2022年河南省商丘市第二高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2022年河南省商丘市第二高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)f（x）滿足2x2f（x）+x3f′（x）=ex，f（2）=，則x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）（）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值參考答案：B【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】推出f'（x）的表達(dá)式，當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，由g′（x）≥0在x∈[2，+∞）恒成立，則g（x）在x=2處取最小值，即可求得f（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，即可求得f（x）的最小值．【解答】解：由2x2f（x）+x3f'（x）=ex，當(dāng)x＞0時(shí)，故此等式可化為：f'（x）=，且當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=，f'（2）==0，令g（x）=e2﹣2x2f（x），g（2）=0，求導(dǎo)g′（x）=e2﹣2[x2f′（x）+2xf（x）]=e2﹣=（x﹣2），當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，則g（x）在x∈[2，+∞）上單調(diào)遞增，g（z）的最小值為g（2）=0，則f'（x）≥0恒成立，∴f（x）的最小值f（2）=，故選：B．2.設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,它的周期是,則（

）A．的圖象過(guò)點(diǎn)

B．的一個(gè)對(duì)稱中心是C．在上是減函數(shù)D．將的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象參考答案：B3.一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，M是AB的中點(diǎn)，一只蝴蝶在幾何體內(nèi)自由飛翔，由它飛入幾何體內(nèi)的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：D因?yàn)閂F－AMCD＝×SAMCD×DF＝a3，VADF－BCE＝a3，所以它飛入幾何體F－AMCD內(nèi)的概率為＝.選D4.已知全集為R，集合則A.B.C.或

D..或

參考答案：C，，則或,選C.5.已知橢圓的離心率為,雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn),以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為,則橢圓的方程為

參考答案：B6.已知集合，若，則的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：D.因?yàn)?，所?所以，即，選B.7.已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的圖象的對(duì)稱軸完全相同，若x∈[0，]，則f（x）的取值范圍是（）A．[﹣3，3] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，3]參考答案：D【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】先根據(jù)函數(shù)f（x）=3sin（ωx﹣）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的圖象的對(duì)稱軸完全相同確定ω的值，再由x的范圍確定ωx﹣的范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得到答案【解答】解：由題意可得ω=2，∵x∈[0，]，∴ωx﹣=2x﹣∈[﹣，]，由三角函數(shù)圖象知：f（x）的最小值為3sin（﹣）=﹣，最大值為3sin=3，所以f（x）的取值范圍是[﹣，3]，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題8.把6張座位編號(hào)為1,2,3,4,5,6的電影票分發(fā)給4個(gè)人，每人至少1張，最多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是（

）A.168

B.96

C.72

D.144參考答案：D9.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則等于（

）A.52

B.54

C.56

D.58參考答案：A10.已知命題p：，；命題q：，，則下列命題中為真命題的是：（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是

．參考答案：12.若向量滿足，則＝

.參考答案：013.已知雙曲線右焦點(diǎn)為F，P為雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn)A(0，)，則△APF周長(zhǎng)的最小值為

．參考答案：4（1+）【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】△APF的周長(zhǎng)l=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+2a+|PF'|+|AP|，要△APF的周長(zhǎng)最小，只需|AP|+|PF'|最小，如圖，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)取到，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，點(diǎn)，△APF的周長(zhǎng)l=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+2a+|PF'|+|AP|，要△APF的周長(zhǎng)最小，只需|AP|+|PF'|最小，如圖，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)取到，故l=．故答案為：4（1+）．14.在△ABC中，，，且的大小是，則AB=___參考答案：【分析】根據(jù)正弦定理可知，AC已知，可得BC，又，由余弦定理可得AB?！驹斀狻坑深}得，，，又，，解得.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理，屬于基礎(chǔ)題。15.已知關(guān)于x、y的方程組有無(wú)窮多組解，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)__參考答案：－3【分析】根據(jù)若方程組有無(wú)窮多組解，則滿足，即可解得方程組中的參數(shù)值。【詳解】由題得，且有，解得.【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解，屬于基礎(chǔ)題。16.函數(shù)的極小值為

．參考答案：－2求導(dǎo)，得：，得，當(dāng)=1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值－2。17.已知點(diǎn)P是曲線y=x3﹣10x+3上位于第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，且該曲線在點(diǎn)P處的切線斜率為2，則這條切線方程為．參考答案：y=2x+19【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】設(shè)切點(diǎn)為P（x0，y0），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′（x0）=3x02﹣10=2，所以得x0=﹣2（舍正），從而得出切點(diǎn)為P（﹣2，15）．根據(jù)斜率為2，利用點(diǎn)斜式可得直線方程，最后化成斜截式．【解答】解：設(shè)P（x0，y0），求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x2﹣10由題意知：f′（x0）=3x02﹣10=2，∴x02=4．∴結(jié)合函數(shù)圖象第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，得x0=﹣2，∴y0=15．∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，15）．直線方程為y﹣15=2（x+2），即y=2x+19故答案為：y=2x+19三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在極坐標(biāo)系中，曲線C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C與l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O為極點(diǎn)，A，B為C上的兩點(diǎn)，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（I）把圓與直線的極坐標(biāo)方程分別化為直角坐標(biāo)方程，利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出a；（II）不妨設(shè)A的極角為θ，B的極角為θ+，則|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲線C：ρ=2acosθ（a＞0），變形ρ2=2ρa(bǔ)cosθ，化為x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲線C是以（a，0）為圓心，以a為半徑的圓；由l：ρcos（θ﹣）=，展開(kāi)為，∴l(xiāng)的直角坐標(biāo)方程為x+y﹣3=0．由直線l與圓C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨設(shè)A的極角為θ，B的極角為θ+，則|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），當(dāng)θ=﹣時(shí)，|OA|+|OB|取得最大值2．19.本小題滿分12分)設(shè)，曲線與直線在(0，0)點(diǎn)相切。

(Ⅰ)求的值。

(Ⅱ)證明：當(dāng)時(shí)，。參考答案：【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義、導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性與最值中的運(yùn)用。本題容易忽略函數(shù)的定義域，根據(jù)條件曲線與直線在(0，0)點(diǎn)相切，求出的值，然后，利用函數(shù)的單調(diào)性或者均值不等式證明即可。從近幾年的高考命題趨勢(shì)看，此類型題目幾乎年年都有涉及，因此，在平時(shí)要加強(qiáng)訓(xùn)練。本題屬于中檔題。20.在中，的對(duì)邊分別為，且．（1）求的值；（2）若，，求和．參考答案：解：（1）由正弦定理得，，，………1分又，∴，即，∴，…………3分∴,又，∴．……5分（2）由得，又，∴………………6分由，可得，…8分∴，即，∴．…………10分略21.（14分）袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率是，從B中摸出一個(gè)紅球的概率為p．

(Ⅰ)從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布率及數(shù)學(xué)期望E．

(Ⅱ)若A、B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為12，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，求p的值．參考答案：解析：(Ⅰ)().(Ⅱ)隨機(jī)變量ζ的取值為0