計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第三章形體表示

清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)

3.2形體在計(jì)算機(jī)內(nèi)的表示

清華大學(xué)3.2.1引言計(jì)算機(jī)中表示形體，通常用線框、表面和實(shí)體三種模型。對(duì)于任一形體，如果它是3維歐氏空間中非空、有界的封閉子集，且其邊界是二維流形（即該形體是連通的），我們稱該形體為正則形體，否則稱為非正則形體。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)

些非正則形體的實(shí)例清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)

集合運(yùn)算（并、交、差）是構(gòu)造形體的基本方法。正則形體經(jīng)過(guò)集合運(yùn)算后，可能會(huì)產(chǎn)生懸邊、懸面等低于三維的形體。Requicha在引入正則形體概念的同時(shí)，還定義了正則集合運(yùn)算的概念。正則集合運(yùn)算保證集合運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)正則形體，即丟棄懸邊、懸面等。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)

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為了能夠處理非正則形體，產(chǎn)生了非正則造型技術(shù)。九十年代以來(lái)，基于約束的參數(shù)化、變量化造型和支持線框、曲面、實(shí)體統(tǒng)一表示的非正則形體造型技術(shù)已成為幾何造型技術(shù)的主流。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)

3.2.2形體表示模型在實(shí)體模型的表示中，基本上可以分為分解表示、構(gòu)造表示和邊界表示三大類。1、分解表示將形體按某種規(guī)則分解為小的更易于描述的部分，每一小部分又可分為更小的部分，這種分解過(guò)程直至每一小部分都能夠直接描述為止。(a)將形體空間細(xì)分為小的立方體單元。這種表示方法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)形體的交、并、差計(jì)算，但是占用的存儲(chǔ)量太大，物體的邊界面沒(méi)有顯式的解析表達(dá)式，不便于運(yùn)算。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)

(b)八叉樹法表示形體.首先對(duì)形體定義一個(gè)外接立方體，再把它分解成八個(gè)子立方體，并對(duì)立方體依次編號(hào)為0，1，2，…，7。如果子立方體單元已經(jīng)一致，即為滿（該立方體充滿形體）或?yàn)榭眨](méi)有形體在其中），則該子立方體可停止分解；否則，需要對(duì)該立方體作進(jìn)一步分解，再一分為八個(gè)子立方體。在八叉樹中，非葉結(jié)點(diǎn)的每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有八個(gè)分支。 優(yōu)點(diǎn)主要是： （1）形體表示的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單。

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（2）簡(jiǎn)化了形體的集合運(yùn)算。只需同時(shí)遍歷參加集合運(yùn)算的兩形體相應(yīng)的八叉樹，無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的求交運(yùn)算。（3）簡(jiǎn)化了隱藏線（或面）的消除，因?yàn)樵诎瞬鏄浔硎局校误w上各元素已按空間位置排成了一定的順序。（4）分析算法適合于并行處理。八叉樹表示的缺點(diǎn)：占用的存儲(chǔ)多，只能近似表示形體，以及不易獲取形體的邊界信息等。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)

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2．構(gòu)造表示。通常有掃描表示、構(gòu)造實(shí)體幾何表示和特征表示三種。(a)掃描表示?；谝粋€(gè)基體（一般是一個(gè)封閉的平面輪廓）沿某一路徑運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生形體。掃描是生成三維形體的有效方法用掃描變換產(chǎn)生的形體可能出現(xiàn)維數(shù)不一致的問(wèn)題。掃描方法不能直接獲取形體的邊界信息，表示形體的覆蓋域非常有限。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)

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(b)構(gòu)造實(shí)體幾何表示(CSG).通過(guò)對(duì)體素定義運(yùn)算而得到新的形體的一種表示方法。體素可以是立方體、圓柱、圓錐等，也可以是半空間，其運(yùn)算為變換或正則集合運(yùn)算并、交、差。CSG表示可以看成是一棵有序的二叉樹。其終端節(jié)點(diǎn)或是體素、或是形體變換參數(shù)。非終端結(jié)點(diǎn)或是正則的集合運(yùn)算，或是變換（平移和/或旋轉(zhuǎn)）操作，這種運(yùn)算或變換只對(duì)其緊接著的子結(jié)點(diǎn)（子形體）起作用。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)

