高考數(shù)學二輪復習微點2 阿波羅尼斯圓的逆用 （解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages33頁試卷第=page33頁，共=sectionpages33頁專題1阿波羅尼斯圓及其應用微點2阿波羅尼斯圓的逆用專題1阿波羅尼斯圓及其應用微點2阿波羅尼斯圓的逆用【微點綜述】當題目給了阿氏圓和一個定點，我們可以通過下述方法快速找到另一個定點，便于計算，令圓O與直線OA相交于M，N兩點設點E為OA上一點，且滿足，由阿氏圓定理，，則，∴①同理，∴②由①②消OA得：，即，即，由①②消R得：，因此，滿足條件的點E在阿氏圓的圓心和定點A的連線上，且或．【典例刨析】例1．（2022·湖南·臨澧一中高二開學考試）1．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，他對圓錐曲線有深刻系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為λ(λ＞0，λ≠1)，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．下面我們來研究與此相關的一個問題，已知圓O：x2＋y2＝1上的動點M和定點A，B(1，1)，則2|MA|＋|MB|的最小值為（

）A． B．C． D．2．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，圓、點和點，M為圓O上的動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯（約前262—前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，圓上有且僅有一個點P滿足，則r的取值為（

）A．1 B．5 C．1或5 D．不存在4．已知點P是圓上的動點，，O為坐標原點，則的最小值為______．5．已知圓C：，定點P是圓C上的動點，，O是坐標原點，則的最小值為______．例6．（2022江西·南昌八中高二月考）6．古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯（約公元首262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)(且)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．已知，，圓上有且僅有一個點滿足，則的取值為_______.【針對訓練】7．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得?阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知動點與兩定點的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點為軸上一點，定點的坐標為，若點，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩個定點A?B的距離之比為λ(λ>0，λ≠1)，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若已知圓O：x2+y2=1和點，點B(4，2)，M為圓O上的動點，則2|MA|+|MB|的最小值為___________（2022安徽·合肥六中高二期中）9．古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯約公元前262~公元前190年的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知圓和，點，為圓上動點，則的最小值為_______.（2022上海金山中學高二期末）10．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點A、B，動點P滿足（其中是正常數(shù)，且），則P的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現(xiàn)已知兩定點，P是圓上的動點，則的最小值為____________11．阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．若平面內(nèi)兩定點、間的距離為，動點滿足，求的最小值．（2022·江蘇省江陰高級中學高三開學考試）12．希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，，點是滿足的阿氏圓上的任一點，則該阿氏圓的方程為___________________；若點為拋物線上的動點，在軸上的射影為，則的最小值為______.答案第=page1010頁，共=sectionpages1010頁答案第=page99頁，共=sectionpages1010頁參考答案：1．C【分析】討論點M在x軸上與不在x軸上兩種情況，若點M不在x軸上，構造點K(－2，0)，可以根據(jù)三角形的相似性得到，進而得到2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|，最后根據(jù)三點共線求出答案.