DE課件-數(shù)學(xué)物理方程

偏微分方程2010-2011第二學(xué)期理科班李亞純第一章緒論偏微分方程（PartialDifferentialEquations）指在物理學(xué)、力學(xué)、工程技術(shù)以及其他自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、管理科學(xué)、甚至社會科學(xué)等的研究中歸納出來的一些含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程悠久的歷史廣泛的應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展悠久的歷史：著名的弦振動方程1727:JohnBernoulli,離散質(zhì)量情形

d’Alembert(研究弦振動方程的先驅(qū))1746：《張緊的弦振動時(shí)形成的曲線的研究》特殊的偏微分方程最早出現(xiàn)在1734年Euler的著作中，并于1743年出現(xiàn)在d’Alembert的《論動力學(xué)》中。廣泛的應(yīng)用：傳統(tǒng)學(xué)科流體力學(xué)：Navier-Stokes方程組(粘性流體)

Euler方程組(無粘流體)彈性力學(xué)：Saint-Venant方程組電動力學(xué)：Maxwell方程組(電磁場)量子力學(xué)：Schr?dinger方程Dirac方程(微觀粒子)廣義相對論：Einstein方程(引力場)規(guī)范場：Yang-Mills方程磁流體力學(xué)、反應(yīng)流體力學(xué)、熱彈性力學(xué)……交叉學(xué)科生物數(shù)學(xué)：生物種群動力學(xué)傳染病動力學(xué)

DNA分子動力學(xué)金融數(shù)學(xué)：隨機(jī)微分方程經(jīng)濟(jì)學(xué)社會科學(xué)……數(shù)學(xué)的發(fā)展：偏微分方程推動數(shù)學(xué)其他分支的發(fā)展：函數(shù)論變分法級數(shù)展開常微分方程代數(shù)微分幾何……參考書Courant-Hilbert:

MethodofMathematicalPhysicsFritzJohn:

PartialDifferentialEquationsWalterStrauss:

PartialDifferentialEquations,AnIntroductionLawrenceC.Evans:

PartialDifferentialEquations李大潛，秦鐵虎：

物理學(xué)與偏微分方程§1偏微分方程的基本概念與研究內(nèi)容§2典型方程的數(shù)學(xué)模型§3二階線性偏微分方程簡介1.什么是偏微分方程？物理量(如位移、溫度等)----時(shí)間、空間位置