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CSG樹是無(wú)二義性的，但不是唯一的.CSG表示的優(yōu)點(diǎn)：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，數(shù)據(jù)量比較小，內(nèi)部數(shù)據(jù)的管理比較容易；

CSG表示可方便地轉(zhuǎn)換成邊界（Brep）表示；

CSG方法表示的形體的形狀，比較容易修改。CSG表示的缺點(diǎn)：

對(duì)形體的表示受體素的種類和對(duì)體素操作的種類的限制，也就是說(shuō)，CSG方法表示形體的覆蓋域有較大的局限性。清華鑄大學(xué)沖計(jì)算治機(jī)科遵學(xué)與萍技術(shù)出系倚計(jì)鉆算機(jī)床圖形捏學(xué)基逗礎(chǔ)對(duì)形炕體的幅局部撫操作硬不易徹實(shí)現(xiàn)申，例懼如，許不能她對(duì)基舉本體靠素的越交線拳倒圓賣角；由于黨形體跪的邊肆界幾肅何元霧素（溫點(diǎn)、古邊、壺面）依是隱階含地春表示閑在CS她G中，拿故顯迫示與騎繪制CS綿G表示壇的形熊體需棗要較株長(zhǎng)的斤時(shí)間粉。(c泛)特征攻表示從應(yīng)桐用層笑來(lái)定引義形題體，烤因而老可以撐較好走的表裝達(dá)設(shè)昌計(jì)者筐的意垃圖。絞從功勿能上析可分菜為形逮狀、腔精度烘、材外料和咳技術(shù)繳特征敵。清華眠大學(xué)大計(jì)算飄機(jī)科硬學(xué)與重技術(shù)國(guó)系煮計(jì)可算機(jī)辨圖形隙學(xué)基議礎(chǔ)特征腫是面錯(cuò)向應(yīng)突用、繼面向康用戶晶的。示特征念模型饑的表評(píng)示仍隔然要歪通過(guò)儀傳統(tǒng)洽的幾科何造年型系疲統(tǒng)來(lái)色實(shí)現(xiàn)輔。不童同的磨應(yīng)用事領(lǐng)域吼，具谷有不往同的宜應(yīng)用歸特征庫(kù)。在幾到何造黃型系扒統(tǒng)中器，根庭據(jù)特肚征的袍參數(shù)賢我們額并不穿能直剪接得欺到特窗征的殊幾何盤元素匪信息榴，而辯在對(duì)礎(chǔ)特征訂及在喪特征滾之間輝進(jìn)行宏操作餃時(shí)需歐要這鉆些信展息。特征產(chǎn)方法堵表示逐形體岔的覆蛋蓋域棉受限湊于特好征的剪種類蟲。清華湯大學(xué)蔽計(jì)算斃機(jī)科課學(xué)與京技術(shù)剩系逗計(jì)導(dǎo)算機(jī)怖圖形焦學(xué)基膛礎(chǔ)清華克大學(xué)靈計(jì)算鈴機(jī)科德學(xué)與卸技術(shù)浸系幟計(jì)餃算機(jī)系圖形棚學(xué)基師礎(chǔ)構(gòu)造愛表示給的特都點(diǎn)：構(gòu)造仿表示困通?；示哂袝圆槐銓幱谥必暯荧@踐取形掘體幾聚何元征素的巧信息茂、覆適蓋域吸有限緊等缺申點(diǎn)，但是睡，便悅于用氧戶輸竿入形顆體，豬在CA幕D/盟CA猴M系統(tǒng)涌中，疤通常袖作為懇輔助院表示欠方法言。清華院大學(xué)鏈計(jì)算嚼機(jī)科搶學(xué)與修技術(shù)憲系敬計(jì)挎算機(jī)潛圖形莫學(xué)基識(shí)礎(chǔ)3．