兩個(gè)式子從不同角度表示a，x，W之間的關(guān)系；通過圖示連線，認(rèn)識a,x，N在指數(shù)式與對數(shù)式中的名稱.具體感知，理性分析活動(dòng)：自主舉例的接龍活動(dòng).【活動(dòng)要求】第一組每一排學(xué)生在四線三格中寫出一個(gè)對數(shù)，其中底數(shù)與真數(shù)都是集合A的元素；(集合A={-1，0，1，2，3，4，5})第二組相應(yīng)排學(xué)生說出這個(gè)對數(shù)的值或所表示的含義；第三組相應(yīng)排學(xué)生說出對數(shù)式相應(yīng)的指數(shù)式.【活動(dòng)預(yù)設(shè)】如果出現(xiàn)真數(shù)為負(fù)數(shù)或0的情形，引導(dǎo)學(xué)生思考其合理性.【設(shè)計(jì)意圖】在形成概念后，遵循從一般到特殊的思路，在實(shí)踐活動(dòng)中進(jìn)行再認(rèn)識，熟悉概念，從外延的角度加深概念的理解，為下一個(gè)環(huán)節(jié)作鋪墊；同時(shí)也規(guī)范對數(shù)符號的書寫.問題6：對數(shù)中底數(shù)和真數(shù)的范圍分別是什么？【活動(dòng)預(yù)設(shè)】引導(dǎo)學(xué)生回歸指數(shù)，根據(jù)圖象來判斷底數(shù)、真數(shù)的范圍.【設(shè)計(jì)意圖】從感知個(gè)例到分析通例，遵循從特殊到一般的思路，在具體實(shí)踐的基礎(chǔ)上進(jìn)行理性分析，認(rèn)識底數(shù)與真數(shù)的取值范圍，滲透“對數(shù)的本質(zhì)是指數(shù)”這一思想，加深對數(shù)概念外延的理解,為后續(xù)對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)作鋪墊.初步應(yīng)用，理解概念例1將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式(1)log.125=3； (2)log丄=_4；5216(3)10「2二0.01；(4)e°=1(其中e=2.71828…).【預(yù)設(shè)的答案】(1)53=125；(2)2-4=丄；16(3)log100.01=-2；(4)loge1=0.【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)行指數(shù)式與對數(shù)式的簡單互化，熟悉指數(shù)式與對數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化.認(rèn)識兩種特殊對數(shù)：常用對數(shù)和自然對數(shù).例2求值(其中a>0,aH1):(1)log525；(2)log2丄； (3)lg1;5216(4)log1;(5)lne;(6)loga.aa【預(yù)設(shè)的答案】(1)2;(2)-4;(3)0;(4)0;(5)1;(6)1.【設(shè)計(jì)意圖】(1)利用對數(shù)概念以及對指互化求值,加深對數(shù)概念的理解；從這個(gè)例題中歸納概括出性質(zhì)：log1=0,loga=1.aa例3求值:(1)若log35(其中%>0,XH1),求尤的值；(2)log4;x84log23.【預(yù)設(shè)的答案】(1)V3;(2)2;(3)9.3【設(shè)計(jì)意圖】在解題中加深對概念的理解，形成解題的基本思路：對數(shù)問題指數(shù)化；形成解題的基本技能：恰當(dāng)設(shè)數(shù)，變對數(shù)式為指數(shù)式,然后利用指數(shù)的相關(guān)知識解題.歸納小結(jié),文化滲透思考：對于logN，應(yīng)該怎樣正確讀，規(guī)范寫，它的含義是什么？a【活動(dòng)預(yù)設(shè)】歸納小結(jié);欣賞詩歌:我為自己代言(對數(shù)版)