---------------物理量的變化規(guī)律(偏微分方程)§1偏微分方程的基本概念與研究內(nèi)容一般形式：自變量未知函數(shù)一般形式：例子：可驗(yàn)證:均滿足弦振動方程滿足熱傳導(dǎo)方程均為解可驗(yàn)證:2.相關(guān)基本概念階數(shù)(Order)：未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)；維數(shù)(Dimension)：空間變量的個(gè)數(shù)；（對發(fā)展型方程：維數(shù)=自變量個(gè)數(shù)－1；對非發(fā)展型方程：維數(shù)=自變量個(gè)數(shù)）解(Solution)：（求解區(qū)域）在內(nèi)足夠光滑，且處處滿足偏微分方程（*）稱為偏微分方程（*）的經(jīng)典解：自由專項(xiàng)：方程瓶中與愁未知鈴函數(shù)閥無關(guān)論的項(xiàng)齊次厘方程(Ho灣mo誘ge亂ne虹ou籌s)：不含舅非零鋼自由越項(xiàng)非齊娛次方呈程(No檔nh鉆om柜og陶en攤eo籍us)：含有仿非零岔自由卸項(xiàng)線性(Li牢ne揮ar)方程老：否則旅稱為非線地性(No貨nl包in摔ea冶r)方程半線告性(Se親mi襲-L根in悠ea皺r)：主部(含最堵高階浸導(dǎo)數(shù)春的部載分)線性擬線稿性(Qu界as庫i-腦Li伐ne綿ar)：最高敲階導(dǎo)票數(shù)本躍身是廁線性惕的完全荷非線估性(Fu燦ll普y役No德nl柱in勒ea粒r)：最高籃階導(dǎo)凈數(shù)是廚非線味性的線性(L捧in芹ea輕r)：多重做指標(biāo)柴（Mu訂lt鋤i-蠟in案de尿x）例子至：二階叼線性繞齊次一階排線性孤非齊誘次一階父半線霧性非轟齊次一階興擬線值性齊偽次一階毫完全震非線籃性非批齊次二階俗線性鄭齊次四階廊線性倡齊次二階懷半線用性齊貍次三階星半線五性齊捷次二階泛擬線尸性齊絞次3.研究肯內(nèi)容織：一般僵規(guī)律+定解島條件(初始臭條件怒、邊滴界條喝件)定解俗問題定解扣問題淘的適師定性銜：存在赤性（Ex鳥is原te文nc戶e）唯一甜性（Un去iq危ue奸ne差ss）穩(wěn)定什性（St肯ab養(yǎng)il魂it達(dá)y）+附加有條件方程§2典型員方程愛的數(shù)壁學(xué)模襪型§2蟻.1波動選方程狀的定乎解問宜題§2樓.2熱傳華導(dǎo)方著程的窯定解家問題§2臘.3調(diào)和棚方程濁的定伸解問撇題§2曬.4一階急方程晚（組刻）的消例子§2洋.5其他朋方程鍛的例疲子§2次.1波動鑰方程熟的定彩解問盜題波動法方程寨是描述鋸振動貝與波明的傳秀播現(xiàn)錯(cuò)象的粱一種發(fā)展繭方程弦的礎(chǔ)橫振粱動（天弦振蠅動方捆程）桿的柜縱振夾動一維訊非線狠性彈恥性振濃動電報(bào)否方程膜的蕉橫振錫動聲波喘方程電磁帶波方蛋程1.弦振鮮動方娃程的盈導(dǎo)出考慮館一根探張緊脹的均勻蝦柔軟的細(xì)抱弦，敞受垂闊直于隙弦的外力作用古，在平衡弦位置附近冤作微小的橫振岸動平衡條位置壟：弦靜驕止時(shí)佳的位防置，痛通常其設(shè)為X軸；均勻餅：弦的額線密礎(chǔ)度(單位享長度箱的質(zhì)榮量)ρ為常常數(shù)；柔軟林：張緊酷的弦憐在離毫開平虎衡位洋置時(shí)暑，其啦上的情每一奸點(diǎn)均恨不抗辱拒彎曲，很從而圣弦的棵張力優(yōu)方向沒沿著膛其切賢線方擱向；綠弦的縮慧形變上伸長與張堪力滿坦足Ho喪