2021屆廣東省高三二模數(shù)學(xué)試題(解析版)

2021屆廣東省高三二模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由單調(diào)遞增，解出指數(shù)不等式的解集得集合A，因，結(jié)合數(shù)軸可求得的取值范圍.【詳解】解：，，又，結(jié)合數(shù)軸可得，所以的取值范圍為.故選：D.2．已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算整理得到，由模長運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】，.故選：B.3．年月日是第七個(gè)“國家憲法日”.某中學(xué)開展主題為“學(xué)習(xí)憲法知識(shí)，弘揚(yáng)憲法精神”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，甲同學(xué)答對(duì)第一道題的概率為，連續(xù)答對(duì)兩道題的概率為.用事件表示“甲同學(xué)答對(duì)第一道題”，事件表示“甲同學(xué)答對(duì)第二道題”，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件概率公式直接計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】，，.故選：D.4．某一次乒乓球賽的參賽隊(duì)共有小組，每小組隊(duì).首先每小組中各隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽(即每兩隊(duì)比賽一次)，然后各小組的第一名再進(jìn)行單循環(huán)比賽，則先后比賽的總次數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用組合數(shù)首先求出每小組中各隊(duì)進(jìn)行比賽次數(shù)，再求出各小組的第一名單循環(huán)比賽次數(shù)即可求解.【詳解】由題意每小組中各隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽次數(shù)為，各小組的第一名再進(jìn)行單循環(huán)比賽次數(shù)為，先后比賽的總次數(shù)為.故選：C5．函數(shù)的大致圖象為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】選將函數(shù)表達(dá)式分離后運(yùn)用基本不等式求出值域就可以選出答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，（等號(hào)成立）；當(dāng)時(shí)，（等號(hào)成立）；從而可知選項(xiàng)D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.6．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著，書中有這樣一道題：“今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.問何日相逢？”題意為：有一堵墻厚五尺，有兩只老鼠從墻的正對(duì)面打洞穿墻.大老鼠第一天打進(jìn)一尺，以后每天打進(jìn)的長度是前一天的倍；小老鼠第一天也打進(jìn)一尺，以后每天打進(jìn)的長度是前一天的一半.若這一堵墻厚尺，則幾日后兩鼠相逢()A． B． C． D．【答案】B【分析】依次列舉出大鼠、小鼠前幾天打洞穿墻的尺數(shù)，至某天總和不小于16尺即得解.【詳解】大鼠從第一天起打進(jìn)尺數(shù)依次為：1，2，4，8，…，小鼠從第一天起打進(jìn)尺數(shù)依次為：1，，，，…，前3天兩鼠完成量的總和為，前4天兩鼠完成量的總和為，所以第4天兩鼠相逢.故選：B7．已知一個(gè)圓柱的兩個(gè)底面的圓周在半徑為的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱體積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓柱底面圓半徑為，高為，利用勾股定理可構(gòu)造方程，利用表示出，從而將圓柱體積表示為關(guān)于的函數(shù)的形式，利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法即可求得圓柱體積的最大值.【詳解】設(shè)圓柱底面圓半徑為，高為，則，，，圓柱體積，，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在時(shí)單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中幾何體體積最值的求解問題，解題關(guān)鍵是能將圓柱體積表示為關(guān)于圓柱的高的函數(shù)的形式，從而利用導(dǎo)數(shù)求得最值.8．已知橢圓的短軸長為，焦距為.過橢圓的上端點(diǎn)作圓的兩條切線，與橢圓分別交于另外兩點(diǎn)，.則的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的短軸長為，焦距為，求得橢圓方程，再設(shè)直線BN的方程，利用直線與圓相切，求得直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得M，N的坐標(biāo)即可.【詳解】因?yàn)闄E圓的短軸長為，焦距為，，所以橢圓方程為，如圖所示：設(shè)直線BN的方程為，則原點(diǎn)到直線BN的距離為，又因?yàn)橹本€BN與圓相切，所以，解得，則直線BN的方程為，由，解得，即，同理求得，所以的面積為，故選：B二、多選題9．正方體的棱長為，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（）A．直線與直線垂直B．平面截正方體所得的截面面積為C．三棱錐的體積為D．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等【答案】BD【分析】A.建立空間直角坐標(biāo)系，由是否為零判斷；B.根據(jù)，由平面的基本性質(zhì)得到截面是等腰梯形求解判斷；C.由求解判斷；D.根據(jù)平面，即平面判斷.【詳解】如圖所示：A.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，而，所以直線與直線不垂直，故錯(cuò)誤；B.如圖所示：因?yàn)椋越孛鏋榈妊菪危越孛婷娣e為,故正確；C.，故錯(cuò)誤；D.因?yàn)椋矫?，即平?所以點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，故正確；故選：BD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個(gè)公共點(diǎn)即可確定，作圖時(shí)充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快地確定交線的位置．10．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)的圖象.若在上的值域?yàn)?，則（）A．在上有兩個(gè)零點(diǎn)B．在上有兩個(gè)極值點(diǎn)C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．的取值范圍為【答案】CD【分析】先由圖象的平移和伸縮變換得到函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像，單調(diào)性，值域逐一判斷可得選項(xiàng)．