邊喬界表之示（BR表示疊或BR沈ep表示京）按照犁體－智面－質(zhì)環(huán)－菜邊－鳥點(diǎn)的種層次硬，詳恭細(xì)記槽錄了喚構(gòu)成啊形體貫的所啞有幾慚何元霧素的睜?zhēng)缀蔚K信息腔及其殲相互域連接添的拓棚撲關(guān)灶系。邊界魄表示迷的一海個(gè)重素要特斤點(diǎn)是迷在該甜表示觸法中犯，描蔥述形沉體的柿信息菌包括貪幾何揪信息少（Ge巨om倉(cāng)et礎(chǔ)ry）和渡拓?fù)潆`信息貴（To敵po略lo串gy）兩己個(gè)方盯面。拓?fù)涮盒畔⒛z描述毛形體差上的悟頂點(diǎn)絲式、邊敵、面持的連君接關(guān)些系，珍拓?fù)溴N信息鉤形成商物體桌邊界廉表示捉的“骨架”。形體億的幾散何信垃息猶花如附霧著在“骨架”上的贏肌肉沃。清華寬大學(xué)酷計(jì)算淘機(jī)科扛學(xué)與笨技術(shù)欠系敵計(jì)盈算機(jī)捎圖形抵學(xué)基境礎(chǔ)清華伏大學(xué)繡計(jì)算劍機(jī)科餡學(xué)與摘技術(shù)刮系逢計(jì)話算機(jī)躺圖形絲式學(xué)基心礎(chǔ)Br擴(kuò)ep表示概的優(yōu)構(gòu)點(diǎn)是剖：表示另形體爆的點(diǎn)處、邊襯、面規(guī)等幾情何元瞞素是撇顯式館表示完的，碑使得原繪制Br砍ep表示佛的形蕉體的巨速度搭較快碧，而降且比靜較容結(jié)易確化定幾肥何元揚(yáng)素間鵲的連幣接關(guān)每系；容易挑支持現(xiàn)對(duì)物炮體的碰各種抬局部碎操作桃，比捉如進(jìn)跌行倒旁角。便于凱在數(shù)盼據(jù)結(jié)畏構(gòu)上能附加抹各種撞非幾首何信溜息，挎如精落度、擁表面蓬粗糙乏度等宏。清華重大學(xué)屬計(jì)算餅機(jī)科涉學(xué)與炊技術(shù)疊系艇計(jì)寇算機(jī)畜圖形販學(xué)基腫礎(chǔ)Br殃ep表示背的缺耗點(diǎn)是斧：數(shù)據(jù)茅結(jié)構(gòu)跌復(fù)雜造，需梅要大判量的肚存儲(chǔ)孩空間類，維灑護(hù)內(nèi)給部數(shù)暖據(jù)結(jié)漂構(gòu)的納程序掙比較掠復(fù)雜搞；Br氣ep表示浸不一擋定對(duì)曠應(yīng)一純個(gè)有栗效形焰體，槳通?；钸\(yùn)用賊歐拉雷操作全來(lái)保找證Br樂(lè)ep表示魚形體蟻的有尋效性富、正偵則性合等。Br鵝ep表示覆蓋鼠域大胞，原訴則上煌能表弦示所籮有的挽形體性，而窗且易心于支絮持形套體的扔特征麻表示耀等，Br墊ep表示米已成密為當(dāng)黎前CA腹D/叛CA箏M系統(tǒng)允的主俗要表蹈示方宴法。清華瀉大學(xué)瓣計(jì)算叼機(jī)科挪學(xué)與裳技術(shù)它系銅計(jì)罪算機(jī)斬圖形彎學(xué)基育礎(chǔ)3.籍2.劍3形體歐的邊狀界表駕示模緊型3.2.3.1邊界著表示喉的基頌本實(shí)感體邊界通模型堂表達(dá)面形體娛的基凝本拓搭撲實(shí)駝體包喘括：1.頂點(diǎn)2.邊。請(qǐng)邊有推方向魚，它狡由起計(jì)始頂庭點(diǎn)和雄終止邪頂點(diǎn)飛來(lái)界唇定。浪邊的鏡形狀宮（Cu償rv蓮e）由扣邊的谷幾何都信息鋼來(lái)表拍示，陡可以掌是直熄線或寸曲線輕，曲過(guò)線邊舟可用隱一系哭列控師制點(diǎn)搏或型奸值點(diǎn)舍來(lái)描逮述，愚也可賭用顯聞式、倆隱式測(cè)或參學(xué)數(shù)方旗程來(lái)郊描述購(gòu)。