ok蛾e定理橫振瘡動：振動連發(fā)生養(yǎng)在同駕一平山面內(nèi)邁，且據(jù)弦上稅各點(diǎn)公的位億移與仔平衡折位置垂直薦；外力大：外力鉤密度(單位恰長度持受到湖的外方力)為F；微小軍：振幅航相對廊于弦?guī)Z長很且小微元蜜分析邁法：在物靈體中殃任取接一個(gè)箱微小額的立壞方體(微元)，在煩其上斬建立細(xì)相應(yīng)邊的物圾理量愈的平濁衡關(guān)陰系式蜻，再涉令微腐元的腿直徑拐趨向睡于零受力秧情況珍：水平顯方向乓：垂直騎方向掘：（強(qiáng)賴迫弦嚴(yán)振動律方程倦）沒有網(wǎng)外力貫作用訪時(shí)：有外舉力作斷用時(shí)強(qiáng)：（自朝由弦竊振動孕方程綠）2.定解兇條件音的導(dǎo)觀出A.初始宋條件B.邊界絕條件A.初始喬條件例1在d處將蔥弦拉膚升至h后靜半止,然后閘放手稱讓其枯自由集振動0例2弦靜板止于稻平衡百位置梯，經(jīng)賢敲擊病后開棗始振枕動例1例2弦的懂端點(diǎn)荒自由權(quán)滑動迅：即譯弦的套端點(diǎn)推不受命垂直賭方向帆力的勞作用抵，也繞即張蜻力在冒垂直皇方向室的分稅量為堅(jiān)零B.邊界嚇條件例3弦的帳端點(diǎn)朽固定產(chǎn)在彈先性支傍承上注：兩端盤點(diǎn)可繪以取丑不同陷類型員的邊歌界條肉件邊界資條件搏一般導(dǎo)可分午為三或類：第一竊類邊件界條投件(D帆ir眠ic丘hl駝et房誠)：第二遵類邊屆界條谷件(N狂eu賣ma猾nn棟)：第三瓣類邊耍界條攀件(R溝ob辦in件)：3.其他磚模型桐的例常子桿上毯點(diǎn)遮在過時(shí)刻困的縱嘩向位鼓移均勻嶼桿的綠縱振敗動一維石非線卸性彈賴性振盆動對彈祝性弦悅的橫窄振動傘或彈琴性桿溫的縱行振動磨，若勇作用租力與形蹤蝶變不分滿足Ho驅(qū)ok海e定律倚時(shí)，唐即有非線駱性函吼數(shù)電阻問，線困間電災(zāi)漏，版電容鈔，電字感，予電流考密度電報(bào)魯方程張緊堅(jiān)的柔正軟均社勻膜搏在垂信直于取平衡殿位置籃平面菠方向胳的微妹小橫鵝振動膜在住點(diǎn)汽時(shí)舟刻離阿開平蟲衡位容置的爛橫向汗位移面密劍度張力膜的你橫振抽動（La胖pl原ac喊e算子岡）聲波臘方程氣體章的振堡動是敞微小膊的：叔略去零高階彩無窮墊小量設(shè)空及氣處資于平丸衡狀襲態(tài)時(shí)埋的密安度和控壓強(qiáng)紋為理想鍵氣體將動力過學(xué)方陰程組聲學(xué)境方程單組設(shè)空宵氣是鳳無旋域的：組即,存在孩標(biāo)量課函數(shù)牧使聲速速度,速度膠勢電磁蹈波方幅程真空調(diào)中電隆磁場衰的Ma僻xw闖el榮l方程艙組電場逆強(qiáng)度,磁感模應(yīng)強(qiáng)喊度,介電漿常數(shù),磁導(dǎo)依率自由突電磁切波：電荷策密度,電流各密度,光速4.波動現(xiàn)方程尼的一任般形牧式及休其定蜂解問細(xì)題模型:中的接慣性必力+通過艙作用清在悼上啄的力=移0(C貴on纖ta敏ct倚F姐or遇ce辣)彈性沉體:小形抄變(浴)D’線Al溫em翼be山rt算子定解飛問題葵：初值繪問題(Ca撐uc占hy問題)2.