工程力學第八章 圓軸的扭轉

第八章圓軸的扭轉8.2扭矩、扭矩圖8.1扭轉的概念與實例8.3圓軸扭轉時的應力與變形8.4圓軸扭轉的強度條件和剛度條件8.5靜不定問題和彈塑性問題1工程構件分類:板塊體桿桿的基本變形:軸向拉壓彎曲xyz扭轉28.1扭轉的概念與實例研究對象：圓截面直桿受力特點：作用在垂直于軸線的不同平面內的外力偶，且滿足平衡方程:

SMx=0變形特征：相對扭轉角fAB圓軸各橫截面將繞其軸線發(fā)生相對轉動。xyz0M0M變形前變形后fAB汽車轉向軸傳動軸38.2扭矩與扭矩圖扭矩：MT是橫截面上的內力偶矩。內力—由截面法求得。取左邊部分平衡由平衡方程：

M0M0假想切面外力偶

M0內力偶

MT4由平衡方程：

取右邊部分M

和M是同一截面上的內力，應當有相同的大小和正負。TTM0M0假想切面取左邊部分平衡外力偶

M0

扭矩

MT扭矩外力偶

平衡MTM05扭矩的符號規(guī)定：按右手螺旋法則確定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向與截面的外法線方向一致者為正，反之為負。負M0MTM0MT正6以平行于桿軸線的坐標x表示截面的位置，以垂直于x軸的坐標表示截面扭矩值，即得到扭矩圖。

2010畫扭矩圖：xoCABABCAB段：BC段：75kN5kN3kNN圖+-5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN+向簡捷畫法：2010ABC在左端取參考正向，按載荷大小畫水平線；遇集中載荷作用則內力相應增減；至右端回到零。FN圖（軸力）按右手法確定+向xoCABMT圖8解：由功率－轉速關系計算外力偶矩例某傳動軸如圖，轉速n=700r/min，主動輪的輸入功率為NA=400KW，從動輪B、C和D的輸出功率分別為NB=NC=120KW，ND=160KW。試作軸的扭矩圖。

BMBMCCMAMDAD9最大扭矩在AB段，且求各截面內力：BC段CA段AD段BMBMCCMAMDADMT1BMBBMBMCCMT2MDDMT3ACBDMT/kN.m1.643.282.18MT圖10簡捷畫法：BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDMT/kN.mMT圖按右手法確定+向1.6411討論：試作扭矩圖2010MT圖按右手法確定+向xoCAB40kN.mD20kN.m10kN.m10kN.mABCD20xoCAB40kN.mD10kN.m10kN.m求反力偶：2010MT圖按右手法確定+向ABCD20128.3圓軸扭轉時的應力與變形變形體靜力學的基本研究思路：靜力平衡條件變形幾何條件材料物理關系++1.變形幾何條件剛性平面假設：變形前后，扭轉圓軸各個橫截面仍然保持為平面，二平面間距離不變，其半徑仍然保持為直線且半徑大小不變。變形前變形后8.3.1圓軸扭轉的應力公式13取長為dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面剛性轉動角df，原來的矩形ABCD變成為菱形ABCD。1.變形幾何條件g是微元的直角改變量，即半徑r各處的剪應變。因為CC=gdx=rdf,故有：df/dx

,稱為單位扭轉角。對半徑為r的其它各處，可作類似的分析。dxOCDABrrCDdfdfgMTg141.變形幾何條件對半徑為r的其它各處，作類似的分析。剪應變g的大小與半徑r成正比。與單位扭轉角df/dx成正比。即得變形幾何條件為：--(1)同樣有：CC=gdx=rdfdxOCDABrrCDdfMTgrgr152.物理關系—材料的應力-應變關系在線性彈性范圍內，剪切虎克定律為：G是t-g曲線的斜率，如圖，稱為剪切彈性模量。--(2)半徑為r處的剪應力則為：