你只看到我源于指數(shù)，

卻沒看到我比指數(shù)早一步來到這世上。你有你的迷茫，我有我的規(guī)則。

你否定我的可愛，

伽利略說，“給我時(shí)間、空間以及對數(shù)，我就可以創(chuàng)造一個(gè)宇宙?！?/p>

你嘲笑我面目可憎晦澀難懂，

我懇請你靠近一點(diǎn)再多讀我一遍。懂我，是場注定孤獨(dú)的旅行，路上少不了探索與思考。但那又怎樣，哪怕再艱難，也有執(zhí)著睿智的勇士理解我的價(jià)值與內(nèi)涵。我是對數(shù)，我為自己代言！設(shè)計(jì)意圖】1）梳理本節(jié)課對于對數(shù)的認(rèn)知；2）進(jìn)行數(shù)學(xué)文化滲透，鼓勵(lì)學(xué)生積極攀登知識高峰，進(jìn)一步體會(huì)學(xué)習(xí)對數(shù)的必要性課堂教學(xué)目標(biāo)檢測1.對數(shù)式與指數(shù)式的互化：（1） 2-1=丄；2（2）ln1=0.2.求值：1）log9；3（2）log3.9預(yù)設(shè)的答案】2.（1）2；（2）0.5.【設(shè)計(jì)意圖】檢測是否達(dá)成本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)，是否理解對數(shù)的概念以及對數(shù)符號的含義，是否能夠較為熟練地進(jìn)行對指互化和求值.對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算》課例點(diǎn)評《對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算》是人教A版必修一第二章第二節(jié)《對數(shù)函數(shù)》的起始課，段艷芳老師的這節(jié)課在理解教材、理解學(xué)生和理解教學(xué)的基礎(chǔ)上，有如下特色：引入新穎，雙管齊下一方面設(shè)置“恐龍蛋化石”的實(shí)際情境和“解指數(shù)方程”的數(shù)學(xué)情境引入學(xué)習(xí)內(nèi)容，從應(yīng)用價(jià)值的角度突顯研究對數(shù)的必要性；另一方面進(jìn)行逆運(yùn)算的分析，從數(shù)學(xué)自身發(fā)展完善的角度體現(xiàn)研究對數(shù)的必要性.從課堂實(shí)際效果來看，學(xué)生在進(jìn)行真假判斷時(shí)，已經(jīng)進(jìn)入良好的學(xué)習(xí)狀態(tài).緊扣概念，辨證認(rèn)知對數(shù)概念的理解是教學(xué)難點(diǎn)，這節(jié)課中對數(shù)概念的學(xué)習(xí)過程貼合了認(rèn)識的辨證發(fā)展過程:從實(shí)踐到認(rèn)識：通過具體情境，具體問題，具體對數(shù)的體驗(yàn)感知，遵循從具體到抽象的過程，來建立對數(shù)概念，從概念內(nèi)涵的角度學(xué)習(xí)；再實(shí)踐：形成概念之后，遵循從一般到特殊的思路，進(jìn)行自主舉例，感知個(gè)例，從概念外延的角度加深概念理解；再認(rèn)識：理性分析通例（思考底數(shù)和真數(shù)的范圍），又從特殊到一般進(jìn)行概念的再認(rèn)識；循環(huán)往復(fù)：在隨后的練習(xí)鞏固中，認(rèn)識兩種特殊的對數(shù)（常用對數(shù)和自然對數(shù)）和兩種特殊的對數(shù)值（1的對數(shù)和底數(shù)的對數(shù)），來獲得基于對數(shù)概念的運(yùn)算性質(zhì)，同時(shí)豐富對于概念的認(rèn)知.類比學(xué)習(xí)，理解符號恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號，對數(shù)學(xué)的發(fā)展起著巨大的推動(dòng)作用，對數(shù)符號抽象而簡潔，這節(jié)課通過類比熟悉的分?jǐn)?shù)線，根號，引導(dǎo)學(xué)生理解：我們將方程中的指數(shù)記作對數(shù)符號，該符號是指數(shù)的一種記法.從實(shí)際的課堂效果來看，在認(rèn)識對數(shù)符號含義的基礎(chǔ)上