2022年湖南省岳陽(yáng)市汨羅高坊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022年湖南省岳陽(yáng)市汨羅高坊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知命題，，則（）（Ａ）， （Ｂ），（Ｃ）， （Ｄ），參考答案：C略2.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則其外接球的表面積是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略3.設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且則（

）

B.

D.參考答案：D略4.

設(shè)集合A=，集合B=，則AB等于A．

B.

C.

D.參考答案：答案:C5.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰好為一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn),則該橢圓的離心率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：依題意橢圓的焦距和短軸長(zhǎng)相等，故，，∴.考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).6.已知是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等比數(shù)列，則等于(

)

A．4

B．6

C．8

D．10參考答案：C7.，則函數(shù)y=f(x)的大致圖像為（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合圖像做出判定?！驹斀狻坑深}f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，排除B,C，當(dāng)0<x<1時(shí)，ln|x|<0，f(x)>0，排除D，故選A。【點(diǎn)睛】此類(lèi)題一般通過(guò)函數(shù)定義域，奇偶性，某一區(qū)間的單調(diào)性和特殊值點(diǎn)等巧選圖像，避免大量計(jì)算。8.設(shè)向量,滿(mǎn)足||=||=1,且,的夾角為，則（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B9.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，b，c，若，b=2，sinB+cosB=，則角A的大小為(

）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.已知，且，則的概率（

）A.

B．

C．

D.參考答案：B由題基本事件空間中的元素有：，滿(mǎn)足題意的有，所以選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線的一個(gè)單位法向量為（填一個(gè)即可）．參考答案：或12.已知，則________________。參考答案：略13.從甲，乙，丙，丁4個(gè)人中隨機(jī)選取兩人，則甲乙兩人中有且只有一個(gè)被選取的概率為

▲

．參考答案：略14.已知函數(shù)的最小正周期為，則正實(shí)數(shù)=

.參考答案：因?yàn)?，且函?shù)的最小正周期為，所以，所以。15.已知，，，，則=

▲

．參考答案：試題分析：因?yàn)椋?，所以；因?yàn)?，，所以，考點(diǎn)：三角函數(shù)求值16.如果參考答案：17.已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，若經(jīng)過(guò)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，則△的周長(zhǎng)等于

.參考答案：8略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖3，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直,AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，點(diǎn)M在線段EC上且不與E,C重合.（1）當(dāng)點(diǎn)M是EC中點(diǎn)時(shí)，求證：BM∥平面ADEF；（2）當(dāng)三棱錐M—BDE的體積為時(shí)，求點(diǎn)M到平面BDE的距離.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；直線與平面平行的判定．L4