清華趕大學(xué)貼計(jì)算春機(jī)科巡壽學(xué)與耗技術(shù)倒系她計(jì)萌算機(jī)院圖形鋼學(xué)基歷礎(chǔ)3.環(huán)。環(huán)（Lo麻op）是汽有序河、有彈向邊孤（Ed茶ge）組均成的虧封閉柿邊界國(guó)。環(huán)有園方向步、內(nèi)購(gòu)?fù)庵鸱?，廉外環(huán)燥邊通慨常按洲逆時(shí)查針?lè)矫蚺啪眯?，游?nèi)環(huán)映邊通惠常按暴順時(shí)兄針?lè)絿蚺虐菪颉?.面。面（Fa醒ce）由坐一個(gè)回外環(huán)淋和若踐干個(gè)半內(nèi)環(huán)姓（可余以沒(méi)將有內(nèi)灶環(huán)）局來(lái)表柱示，侮內(nèi)環(huán)矮完全堅(jiān)在外神環(huán)之冠內(nèi)。若一刪個(gè)面把的外錯(cuò)法矢?jìng)z向外遭，稱姓為正驕向面姓；反智之，京稱為笛反向絨面。清華宴大學(xué)更計(jì)算趴機(jī)科捐學(xué)與續(xù)技術(shù)撤系炎計(jì)輔算機(jī)突圖形肆學(xué)基燒礎(chǔ)面的喝形狀仔可以老是平盒面或激曲面碎。平耐面可密用平干面方原程來(lái)引描述邀，曲馬面可糊用控脂制多監(jiān)邊形逢或型叉值點(diǎn)拐來(lái)描止述，烤也可策用曲秋面方廣程（匙隱式竊、顯矮式或輩參數(shù)或形式股）來(lái)聯(lián)描述匯。對(duì)要于參容數(shù)曲劃面，膊通常劍在其穗二維姿參數(shù)季域上予定義但環(huán)，詢這樣狐就可待由一叮些二脹維的孩有向序邊來(lái)圓表示曾環(huán)，摸集合寒運(yùn)算遵中對(duì)羊面的螺分割監(jiān)也可記在二開維參挎數(shù)域避上進(jìn)劇行。5.體。坊體（Bo滋dy）是液面的堆并集塘。清華效大學(xué)枕計(jì)算乒機(jī)科仆學(xué)與勞技術(shù)歪系菌計(jì)擁算機(jī)者圖形潔學(xué)基講礎(chǔ)3.杜2.涼3.械2邊界掏表示歌的數(shù)券據(jù)結(jié)現(xiàn)構(gòu)翼邊狀數(shù)據(jù)挪結(jié)構(gòu)悼：在19逼72年，罰由美棟國(guó)斯拐坦福祝大學(xué)Ba競(jìng)um坊ga陶rt作為凱多面雀體的次表示例模式疼提出劈燕。它用境指針?biāo)橛涗浕嗣勘K一邊短的兩忍個(gè)鄰瞎面（晶即左悶外環(huán)丈和右驅(qū)外環(huán)膏）、繳兩個(gè)并頂點(diǎn)拘、兩廢側(cè)各木自相永鄰的燭兩個(gè)圣鄰邊汽（即忽左上小邊、本左下窩邊、妨右上爛邊和夾右下仁邊）尋，用糾這一認(rèn)數(shù)據(jù)以結(jié)構(gòu)篩表示巷多面渴體模邪型是黑完備闊的，朗但它奇不能依表示說(shuō)帶有虹精確返曲面墊邊界貧的實(shí)誘體。清華顆大學(xué)施計(jì)算貼機(jī)科壺學(xué)與拉技術(shù)理系茅計(jì)合算機(jī)撥圖形框?qū)W基賞礎(chǔ)清華輝大學(xué)包計(jì)算匠機(jī)科每學(xué)與困技術(shù)離系蠢計(jì)宿算機(jī)添圖形叢學(xué)基添礎(chǔ)輻射頑邊：尤為了范表示繞非正睬則形叢體，19坡86年，We戰(zhàn)il股er提出芽了輻苗射邊盲（Ra噴di面al巨E姑dg素e）數(shù)圣據(jù)結(jié)輝構(gòu)。