【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，函數(shù)的解析式為，再將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)，又，所以，又在上的值域?yàn)?，所以，解得，故D正確；當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，故A不正確；并且時(shí)，單調(diào)遞增，故B不正確；，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確.故選：CD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的圖像變換和正弦函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵在于由的范圍．運(yùn)用整體代換的思想，得以解決問題．11．已知，，，則（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用將化為關(guān)于的二次函數(shù)形式，結(jié)合的范圍可求得A正確；由，利用基本不等式可知B正確；由可知C錯(cuò)誤；利用基本不等式可求得，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可求得D正確.【詳解】對(duì)于A，，，，，解得：，，當(dāng)時(shí)，，，A正確；對(duì)于B，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，，，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查了利用基本不等式和函數(shù)單調(diào)性求最值的問題；利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：一正二定三相等.（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.12．函數(shù)的定義域?yàn)椋遗c都為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．是周期為的周期函數(shù) B．是周期為的周期函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】BD【分析】AB選項(xiàng)，利用周期函數(shù)的定義判斷；CD選項(xiàng)，利用周期性結(jié)合，為奇函數(shù)判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且與都為奇函數(shù)，所以，，所以，，所以，即，故B正確A錯(cuò)誤；因?yàn)?，且為奇函?shù)，所以為奇函數(shù)，故D正確；因?yàn)榕c相差1，不是最小周期的整數(shù)倍，且為奇函數(shù)，所以不為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤.故選：BD.三、填空題13．曲線在處的切線在軸上的截距為___________.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得曲線在處的切線方程，進(jìn)而求得切線在軸上的截距.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，所以，由當(dāng)時(shí)，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線方程為，即，令，可得，即切線在軸上的截距為.故答案為：.14．已知為第二象限角，且，則___________.【答案】【分析】根據(jù)的范圍可求得的范圍，結(jié)合可確定為第二象限角，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求得，利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式可求得，由同角三角函數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】為第二象限角，，，又，，，，，又為第二象限角，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：已知三角函數(shù)值求解函數(shù)值時(shí)，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略角所處的范圍，造成在求解三角函數(shù)值時(shí)出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤.15．已知中，，，，點(diǎn)在直線上，且滿足：，則___________.【答案】【分析】設(shè)，得，由余弦定理解得，再利用向量線性運(yùn)算得，則展開即可得結(jié)果．【詳解】設(shè)，所以故，則由余弦定理的，又，所以，則由故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵先求解，得，然后再由向量模計(jì)算方法運(yùn)算．四、雙空題16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，分別過，兩點(diǎn)作拋物線的切線，，設(shè)直線與交于點(diǎn)，則___________，面積的最小值為___________.【答案】;【分析】設(shè)，，先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得兩切線方程，然后聯(lián)立兩切線方程可求得交點(diǎn)坐標(biāo).因?yàn)?，所以將弦長和點(diǎn)P到直線AB的距離帶入即可求得面積的最小值.【詳解】解：拋物線方程為，拋物線的焦點(diǎn)由題意，直線AB的斜率存在，設(shè)，，，聯(lián)立，得，，，由，得，求導(dǎo)得，，即①同理②由①②得，.點(diǎn)P到直線AB的距離，，易知，即時(shí)，，故面積的最小值為4.故答案為：；4.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義求出兩切線方程，然后聯(lián)立求解交點(diǎn)坐標(biāo)；設(shè)出直線AB方程，并聯(lián)立拋物線方程，由弦長公式可得，由點(diǎn)到直線距離公式可得點(diǎn)P到直線AB的距離，從而求得，進(jìn)而易得面積的最小值.五、解答題17．已知的內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為，，，且，，___________，求的周長.從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題的橫線中，然后對(duì)題目進(jìn)行求解.條件①：；條件②：，條件③：.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】條件選擇見解析；的周長為.【分析】由題設(shè)條件，求出角C，選條件①：由向量數(shù)量積求出角A，由正弦定理求解即得；選條件②：由三角形面積公式求出邊b，再由余弦定理求解即得；選條件③：由正弦定理邊化角，再用余弦定理求解.【詳解】由，得，即，所以，因?yàn)椋?選擇條件①：由，得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，，所以的周長為；選擇條件②：由，得，所以，由余弦定理，得，所以，即，解得，所以的周長為；選擇條件③：由及正弦定理得：，所以，所以，即，由余弦定理，得，所以，所以，，所以的周長為.18．已知數(shù)列滿足，，.（1）證明：為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可求解.