混合當(dāng)初邊蕉值問曬題邊界淋條件紛分三末類：熱傳輩導(dǎo)方艱程熱傳揉導(dǎo)方查程描述低物體柳內(nèi)的淚熱傳犧導(dǎo)現(xiàn)縮慧象，頃即由監(jiān)于溫扒度分紛布不斗均勻墾而引控起的足熱量虜從溫雨度高屠的地?zé)岱较蜓囟葷獾偷膭?chuàng)地方隆流動宴的現(xiàn)送象.擴(kuò)散絮方程擴(kuò)散菜方程描述簡物體狼內(nèi)的賠擴(kuò)散額現(xiàn)象顛，即吼由于蔑濃度齒分布罰不均羞勻而猴引起撥的物玩質(zhì)從橡濃度鏡大的朽地方規(guī)向濃待度小景的地蜘方轉(zhuǎn)常移的墻現(xiàn)象.§2暢.2熱傳圓導(dǎo)方細(xì)程的慌定解僵問題1.熱傳給導(dǎo)方晴程的門導(dǎo)出Fo限ur如ie昨r實(shí)驗(yàn)水定律熱流傭方向當(dāng)物腰體內(nèi)踏部無絲式熱源旗時(shí)，當(dāng)物達(dá)體內(nèi)樹部有吳熱源翻時(shí)，考慮箏均勻軌薄板(上下槳底絕迅熱)：二維熱傳賓導(dǎo)方該程；均勻淘細(xì)桿(側(cè)面尤絕熱鉤，同盟一截勇面上疤溫度槐相同)：一維熱傳豈導(dǎo)方融程一般捐地,擴(kuò)散捕方程籌的導(dǎo)鹿出Fi唯ck實(shí)驗(yàn)洋定律擴(kuò)散跪流強(qiáng)蠢度，問即單嚇位時(shí)蒜間內(nèi)維通過柔單位茄面積綱的粒紋子數(shù)笛（或岸質(zhì)量白）濃度狐，即石單位頑體積慚中的促粒子友數(shù)（扭或質(zhì)巧量）擴(kuò)散等系數(shù)粒子件數(shù)（蠟或質(zhì)柳量）棒守恒鞋：特例殘：擴(kuò)盯散源值強(qiáng)度疤與濃授度成木正比邊，特例瘦：放躬射性量衰變敵現(xiàn)象潔：均勻膚：擴(kuò)散指源強(qiáng)鋸度半衰架期2.定解狼條件害的導(dǎo)住出A.初始苦條件B.邊界鐵條件A.初始如條件B.邊界張條件3.定解宋問題A.初值造問題(Ca遇uc滾hy問題)B.混合圓初邊蓄值問濁題復(fù)分摧析：雞解析輕函數(shù)平衡四態(tài)問宮題：企膜、該濃度見、溫坦度等位勢啊理論油：引效力場沫，靜曬電場流體混力學(xué)稠：無趁旋定騰常流隨機(jī)煉場：己布朗型運(yùn)動§2伐.3調(diào)和步方程蹦的定言解問獅題1.方程淘的導(dǎo)腿出解析指函數(shù)平衡微態(tài)問壟題彈性府膜平尿衡態(tài)屬：外譯力不災(zāi)隨時(shí)搬間變枝化穩(wěn)定卵濃度訊分布尊：擴(kuò)盒散源田不隨短時(shí)間透變化穩(wěn)定豎溫度淚分布僅：熱丈源不她隨時(shí)貝間變和化（Po胸is腎so圣n方程贊）無源變：（La籮pl嗓ac鳥e方程/調(diào)和岸方程疏）位勢險(xiǎn)理論額（引觸力場去、靜霸電場奮）引力頑場萬有胃引力扛定律停：引力恐位勢上連艷續(xù)分填布（登密度價(jià)）的川質(zhì)量挽產(chǎn)生卷的引街力場旗的位岡勢在秩外：在數(shù)內(nèi)：沈（黎滿足蛾一定頂?shù)恼晞t性祥條件異）靜電姿場Co畜ul尚om柴b定律以：Ga騎us蛛s定理訂：無旋挎：卵電量勢無源最：不可旦壓縮陪流體修的無澡旋定眨常運(yùn)愧動質(zhì)量純守恒絹方程不可椅壓縮站：無旋莊流體帖：密度半速度速度烘勢定常大：送均與障時(shí)間中無關(guān)無源誓：布朗肚運(yùn)動假設(shè)隔：質(zhì)忍點(diǎn)運(yùn)辛動到游邊界仆上即六終止以謹(jǐn)為夫起點(diǎn)添運(yùn)動,終止僅在豎上的胞概率2.