電子科大圖論上課及復(fù)習(xí)總結(jié)楊春10

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圖論及其應(yīng)用任課教師：楊春數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院1第六章平面圖主要內(nèi)容一、平面圖概念與性質(zhì)二、特殊平面圖與平面圖的對偶圖三、平面圖的判定與涉及平面性不變量教學(xué)時數(shù)安排8學(xué)時講授本章內(nèi)容四、平面性算法2本次課主要內(nèi)容(一)、平面圖的概念(二)、平面圖性質(zhì)平面圖概念與性質(zhì)(三)、圖的嵌入性問題簡介(四)、凸多面體與平面圖3圖的平面性問題是圖論典型問題之一。生活中許多問題都與該問題有關(guān)。(一)、平面圖的概念

例子1：電路板設(shè)計問題在電路板設(shè)計時，需要考慮的問題之一是連接電路元件間的導(dǎo)線間不能交叉。否則，當絕緣層破損時，會出現(xiàn)短路故障。

顯然，電路板可以模型為一個圖，“要求電路元件間連接導(dǎo)線互不交叉”，對應(yīng)于“要求圖中的邊不能相互交叉”。4

例子2：空調(diào)管道的設(shè)計某娛樂中心有6個景點，位置分布如下圖。A1A4A5A3A2A6分析者認為：(1)A1與A4,(2)A2與A5,(3)A3與A6間人流較少，其它景點之間人流量大，必須投資鋪設(shè)空調(diào)管道，但要求空調(diào)管道間不能交叉。如何設(shè)計？5如果把每個景點分別模型為一個點，景點間連線，當且僅當兩景點間要鋪設(shè)空調(diào)管道。那么，上面問題直接對應(yīng)的圖為：A6A5A4A3A2A1于是，問題轉(zhuǎn)化為：能否把上圖畫在平面上，使得邊不會相互交叉？6通過嘗試，可以把上圖畫為：于是，鋪設(shè)方案為：A6A5A4A3A2A1A1A4A5A3A2A67問題：要求把3種公用設(shè)施(煤氣，水和電)分別用煤氣管道、水管和電線連接到3間房子里，要求任何一根線或管道不與另外的線或管道相交，能否辦到？

例子3：3間房子和3種設(shè)施問題上面問題可以模型為如下偶圖：H3H2H1EWG問題轉(zhuǎn)化為，能否把上面偶圖畫在平面上，使得邊與邊之間不會交叉？8上面的例子都涉及同一個圖論問題：能否把一個圖畫在平面上，使得邊與邊之間沒有交叉？針對這一問題，我們引入如下概念定義1如果能把圖G畫在平面上，使得除頂點外，邊與邊之間沒有交叉，稱G可以嵌入平面，或稱G是可平面圖?？善矫鎴DG的邊不交叉的一種畫法，稱為G的一種平面嵌入，G的平面嵌入表示的圖稱為平面圖。H3H2H1EWG圖GH3H2H1EWG圖G的平面嵌入9注:(1)可平面圖概念和平面圖概念有時可以等同看待；

(2)圖的平面性問題主要涉及如下幾個方面：1)平面圖的性質(zhì)；2)平面圖的判定；3)平面嵌入方法(平面性算法);4）涉及圖的平面性問題的拓撲不變量。

由圖的平面性問題研究引申出圖的一般嵌入性問題的研究，形成了拓撲圖論的主要內(nèi)容。我國數(shù)學(xué)家吳文俊、劉彥佩等在該方向都有重要結(jié)果。劉彥佩的專著是《圖的上可嵌入性理論》(1994)，化學(xué)工業(yè)出版社出版。

歷史上，波蘭數(shù)學(xué)家?guī)炖兴够?、美國?shù)學(xué)家惠特尼、生于英國的加拿大數(shù)學(xué)家托特，我國數(shù)學(xué)家吳文俊等都在拓撲圖論中有過精湛的研究。10(二)、平面圖性質(zhì)定義2(1)一個平面圖G把平面分成若干連通片，這些連通片稱為G的區(qū)域，或G的一個面。G的面組成的集合用Φ表示。在上圖G中，共有4個面。其中f4是外部面，其余是內(nèi)部面。Φ=｛f1,f2,f3,f4｝。平面圖Gf1f3f2f4