【答案解析】（1）見(jiàn)解析；（2）解析：（1）證明：取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點(diǎn)，所以MN∥CD，且MN=CD．由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB，且MN=AB．所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN又因?yàn)锳N?平面ADEF，且BM?平面ADEF，所以BM∥平面ADEF；（2）解：以直線DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），B（2，2，0）C（0，4，0），E（0，0，2），則∵三棱錐M﹣BDE的體積為，∴=，∴S△DEM=，∵S△DEC=4，∴=，∴M（0，，），設(shè)平面BDM的法向量=（x，y，z），∵D（0，0，0），F(xiàn)（2，0，2），∴∴取=（1，﹣1，4），∵平面ABF的法向量=（1，0，0），∴cos＜，＞==，∴平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為．【思路點(diǎn)撥】（1）取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN，由三角形中位線定理，結(jié)合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，再由線面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，利用三棱錐M﹣BDE的體積為，求出M的坐標(biāo)，求出平面BDM的法向量、平面ABF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值．19.（14分）設(shè)橢圓=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，短軸上端點(diǎn)為B，連接BF并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A，連接AO并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)D，過(guò)B、F、O三點(diǎn)的圓的圓心為C．（1）若C的坐標(biāo)為（﹣1，1），求橢圓方程和圓C的方程；（2）若AD為圓C的切線，求橢圓的離心率．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【專(zhuān)題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）由題意可得三角形BFO外接圓圓心為斜邊BF中點(diǎn)C，由此求得b，c的值，結(jié)合隱含條件求出a，則橢圓方程和圓C的方程可求；（2）由AD為圓C的切線，得到AD⊥CO，聯(lián)立直線和橢圓方程求得A的坐標(biāo)，由得到a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合隱含條件可求橢圓的離心率．【解答】解：（1）∵三角形BFO為直角三角形，∴其外接圓圓心為斜邊BF中點(diǎn)C，由C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，1）得，b=2，c=2，∴a2=b2+c2=8，則圓半徑，∴橢圓方程為，圓方程為（x+1）2+（y﹣1）2=2；（2）由AD與圓C相切，得AD⊥CO，BF方程為，由，得，由，得b4=2a2c2，（a2﹣c2）2=2a2c2a4﹣4a2c2+c4=0，解得：=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓與圓的方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是由平面幾何知識(shí)得到對(duì)應(yīng)的關(guān)系，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．20.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知a=2，b=3，C=60°，（Ⅰ）求邊長(zhǎng)c和△ABC的面積；（Ⅱ）求sin2A的值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】（1）利用余弦定理即可得出c，進(jìn)而得出面積；（2）利用正弦定理可得：sinA．利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出cosA，再利用倍角公式即可得出．【解答】解：（1）由余弦定理，c2=a2+b2﹣2abcos60°=22+32﹣2×2×3×=7，解得c=，∴．（2）由正弦定理，，則sinA===，∵a＜b，∴A為銳角，則cosA==，sin2A=2sinAcosA=×=．21.持續(xù)性的霧霾天氣嚴(yán)重威脅著人們的身體健康，汽車(chē)的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一．為此，某城市實(shí)施了機(jī)動(dòng)車(chē)尾號(hào)限行，該市報(bào)社調(diào)查組為了解市區(qū)公眾對(duì)“車(chē)輛限行”的態(tài)度，隨機(jī)選取了30人進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡（單位：歲）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（圖1），并將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成表2：表2：年齡（歲）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]頻數(shù)36

63

贊成人數(shù)245421（Ⅰ）由于工作人員粗心，不小心將表2弄臟，遺失了部分?jǐn)?shù)據(jù)，請(qǐng)同學(xué)們將表2中的數(shù)據(jù)恢復(fù)，并估計(jì)該市公眾對(duì)“車(chē)輛限行”的贊成率和被調(diào)查者的年齡平均值；（Ⅱ）把頻率當(dāng)作概率估計(jì)贊成車(chē)輛限行的情況，若從年齡在[55，65），[65，75]的被調(diào)查者中隨機(jī)抽取一個(gè)人進(jìn)行追蹤調(diào)查，求被選2人中至少一個(gè)人贊成車(chē)輛限行的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）由頻率分布圖和頻數(shù)分布表得填表數(shù)值分別是9和3，由此能求出平均年齡和贊成率．（Ⅱ）[55，65）中3人設(shè)為A，a1，a2表示贊成，利用列舉法能求出被選2人中至少一個(gè)人贊成車(chē)輛限行的概率．【解答】解：（Ⅰ）由頻率分布圖和頻數(shù)分布表得填表數(shù)值分別是9和3，平均年齡是：20×0.1+30×0.2+40×0.3+50×0.2+60×0.1+70×0.1=43（歲），贊成率是：p==．（Ⅱ）[55，65）中3人設(shè)為A，a1，a2表示贊成，各抽取一人所有事件為：AB1，AB2，Ab，a1B1，a1B2，a1b，a2B1，a2B2，a2b，共9個(gè)，設(shè)“被選2人中至少有一個(gè)人贊成車(chē)輛限行”為事件M，則事件M包含的基本事件有7個(gè)，∴被選2人中至少一個(gè)人贊成車(chē)輛限行的概率P（M）=．22.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.參考答案：(1);(2).【分析】(1)根據(jù)題干得到當(dāng)時(shí)，由得，兩式做差得到，得到數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而得到結(jié)果；（2）根據(jù)第一問(wèn)得到，由錯(cuò)位