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文檔簡介
11.2.1三角形的內(nèi)角和----------周嘉淑
在一個直角三角形里住著三個內(nèi)角,平時,它們?nèi)值芊浅F結(jié)。可是有一天,老二突然不高興,發(fā)起脾氣來,它指著老大說:“你憑什么度數(shù)最大,我也要和你一樣大!”“不行??!”老大說:“這是不可能的,否則,我們這個家就再也圍不起來了……”“為什么?”老二很納悶。同學們,你們知道其中的道理嗎?內(nèi)角三兄弟之爭想一想三角形的三個內(nèi)角和是多少?把三個角拼在一起試試看有什么辦法可以驗證呢?三角形的三個內(nèi)角和等于180°
結(jié)論對任意三角形都成立嗎?
想一想問題:有什么方法可以得到180°1.平角的度數(shù)是180°2.兩直線平行,同旁內(nèi)角的和是180°
從剛才拼角的過程你能想出證明的辦法嗎?三角形內(nèi)角和的證明回顧我們小學做過的實驗,你是怎樣操作的?把一個三角形的兩個角剪下拼在第三個角的頂點處,用量角器量出∠BCD的度數(shù),可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。[投影1]
圖1想一想,還可以怎樣拼?①剪下∠A,按圖(2)拼在一起,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
圖2②把和剪下按圖(3)拼在一起,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
如果把上面移動的角在圖上進行轉(zhuǎn)移,由圖1你能想到證明三角形內(nèi)角和等于1800的方法嗎?A證法1:在△ABC的外部,以CA為一邊,CE為另一邊作∠1=∠A,E作BC的延長線CD,則CE∥BA(內(nèi)錯角相等,兩直線平行).∴∠B=∠2(兩直線平行,同位角相等).)1)。。2××又∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定義)∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換)E)。。BCABCD過C作CE∥BA,)E1)。。于是∠A=∠1(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∠B=∠2又∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定義)∴∠A+∠B+∠ACB=180°2××(兩直線平行,同位角相等)?證法2:作BC的延長線CD,圖形相同,畫法不同,證明也不同.證法3:ABC過A作EF∥BA,EF∴∠B=∠BAE(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∠C=∠CAF(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)又∵∠BAE+∠CAF+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°(平角的定義)(等量代換)證法4:ABC過A作AE∥BC,E∴∠B=∠BAE(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代換)
在這里,為了證明的需要,在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線。在平面幾何里,輔助線通常畫成虛線。思路總結(jié)
為了證明三個角的和為1800,轉(zhuǎn)化為一個平角或同旁內(nèi)角互補,這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學中的常用方法.三角形內(nèi)角和定理:三角形的內(nèi)角和等于1800.檢驗一下自己吧!1、
在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,求∠C的度數(shù)。解:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,∠A=80°∴∠B+∠C=100°∵∠B=∠C
∴∠B=∠C=500
2、已知三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1:3:5,求這三個內(nèi)角的度數(shù)。解:設(shè)三個內(nèi)角度數(shù)分別為:x、3x、5x列出方程x+3x+5x=180°x=20°答:三個內(nèi)角度數(shù)分別為20°,60°,100°。3.已知:在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC邊上的高。求∠DBC的度數(shù)。
解:設(shè)∠A=x°,則∠C=∠ABC=2X0∴x+2x+2x=180
解得:x=360在△BDC中,
∵∠BDC=90°
∴∠DBC=180°-∠BDC-∠C
=180°-90°-72°
=180∴∠C=72°例題精講如圖,C島在A島的北偏東50°方向,B島在A島的北偏東80°方向,C島在B島的北偏西的40°方向。從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度?北北DEAB解:∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°由AD∥BE,可得∠BAD+∠ABE=180°所以∠ABE=
180°-∠BAD=180°-80°=100°∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°在△ABC中,∠ACB=180°-∠A
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