(2)面積有限的區(qū)域稱為平面圖G的內(nèi)部面，否則稱為G的外部面。11

(3)在G中，頂點和邊都與某個給定區(qū)域關(guān)聯(lián)的子圖，稱為該面的邊界。某面f的邊界中含有的邊數(shù)(割邊計算2次)稱為該面f的次數(shù),記為deg(f)。平面圖Gf1f3f2f4在上圖中，紅色邊在G中的導(dǎo)出子圖為面f3的邊界。

1、平面圖的次數(shù)公式12定理1設(shè)G=(n,m)是平面圖，則：證明：對G的任意一條邊e,如果e是某面割邊，那么由面的次數(shù)定義，該邊給G的總次數(shù)貢獻2次；如果e不是割邊，那么，它必然是兩個面的公共邊，因此，由面的次數(shù)定義，它也給總次數(shù)貢獻2次。于是有：

2、平面圖的歐拉公式13定理2(歐拉公式)設(shè)G=(n,m)是連通平面圖，ф是G的面數(shù)，則：證明：情形1，如果G是樹，那么m=n-1,ф=1。在這種情況下，容易驗證，定理中的恒等式是成立的。情形2，G不是樹的連通平面圖。假設(shè)在這種情形下，歐拉恒等式不成立。則存在一個含有最少邊數(shù)的連通平面圖G,使得它不滿足歐拉恒等式。設(shè)這個最少邊數(shù)連通平面圖G=(n,m),面數(shù)為ф，則：14因為G不是樹，所以存在非割邊e。顯然，G-e是連通平面圖，邊數(shù)為m-1,頂點數(shù)為n,面數(shù)為ф-1。由最少性假設(shè)，G-e滿足歐拉等式：化簡得：這是一個矛盾。注：該定理可以采用對面數(shù)ф作數(shù)學(xué)歸納證明。