定解濃問題秧：邊猾值問南題邊界傾條件料：,有界,第一測類(Di塵ri朝ch律le饒t):第二井類(Ne止um扒an綿n):第三手類(Ro樂bi云n):的單襪位外絕法線究方向.A.內(nèi)問箏題A.內(nèi)問芹題B.外問鋸題B.外問售題與外鞠問題股類似C.無界番區(qū)域社的邊滾值問臟題D.等值秤面邊曉值問肝題人口昆模型追趕母問題交通剖流模既型流體艦力學(xué)思方程研組與絞聲學(xué)撕方程久組電動雕力學(xué)Ma嫂xw譜el悅l方程陶組§2憤.4一階乞方程皂（組請）的贊例子1.人口鴨模型人口犧在時(shí)鈔刻藏按年侍齡旗的分并布密涌度,即時(shí)刻揀年齡漢在季的隱人口捐數(shù)=時(shí)刻抵的人程口總性數(shù)=不考著慮死胳亡因看素:考慮丙死亡利因素:死亡易率,即年在齡在春中的鞏人口欲在時(shí)段雞中的純死亡下數(shù)為定解通條件初始辟條件初始夢人口認(rèn)分布礎(chǔ)密度邊界院條件出生冬的嬰印兒數(shù)出生罰率,即年嶺齡在遠(yuǎn)中的浴人口神在時(shí)段流中出舊生的票嬰兒刷數(shù)為,因此時(shí)段隔中出糠生的演嬰兒燭總數(shù)==年齡距在童中謊的人迫數(shù)2.追趕渠問題各種事不同塑身高晌的人繭在一擱直線(設(shè)為橋軸)上前役進(jìn)假設(shè)擠人的寸數(shù)目調(diào)較多,從而倚可以浸采用州連續(xù)虛模型時(shí)刻卵處鐮的人田的身鐘高所有答人以暖同一究常速托度落沿稅軸正套方向寸運(yùn)動:在任蘭意直鬼線煉上,取常梯數(shù)值(對應(yīng)拔于同撇一人),即速度:每個(gè)鋪人的榆運(yùn)動疲規(guī)律同樣望有速度與身舒高有測關(guān):如(B堡ur痛ge足r’朽s方程)一階險(xiǎn)擬線花性方呈程更一席般地鑒：3.交通能流模濕型高速戲公路為上行梢使的薄交通獅車輛待的流勝動問席題軸正悔方向漆表示激車輛草前進(jìn)嘉的方頁向時(shí)刻鵲車輛僻按疑方玩向分悲布的稼密度(單位破長度疤的車謙輛數(shù)戀目)車輛吼通過猾點(diǎn)的狂流通澡率(單位華時(shí)間率流過但的車鐮輛數(shù)絞目)即,時(shí)刻砍在蒜中的牢車輛何數(shù)=中在宣內(nèi)料增加遠(yuǎn)的車嬌輛數(shù)=車輛劇數(shù)守目恒:即,在時(shí)蘿段忽中通騾過踩點(diǎn)的睡車輛型數(shù)目=中通優(yōu)過決點(diǎn)的萍車輛羅數(shù)-通過秧點(diǎn)的眨車輛負(fù)數(shù)結(jié)構(gòu)磨方程,如(G字re舅en量sh私ie騰ld模型)(守恒雁律方庸程)4.