輻射嘴邊結(jié)巖構(gòu)的徐形體裁模型推由幾危何信左息和丈拓?fù)湟仔畔⒆矁刹孔V分組掀成。幾何迷信息別有面漁（fa餃ce）、百環(huán)（lo避op）、垃邊（ed本ge）和裂點(diǎn)（ve熔rt渡ex）拓?fù)湟研畔㈦S有?？停╩o遵de站l）、穗?yún)^(qū)域翁（re殺gi廈on）、豬外殼暗（sh漠el茂l）、辭面引依用（fa烤ce逼u彼se）、暑環(huán)引孫用（lo趣op勵(lì)u邊se）、壩邊引啊用（ed糖ge潑u竿se）和采點(diǎn)引沫用（ve匯rt血ex飲u竟se）。清華釣大學(xué)憲計(jì)算淡機(jī)科拿學(xué)與毯技術(shù)竟系篩計(jì)厘算機(jī)炒圖形璃學(xué)基松礎(chǔ)點(diǎn)是減三維糠空間配的一逝個(gè)位胡置邊可章以是唉直線梯邊或劍曲線宮邊，開邊的釘端點(diǎn)腹可以輝重合露。環(huán)是授由首逮尾相刻接的掠一些揚(yáng)邊組唯成，那而且水最后罰一條倉(cāng)邊的姥終點(diǎn)媽與第赤一條見邊的西起點(diǎn)梯重合吵；環(huán)疏也可囑以是誤一個(gè)瓣孤立扮點(diǎn)。鉛外殼淹是一澆些點(diǎn)諒、邊烘、環(huán)餐、面患的集排合；外殼舅是一瘦些點(diǎn)騎、邊融、環(huán)撲、面偏的集愛合。區(qū)域苗由一該組外普殼組罷成。模型滔由區(qū)活域組總成。清華輩大學(xué)蠻計(jì)算織機(jī)科娃學(xué)與豆技術(shù)幼系格計(jì)故算機(jī)的圖形放學(xué)基譽(yù)礎(chǔ)清華前大學(xué)爸計(jì)算概機(jī)科膛學(xué)與洗技術(shù)抹系叮計(jì)網(wǎng)算機(jī)艷圖形牽學(xué)基緊礎(chǔ)清華撇大學(xué)爹國(guó)家CA逐D工程所中心度開發(fā)浸的幾致何造裕型系墻統(tǒng)GE即MS矩5.移0中，俘采用沉的數(shù)因據(jù)結(jié)判構(gòu)如漠圖體組特征表示單體(零件)面組面線框環(huán)環(huán)邊邊頂點(diǎn)曲面曲線點(diǎn)實(shí)體幾何數(shù)據(jù)實(shí)體拓?fù)鋽?shù)據(jù)參數(shù)域曲線清華稿大學(xué)手計(jì)算及機(jī)科場(chǎng)學(xué)與士技術(shù)解系虜計(jì)敵算機(jī)駱圖形古學(xué)基追礎(chǔ)該數(shù)湊據(jù)結(jié)拜構(gòu)基血于線團(tuán)框、兔表面墾、實(shí)栽體和繁特征查統(tǒng)一趴表示浸，且瞎具有未以下備特點(diǎn)誰(shuí)：1）采液用自拳頂向限下的好設(shè)計(jì)租思想噴。在襪形體丑的表逢示上擠，遵見循了鴿從大幕到小挺，分漁解表藏示的廈原則還；2）支撞持非時(shí)流形禿形體缸的表忽示；3）實(shí)欣體拓租撲數(shù)督據(jù)與屈幾何財(cái)數(shù)據(jù)矛雙鏈青表連揀接，息存放糠緊湊低；4）能始?jí)蛑匠痔厝照髟焯研汀Ｇ迦A緣瑞大學(xué)漫計(jì)算錦機(jī)科云學(xué)與敏技術(shù)儉系肅計(jì)有算機(jī)約圖形河學(xué)基棉礎(chǔ)3.廳2.蘆3.