圓軸扭轉時無正應力1GOtg1Gtys材料的剪應力與剪應變之間有與拉壓類似的關系。16討論：圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分布圓軸幾何及MT給定，df/dx為常數(shù)；G是材料常數(shù)。--(3)dxOCDABrrCDdfMTgrgrtrMTotrrtmax最大剪應力在圓軸表面處。截面上任一點的剪應力與該點到軸心的距離r成正比；剪應變在ABCD面內，故剪應力與半徑垂直，指向由截面扭矩方向確定。173.力的平衡關系應力是內力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上內力對軸心之矩的和應與截面扭矩相等。取微面積如圖，有：--(3)利用(3)式，得到：trMTotrrtmaxdA183.力的平衡關系令：最后得到：--(4)Ir稱為截面對圓心的極慣性矩，只與截面幾何相關。trMTotrrtmaxtmax在圓軸表面處，且W=I/r，稱為抗扭截面模量。Tr求Ir，WT?198.賓3.校2圓截唐面的殃極慣屆性矩留和抗短扭截茂面模愉量抗扭截面模量W=I/rTrdDo討論淺內徑d，外術徑D的空究心圓箏截面南，取朝微面交積dA俱=2prdr,則有糊：極慣性矩:ò=AdAI2rrrdrdA極慣性矩)1(3232)(244442/2/3apprrpr-=-==òDdDdIDd抗扭截面模量：16/)1()2//(43apr-==DDIWTa=d宋/D20圓截卵面的洽極慣執(zhí)性矩姿和抗塌扭截取面模橫量dDo空心抖圓軸實心圓軸Do極慣性矩r=)1(3244ap-DI抗扭截面模量)1(1643ap-=DWTa=d/D=0324DIpr=163DWTp=21研究稿思路士：變形幾何條件dx---(1)d/jrg=+材料物理關系dxdGGjrgtrr==---(2)靜力平衡關系+TAMdAdxdG=ò2rj---(3)圓軸扭轉剪應力公式：rrrtIMT=---(4)且由(2)、(4)可知單位扭轉角為：rjGIMdxdT//=---(5)22結論濫：1）圓句軸扭重轉時篇，橫企截面矩上只娛有剪跌應力晨，剪樹應力大在橫截面葵上線弓性分組布，揪垂直追與半瞞徑，辜指向葉由扭降矩的桂轉向確結定。2）嶺截退面任窮一處舅截伏面外賠圓周孟處（贈表面疼）tr=MTr/Irtmax=MT/WTdDo空心圓軸實心圓軸DoMTtrtmaxMTtrtmax23討論裝：2）下彩列圓識軸扭香轉的它剪應緞力分鑄布圖疏是否是正確?1）已皺知二痛軸長窩度及版所受無外力珠矩完晶全相必同。江若二秤軸截面尺于寸不嬸同，放其扭策矩圖占相同再否?若二院軸材兔料不韻同、支截面污尺寸緣瑞相同永，各段柜應力尺是否板相同桿？幻玉變形岡是否粱相同委？相同相同不同oMToMToMToMT248.色3.肯3扭轉帆圓軸怒任一棉點的衣應力媽狀態(tài)MTdxMTttdxcAdyttt′t′研究農兩橫柿截面娛相距dx的任塌一A處單盤位厚殊度微您元，送左右驕二邊克為橫添截面慘，上梅下二村邊為毫過軸忌線的計徑向游面。AA的平尊衡？SMC(F)=tdxdy-tdydx=0t=t剪應垮力互濤等定圍理：物體旗內任為一點誼處二努相互典垂直寸的截櫻面上帽，剪哭應力控總是碧同時孩存在昆的，邀它們宇大小柄相等銳，方稼向是搜共同診指向般或背展離二塵截面筑的交周線。258.油3.班3扭轉鍛圓軸短任一葛點的車應力柴狀態(tài)dxcAdyttt′t′純剪便應力蜘狀態(tài)軌等價飛于轉圓過45后微耽元的號二向粘等值勸拉壓本應力浪狀態(tài)再。純剪吧應力雅狀態(tài):微元貿各面室只有搭剪應升力作愛用。45斜截趴面上單的應塌力：t45dxct45s45ttdx+(t45dx/c國os壇45)c河os稱45+(s45dx/c煮os猜45)s桶in幻玉45=0還有素：s-45=t；t-45=0tdx-(t45dx/c撫os野45)s條in準45+(s45dx/c稼os音45)c必os稻45=0解得反：s45=-t；t45=0。Ass一些愚脆性駐材料(例如熟粉筆趙、鑄綢鐵等)承受亡扭轉厭作用挖時發(fā)昂生沿脹軸線45方向企的破奧壞，呢就是壩由此艙拉應熄力控眉制的倍。268.簡3.把4圓軸喉的扭冤轉變殖形單位儉扭轉集角為?。合鄬εまD角

：B截面相對于A截面的扭轉角。若AB=L，則ABGI稱為抗扭剛度，反映軸抵抗變形的能力。r若扭隨矩、唱材料叔，截蝦面尺達寸改汁變，鍛則需河分段墓求解崖。dxOCDABrCDddgMTgMTABLBAgdxGIMdLTABòò==0rj若AB間扭矩不變，材料不變，截面尺寸不變，則MT/GIr=const.,故有：rGILMTAB/=27例2.空心覺圓軸儀如圖順，已攜知MA=1踩50吧N.涂m，MB=5艱0N或.mMC=1濁00編N.作m，材擦料G=脫80Gp皆a，試求甚（1星）軸棉內的腥最大椅剪應街力；（2華）C截面脫相對A截面俱的扭呼轉角茅。解:否1哲)畫扭乎矩圖愧。2)計算隸各段陷應力:AB段：N-斬mm年-M柄pa單位碰制

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100MT/N.m282)計算鳥各段承