流體檢力學(xué)唯方程鈔組與換聲學(xué)圓方程磨組：密南度：內(nèi)廊能：壓撇強(qiáng)：速晉度一維柄：可壓隊(duì)流體Eu眼le鍵r方程臺組（璃無粘跡性、往熱傳欺導(dǎo)）一階古擬線耍性方勻程組聲學(xué)拍方程共組：氣體研的微是小振個(gè)動在等甚熵方狠程組翻中忽結(jié)略速涌度、橡速度闊梯度啊、密鬼度梯負(fù)度的戰(zhàn)高階論項(xiàng)聲速速度胞勢一階嚇線性費(fèi)方程逆組不可蹦壓粘院性流耗體的Na懷vi零er翅-S港to加ke南s方程憑組粘性勸流體徒力學(xué)傘方程孕組不可羅壓：二階捐擬線勤性方半程組5.電動槍力學(xué)Ma獎xw元el偽l方程潤組真空給中的Ma頓xw毫el舒l方程米組各向顯同性德媒質(zhì)啟中的Ma根xw斃el反l方程使組電荷狐守恒傭律方蒜程§2泥.5其他呢方程偽的例姓子§3二階釀線性劑偏微葉分方玩程簡捉介§3袍.1兩個(gè)智自變膚量情役形的寄分類鹽與化躺簡§3怨.2進(jìn)一縮慧步化滴簡§3叛.3詳細(xì)獄分類§3隨.4多個(gè)蘿自變餡量情仔形的粥分類§3傻.5特征旁理論3.竭1兩個(gè)幟自變蛇量情訴形的豪分類例與化念簡例如咳：化簡--患-各類恰方程乳的標(biāo)演準(zhǔn)型目標(biāo):通過憑自變所量變問換,使方才程的爭形式腫簡化,有時(shí)強(qiáng)甚至姨可以懸求出他其通撐解自變晴量變圖換可逆:至少材在某轟個(gè)在不鴉引起景誤解地的情吸況下蹄仍然魄用,而不應(yīng)用方程翠類型隔不變:注意:或或反之催亦然折。（稱母（*慚*）族為特征絨方程，其坊積分葬曲線盟為特征尖線）下面方以常喜系數(shù)慕情形鐮為例特征供線為看直線謊：特征拼線為蘋直線捆：這樣候可以頁得到屑雙曲純型方寺程的越第一俊標(biāo)準(zhǔn)騰型：若再鍛令則有這樣浮可以志得到洗雙曲認(rèn)型方跪程的供第二調(diào)標(biāo)準(zhǔn)舅型：例1特征洪線為粉直線繪：這樣?jì)D可以便得到是拋物層型方授程的拋標(biāo)準(zhǔn)切型：例2引入風(fēng)實(shí)變羨量：這樣擊可以轎得到責(zé)橢圓首型方蠢程的辨標(biāo)準(zhǔn)交型：例3例1特征度線還可語以求耍出通賽解：例2特征居線例3幾個(gè)特變系裕數(shù)的握例子例4特征練線例5特征符線例6例7上半悔平面劇橢圓下半斑平面汪雙曲橫軸幼上拋駝物3.送2進(jìn)一優(yōu)步化瞞簡三類功標(biāo)準(zhǔn)詠型：雙曲拋物橢圓（1）（1*）（2）（3）目標(biāo)銳：引煌入未扣知函均數(shù)變百換來吸消去饞一階潑項(xiàng)（概以常皆系數(shù)五情形繞為例贏）以（1）為例雙曲松型和近橢圓潮型方邁程可失進(jìn)一訊步化籍簡為策標(biāo)準(zhǔn)賓型：雙曲橢圓3.屑3詳細(xì)女分類（考菌察整混個(gè)求戀解區(qū)粱域敏）1.雙曲翠型：2.拋物希型：3.橢圓礙型：4.混合僑型：5.退化撈雙曲挽型：6.退化稅橢圓濃型：3.泡4多個(gè)級自變剩量的霞二階愉線性派偏微禍分方會程的凝分類Re褲ca恢ll掌:兩個(gè)費(fèi)自變消量的丟情形特征辮值多個(gè)也自變儀量的蔬情形幾種乞類型鉆（不息包含錦所有傻）：1.雙曲畏型：2.拋物貿(mào)型：3.橢圓校型：4.超雙則曲型尺：5.超拋壺物型啟：注：滲對矩飛陣缺或二掌次型嚴(yán)而言削：雙曲什：拋物膨：橢圓散：例1橢圓例2雙曲例3拋物例4超雙府曲例5超拋射物3.勇5特征