密3歐拉倦操作對(duì)于邀任意蛋的簡(jiǎn)領(lǐng)單多特面體遭，其種面(f兇)、邊(e儲(chǔ))、頂避點(diǎn)(v肝)的數(shù)長(zhǎng)目滿特足暮歐拉養(yǎng)公式v境-虜e終+綠f主=血2對(duì)于財(cái)任意野的正虛則形廚體，命引入騰形體更的其幕它幾至個(gè)參謊數(shù)：費(fèi)形體烘所有荒面上共的內(nèi)但孔總炭數(shù)(r鏡)、穿劇透形震體的刑孔洞流數(shù)(h結(jié))和形剛體非捎連通含部分美總數(shù)(s費(fèi))，則蔬形體扶滿足責(zé)公式笑：v鑼-水e劫+硬f羊=嗽2(徹s-仗h)私+投r清華恩大學(xué)始計(jì)算誕機(jī)科袍學(xué)與某技術(shù)古系名計(jì)仙算機(jī)然圖形終學(xué)基疏礎(chǔ)修改暫過(guò)程曉中保盜證各鹿幾何待元素越的數(shù)合目保魯持這蝦個(gè)關(guān)強(qiáng)系式孝不變侵，這慶一套臭操作朵就是混歐拉耗操作跑。最為翅常用尚的幾澆種歐體拉操念作有販：(1畢)m浮vs遷f(團(tuán)v,捕f)，生鉤成含炊有一環(huán)個(gè)點(diǎn)至的面躁，并碗且構(gòu)爺成一項(xiàng)個(gè)新詳?shù)捏w轉(zhuǎn)。(2狠)k沾vs悠f，刪額除一折個(gè)體痕，該喊體僅醒含有日一個(gè)壯點(diǎn)的糧面。(3跳)m箱ev鳳(v冒1,正v2役,e閘)，生運(yùn)成一鎮(zhèn)個(gè)新烈的點(diǎn)v2，連左接該地點(diǎn)到屈已有秘的點(diǎn)v1，構(gòu)爽成一燃條新判的邊扇。(4售)k遍ev丹(e降,v努)，刪繳除一芽條邊e和該扎邊的酒一個(gè)疫端點(diǎn)v。(5圍)m昂ef渠(v控1,典v2果,f撫1,律f2鎮(zhèn),e你)，連落接面f1上的承兩個(gè)選點(diǎn)v1、v2，生柜成一亡條新毯的邊e，并通產(chǎn)生憤一個(gè)肆新的園面。清華哄大學(xué)鍛計(jì)算吼機(jī)科春學(xué)與墳技術(shù)晝系符計(jì)維算機(jī)朋圖形禁學(xué)基虹礎(chǔ)(6墳)k灑ef親(e相)，刪癢除一擦條邊e和該甲邊的寫一個(gè)諷鄰面f。(7躺)k忽em弊r(睛e)，刪側(cè)除一督條邊e，生炊成該沖邊某抗一鄰命面上歪的一青新的饒內(nèi)環(huán)阿。(8熱)m隸ek賤r(蔽v1宰,v棚2,壞e)，連霜接兩擾個(gè)點(diǎn)v1、v2，生斗成一漁條新滾的邊e，并肥刪除墻掉v1和v2所在朵面上筆的一歪個(gè)內(nèi)恒環(huán)。(9些)k律fm佛rh汁(f攻1,版f2尊)，刪暮除與疫面f1相接貞觸的旦一個(gè)臥面f2，生艷成面f1上的部一個(gè)縮慧內(nèi)環(huán)粉，并斥形成欣體上堡的一漫個(gè)通占孔。(1遞0)劈燕mf劈燕kr糟h(惜f1勿,f珍2)，刪近除面f1上的捧一個(gè)拍內(nèi)環(huán)弦，生領(lǐng)成一粥個(gè)新潛的面f2，由書此也瓶刪除穿了體順上的怠一個(gè)桃通孔串。清華瞞大學(xué)各計(jì)算冒機(jī)科消學(xué)與同技術(shù)驢系謀計(jì)罪算機(jī)乘圖形預(yù)學(xué)基摧礎(chǔ)為了垃方便兄對(duì)形疑體的蘭修改疤，還現(xiàn)定義絲式了兩齡個(gè)輔攏助的報(bào)操作具：公共建端點(diǎn)撥。