（2）由（1）求得，得到，根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，求得，結(jié)合“乘公比錯(cuò)位相減法”，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，又由，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，可得又由，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，即，所以，所以，兩式相減，可得，所以.【點(diǎn)睛】錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前項(xiàng)和的分法：（1）適用條件：若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，求解數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）注意事項(xiàng)：①在寫出和的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出；②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào)；③作差后，作差部分應(yīng)用為的等比數(shù)列求和.19．如圖，是半圓的直徑，是半圓上異于的一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，滿足，且，，，.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由圓的性質(zhì)和勾股定理可證得，，由此可得平面，由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）以為原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）是半圓的直徑，是半圓上異于的一點(diǎn)，.，，，.，，，，，.，平面，平面，又平面，.（2）以為原點(diǎn)，，所在直線分別為軸?軸，過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得：，，；設(shè)平面的法向量為，得，令，得：，，；，結(jié)合圖可知，二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間向量法求解二面角的基本步驟是：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示出所需的點(diǎn)和向量；（2）分別求得二面角的兩個(gè)半平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式求得法向量的夾角；（3）根據(jù)圖形或法向量的方向確定所求角為二面角的大小或二面角補(bǔ)角的大小.20．已知雙曲線的離心率為，過雙曲線的右焦點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，且(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，是雙曲線上的兩點(diǎn)，且，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是雙曲線上異于，的點(diǎn).若直線和直線的斜率均存在，則是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）是定值，定值為.【分析】（1）先求得點(diǎn)到漸近線的距離，再根據(jù)(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為，求得a，b的關(guān)系，再結(jié)合離心率求解；（2）設(shè)，，得到，由兩式相減，計(jì)算即可.【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為，即，所以點(diǎn)到漸近線的距離為.所以的面積為即.因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即.代人，解得，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）是定值，理由如下：設(shè)，，則，，所以兩式相減并整理得所以.所以是定值，且該定值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．21．城市大氣中總懸浮顆粒物(簡(jiǎn)稱TSP)是影響城市空氣質(zhì)量的首要污染物，我國的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定，TSP日平均濃度(單位：)在時(shí)為一級(jí)水平，在時(shí)為二級(jí)水平.為打贏藍(lán)天保衛(wèi)戰(zhàn)，有效管控和治理那些會(huì)加重TSP日平均濃度的揚(yáng)塵污染刻不容緩.揚(yáng)塵監(jiān)測(cè)儀與智能霧化噴淋降塵系統(tǒng)為城市建筑工地的有效抑塵提供了技術(shù)支持.某建筑工地現(xiàn)新配置了智能霧化噴淋降塵系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了依據(jù)揚(yáng)塵監(jiān)測(cè)儀的TSP日平均濃度進(jìn)行自動(dòng)霧化噴淋，其噴霧頭的智能啟用對(duì)應(yīng)如下表：TSP日平均濃度噴霧頭個(gè)數(shù)個(gè)根據(jù)以往揚(yáng)塵監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)可知，該工地施工期間TSP日平均濃度不高于，，，的概率分別為，，，.（1）若單個(gè)噴霧頭能實(shí)現(xiàn)有效降塵，求施工期間工地能平均有效降塵的立方米數(shù).（2）若實(shí)現(xiàn)智能霧化噴淋降塵之后，該工地施工期間TSP日平均濃度不高于，，，的概率均相應(yīng)提升了，求：①該工地在未來天中至少有天TSP日平均濃度能達(dá)到一級(jí)水平的概率；(，結(jié)果精確到)②設(shè)單個(gè)噴霧頭出水量一樣，如果TSP日平均濃度達(dá)到一級(jí)水平時(shí)，無需實(shí)施霧化噴淋，二級(jí)及以上水平時(shí)啟用所有噴霧頭個(gè)，這樣設(shè)置能否實(shí)現(xiàn)節(jié)水節(jié)能的目的？說明理由.【答案】（1）；（2）①；②無法達(dá)到節(jié)水節(jié)能的目的，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)條件求出每個(gè)TSP段對(duì)應(yīng)的概率，列出設(shè)置噴頭個(gè)數(shù)的分布列，求出設(shè)置噴頭數(shù)的均值，從而計(jì)算出有效除塵體積.

（2）①根據(jù)（1）中的概率，求得TSP日平均濃度達(dá)到一級(jí)水平的概率，未來10天的日平均濃度概率情況滿足二項(xiàng)分布，從而求得概率.

②計(jì)算出此時(shí)啟用噴頭數(shù)的期望值，與前面只能啟動(dòng)的期望值比較，若更大，則不能實(shí)現(xiàn)節(jié)水節(jié)能，更小則可以.【詳解】解：（1）由已知條件和互斥事件的概率加法公式有，，，，.則智能設(shè)置噴霧頭個(gè)數(shù)的分布列為：則(個(gè))所以施工期間工地能平均有效降塵的立方米數(shù)為（2）①由已知，該工地智能霧化噴淋降塵之后，TSP日平均濃度達(dá)到一級(jí)水平的概率為，設(shè)未來天中TSP日平均