【詳解】①當點M在x軸上時，點M的坐標為(－1，0)或(1，0)．若點M的坐標為(－1，0)，則2|MA|＋|MB|＝2×＋；若點M的坐標為(1，0)，則2|MA|＋|MB|＝2×＋．②當點M不在x軸上時，取點K(－2，0)，如圖，連接OM，MK，因為|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，所以．因為∠MOK＝∠AOM，所以△MOK∽△AOM，則，所以|MK|＝2|MA|，則2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．易知|MB|＋|MK|≥|BK|，所以|MB|＋|MK|的最小值為|BK|．因為B(1，1)，K(－2，0)，所以(2|MA|＋|MB|)min＝|BK|＝．又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值為．故選：C2．B【分析】令，則，由阿氏圓的定義可知：，由數(shù)形結合可知的最大值.【詳解】設，令，則，由題知圓是關于點A、C的阿波羅尼斯圓，且，設點，則，整理得：，比較兩方程可得：，，，即，，點，當點M位于圖中的位置時，的值最大，最大為.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查直線和圓的位置關系，圓上動點問題，解題的關鍵是通過數(shù)形結合知兩線段距離差的最值是在兩端點為起點的的射線上，屬于一般題.3．C【分析】直接設點P，根據(jù)可以求得點P的軌跡為圓，根據(jù)題意兩圓有且僅有一個公共點，則兩圓外切或內(nèi)切，可得或．【詳解】設點P∵即整理得：∴點P的軌跡為以為圓心，半徑的圓，∵圓的為圓心，半徑的圓由題意可得：或∴或故選：C．4．10【分析】解法1：借助阿波羅尼斯圓的逆用，得到，進而根據(jù)三點共線即可求出最值；解法2：將轉(zhuǎn)化為，進而結合進而根據(jù)三點共線即可求出最值．【詳解】解法1：阿波羅尼斯圓的逆用假設，使得，則，從而可得，從而可知圓心坐標為，所以，，解得，即．所以．即的最小值為10．解法2：代數(shù)轉(zhuǎn)逆法由，得．表示的是動點與和之間的距離之和，當且僅當三點共線時，和最小，故．5．【分析】解法1：阿波羅尼斯圓的逆用，設，使得，利用兩點間的距離公式化簡可求得，得直線與圓C相交，則，從而可求得其最小值，解法2：代數(shù)轉(zhuǎn)逆法，，可得當點共線，且在之間時取得最小值.【詳解】解：解法1：阿波羅尼斯圓的逆用設，使得，則，整理，得，即所以，，從而．經(jīng)驗證，知直線與圓C相交．從而．所以的最小值為．解法2：代數(shù)轉(zhuǎn)逆法．所以的最小值為．故答案為：【點睛】關鍵點點睛：此題考查點與圓的位置關系，考查阿波羅尼斯圓的逆用，解題的關鍵是根據(jù)阿波羅尼斯圓，設，使得，化簡后將問題轉(zhuǎn)化為，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.6．【分析】設動點，根據(jù)題意求出點的軌跡方程可知軌跡為圓，由題意可知兩圓相外切，再討論內(nèi)切和外切列方程即可得求解.【詳解】設動點，由，得，整理得，即點的軌跡方程為：，又因為圓上有且僅有一個點滿足，所以兩圓相切，圓的圓心坐標為，半徑為2，圓C：的圓心坐標為，半徑為，兩圓的圓心距為3，當兩圓外切時，，得，因為，故舍去，當兩圓內(nèi)切時，，，得．故答案為：.7．D【分析】設，，根據(jù)和求出a的值，由，兩點之間直線最短，可得的最小值為，根據(jù)坐標求出即可.【詳解】設，，所以，由，所以，因為且，所以，整理可得，又動點M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因為，所以的最小值，當M在位置或時等號成立.故選：D8．【分析】設M(x，y)，令2|MA|=|MC|，根據(jù)圓x2+y2=1是關于點A?C的阿波羅尼斯圓，且，求得點C坐標，再連接BC，由直線段最短求解.整理得：【詳解】設M(x，y)，令2|MA|=|MC|，則，由題知圓x2+y2=1是關于點A?C的阿波羅尼斯圓，且，設點C(m，n)，則，整理得：，比較兩方程可得：，，，即m=-2，n=0，所以點C(-2，0)，如圖所示：當點M位于圖中M1?M2的位置時，2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|的值最小，最小為.故答案為：9．【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓的性質(zhì)，結合兩點間線段最短進行求解即可.【詳解】令，則.由題意可得圓是關于點A，C的阿波羅尼斯圓，且設點C坐標為，則整理得由題意得該圓的方程為，所以，解得所以點C的坐標為，所以，因此當點M、C、B在同一條直線上時，的值最小，且為，故最小為.故答案為：10．【分析】在軸上取，由可得，可得，利用兩點間距離公式可求得結果.【詳解】如圖，在軸上取點，，，，，（當且僅當為與圓交點時取等號），.故答案為：.11．【分析】以經(jīng)過、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系，設點，根據(jù)已知條件可得出點的軌跡方程，