(1惠1)將se張mv閥(e隙1,閉v,緒e2爆)，將豪邊e1分割瓜成兩悉段，株生成霸一個(gè)刺新的耐點(diǎn)v和一填條新紙的邊e2。(1奧2)攪je虹kv役(e點(diǎn)1,劉e2府)，合魂并兩鋪條相蝦鄰的擦邊e1、e2，刪泊除它蕉們的茄公共調(diào)端點(diǎn)純。以上對(duì)十種鍛歐拉拾操作密和兩友個(gè)輔爆助操艷作，撲每?jī)缮韨€(gè)一矛組，葡構(gòu)成鳴了六脅組互漿為可津逆的御操作尖。可以幣證明統(tǒng)：歐練拉操?gòu)?fù)作是各有效串的，朽即用份歐拉察操作貨對(duì)形途體操傲作的恩結(jié)果盜在物視理上劃是可饅實(shí)現(xiàn)阿的；途歐拉舒操作邀是完恩備的蹦，即側(cè)任何牢形體管都可擔(dān)用有塘限步撕驟的鮮歐拉想操作岔構(gòu)造旁出來(lái)剃。清華晉大學(xué)之計(jì)算及機(jī)科脾學(xué)與溫技術(shù)紙系催計(jì)繞算機(jī)科圖形網(wǎng)學(xué)基牌礎(chǔ)3.僅2.設(shè)3.肅4集合嗓運(yùn)算正則慎集與賞正則寨集合償運(yùn)算椅算子規(guī)定錫正則最形體懼是三咳維歐之氏空炮間中冶的正尼則集舊合，與因此但可以運(yùn)將正膏則幾純何形牙體描沈述如途下：設(shè)G是三什維歐壯氏空插間中給的一令個(gè)有納界區(qū)型域，委且G＝bG參∪i蠢G，其怎中bG是G的n－1維邊泊界，iG是G的內(nèi)錢部。G的補(bǔ)循空間cG稱為G的外督部，果此時(shí)玩正則榨形體G需滿遵足：1）bG將iG和cG分為那兩個(gè)居互不盲連通峰的子材空間逐；2）bG中的邊任意細(xì)一點(diǎn)診可以餡使iG和bG連通甚；3）bG中任脖一點(diǎn)瓜存在吵切平責(zé)面，曲其法徒矢指質(zhì)向cG子空層間4）bG是二毯維流妹形。清華熟大學(xué)方計(jì)算機(jī)機(jī)科霸學(xué)與仆技術(shù)閣系箏計(jì)四算機(jī)曠圖形懷學(xué)基論礎(chǔ)設(shè)<O島P>是集法合運(yùn)螞算算潛子（歡交、喊并或修差）現(xiàn)，R3中任下意兩威個(gè)正隱則形故體A、B作集姓合運(yùn)盟算：R=打A<O佩P>狐B運(yùn)算體結(jié)果R仍是R3中的薪正則爛形體抄，則擋稱<O環(huán)P>為正裙則集精合算庫(kù)子。正則事并、軌正則暫交、塘正則睜差分鵲別記左為∪沖*，蠶∩*則、-*。分類清華向大學(xué)辰計(jì)算柏機(jī)科怨學(xué)與狂技術(shù)芬系迎計(jì)代算機(jī)改圖形芽學(xué)基疑礎(chǔ)Ti倦lo勺ve對(duì)分賊類問(wèn)施題的初定義濱為：挑設(shè)S為待侍分類站元素抖組成仿的集湖合，G為一甜正則憑集合聚，則S相對(duì)局于G的成渣員分瞞類函艙數(shù)為適：C(父S,符G)竊={強(qiáng)S田in沫G，S撒ou詳t票G，S仙on投G其中幸，S趟in組G客=S劣∩i漲G，S憐ou罰t輩G=么S∩駁cG，S裂on駱G陪=S副∩b氏G，清華粱大學(xué)奸計(jì)算籠機(jī)科借學(xué)與甜技術(shù)初系詳計(jì)裳算機(jī)社圖形故學(xué)基恒礎(chǔ)集合緞運(yùn)算絡(luò)算法包括凳以下路