3、歐拉公式的幾個有趣推論15推論1設(shè)G是具鼓有ф?zhèn)€面k個連梨通分勺支的悅平面很圖，諒則：證明聰：對皮第i疫(1≦i尿≦k籃)個分躁支來差說，浮設(shè)頂斑點數(shù)跑為ni，邊習(xí)數(shù)為mi，面群數(shù)為фi,由歐囑拉公標式：所以控，16而：所以標得：推論2設(shè)G是具葵有n個點m條邊ф?zhèn)€面菜的連控通平鋒面圖蔬，如繞果對G的每阿個面f,有：de謎g貧(f)濃≥l≥3暮,則：17證明概：一括方面抱，由訊次數(shù)宗公式嘆得：另一協(xié)方面究，由論歐拉膜公式全得：所以驅(qū)有：整理扁得：18注:止(翠1)上面諒?fù)普?也可攪以敘賞述為制：設(shè)G=產(chǎn)(n靈,矮m)是連濁通圖劫，如蠅果：則G是非纏可平說面圖輔。(2軌)推論2的條裕件是G是平府面圖音的必沸要條阻件,不是憂充分窄條件傅。例1求證千：K3,青3是非似可平冶面圖自。證明育：注粥意到躺，K3,排3是偶搏圖，駱不存中在奇歪圈，鏈所以蜂，每志個面揮的次汁數(shù)至悶少是4,即l=419所以派，而m=鄉(xiāng)豐9，這鉤樣有短：所以利，由拘推論2，K3,階3是非夫平面皮圖。推論3設(shè)G是具株有n個點m條邊ф?zhèn)€面泥的簡遮單平損面圖門，則視：20證明翠：情欣形1，G連通斬。因為G是簡農(nóng)單圖耐，所襲以每仿個面矮的次切數(shù)至萍少為3，即l=3。于姜是，辯由推產(chǎn)論2得：情形2，若G不連慌通。根設(shè)G1,G2,…牧,Gk是連繁通分量支。一方共面,由推宵論1：另一訊方面咱，由挖次數(shù)浴公式遷得：所以消得：21例2，證釋明：K5是非渡可平稻面圖勞。證明閘：K5是簡攤單圖草，m=尸10奮,仆n=咸5。3n詞-6壯=9。得，猾，所撕以K5是非簽可平凍面圖揚。推論4設(shè)G是具歡有n個點m條邊拿的連賞通平速面圖虧，若G的每亦個圈慰均由戀長度貧是l的圈眨圍成欣，則美：證明響：由由次數(shù)沙公式桿，歐助拉公停式容強易得智證。22推論5設(shè)G是具仿有n個點m條邊賴的簡嚴單平闖面圖經(jīng)，則零：證明耕：若騾不然鍬，設(shè)由握親手定黨理：這與G是簡候單平云面圖控矛盾統(tǒng)。注：俱該結(jié)莖論是恨證明屬“5色定品理”慌的出羞發(fā)點杠。23定理3一個宴連通昏平面秩圖是2連通產(chǎn)的，貴當且攝僅當鈴它的光每個烘面的榆邊界表是圈貧。證明豎：“含必要隙性”歪：設(shè)G是2連通地的平污面圖糕，因返為環(huán)徹總是撒兩個做面的冶邊界駁，且看環(huán)面販顯然茂由圈勺圍成娛。不角失一班般性膽，假郊設(shè)G沒有燙環(huán)，熄那么G沒有語割邊誕，也吃沒有速割點副。所更以，旦每個仍面的特邊界戰(zhàn)一定撤是一壟條閉狼跡。設(shè)C是G的任申意面項的一騰個邊撈界，餡我們德證明頁，它頂一定警為圈聰。若不釣然，療設(shè)C是G的某爺面的知邊界翠，但縱它不捕是圈灘。因C是一孟條閉鼻跡且與不是址圈，片因此錄，C中存辭在子滲圈。賊設(shè)該勢子圈師是W1.因C是某糟面的郊邊界秧，所面以W1與C的關(guān)股系可辮以表沖示為膚下圖陽的形壞式：24vvj-1v1v2vi-1vi+1vnW1容易祥知道杜：v為G的割喇點。誓矛盾跟！“充激分性傻”浮設(shè)平狀面圖G的每盜個面杰的邊魔界均搖為圈匙。此姐時刪劃去G中任柴意一魂個點蠢不破呆壞G的連劑通性自，這長表明G是2連通甘的。推論6若一奧個平?jīng)]面圖君是2連通億的，堡則它雀的每秘條邊娃恰在甚兩個咽面的大邊界保上。25(三)、圖乖的嵌蟻入性甲問題弓簡介在圖傾的平臣面嵌督入的炎基礎(chǔ)據(jù)上，暗簡單條介紹露：1、曲囑面嵌響入1)、球報面嵌紗入定理4談G可球捐面嵌目入當愈且僅塑當G可平加面嵌定入。證明雞：我咳們用鞋建立鋼球極針平面秋射影絹的方病法給忠出證荒明。將求混面S放在希一個窯平面P上，話設(shè)切施點為O，過O作垂沾直于P的直拾線，利該直啄線與S相交點于z。262)、環(huán)眨面嵌蒸入環(huán)面喝的形師狀像仍一個坑汽車暗輪胎鎖的表懷面。PzyOx球極投影示意圖作映波射f:參S迅-｛z｝→狀P。定軌義f(x廉)爹=趨y,使得x泄,y傅,唉z三點握共線帥。該講映射折稱為雪球極卡平面畝射影鹿。通過f,可以航把嵌嚷入球趣面的嫩圖映址射為梢嵌入然平面浙的圖杯。反沉之亦聰然。27例3將K4,涉K5,辦K3,筒3嵌入診到環(huán)枯面上遙。3)定向沾曲面義嵌入K4的環(huán)面嵌入K5的環(huán)面嵌入K3,3的環(huán)面嵌入這是搖目前玻嵌入員性問院題研鑰究熱替點。歲國內(nèi)蓄：劉駁彥佩掙，黃庭元秋膨等是孕從事克該方態(tài)向研死究的信代表掀。282、圖淹的3維空仍間嵌約入定理5所有塔圖均萌可嵌餃入R3中。證明血：在R3中作伏空間苗曲線襯：把圖G的頂撿點放疲在該妥直線闊的不肥同位垂置，歷則G的任障意邊理不相昨交。事實冬上，猛對處畢于曲永線l上的階任意4個相勢異頂誕點，廊它們羨對應(yīng)勵的參半數(shù)值鎖分別飄為：t1,t2,t3,t4。29因為遍：所以粉，上偵面4點不課共面怕。(四)、凸?jié)M多面外體與襪平面衰圖一個循多面淋體稱植為凸繪多面味體，孫如果艷在體榨上任期取兩壓點，允其連訴線均慶在體斤上。凸多丙面體扁的一滔維骨閃架：符把一德個凸趕多面赤體壓申縮在法平面看上，鑰得到區(qū)一