第講立體幾何中的向量方法一-證明平行與垂直

考點(diǎn)突破夯基釋疑考點(diǎn)一考點(diǎn)三考點(diǎn)二例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3第6講立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直概要課堂小結(jié)判斷正誤(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?

(1)直線的方向向量是唯一確定的．()(2)平面的單位法向量是唯一確定的．()(3)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行．()(4)若空間向量a平行于平面α，則a所在直線與平面α平行．()夯基釋疑考點(diǎn)突破證明

∵平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD為正方形，∴AB，AP，AD兩兩垂直．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如右圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，G(1，2，0)．考點(diǎn)一利用空間向量證明平行問題【例1】如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn)．求證：PB∥平面EFG.xyz考點(diǎn)突破設(shè)平面EFG的法向量為n＝(x，y，z)，考點(diǎn)一利用空間向量證明平行問題【例1】如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn)．求證：PB∥平面EFG.xyz令z＝1，則n＝(1，0，1)為平面EFG的一個法向量，∵PB?面EFG，∴PB∥平面EFG.考點(diǎn)突破即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，考點(diǎn)一利用空間向量證明平行問題【例1】如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn)．求證：PB∥平面EFG.xyz∵PB?平面EFG，∴PB∥平面EFG.考點(diǎn)突破規(guī)律方法

(1)恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵．(2)證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可．這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算．考點(diǎn)一利用空間向量證明平行問題考點(diǎn)突破證明

如圖，連接OP，∵PA＝PC，O是AC的中點(diǎn)，∴PO⊥AC，又∵面PAC⊥面ABC，∴PO⊥面ABC，∵△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，∴BO⊥AC．所以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則O(0，0，0)，A(0，－8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，－4，3)，F(xiàn)(4，0，3)．由題意，得G(0，4，0)．考點(diǎn)一利用空間向量證明平行問題【訓(xùn)練1】如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC＝16，PA＝PC＝10.設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG∥平面BOE；xyz考點(diǎn)突破設(shè)n＝(x，y，z)為面BOE的法向量，考點(diǎn)一利用空間向量證明平行問題【訓(xùn)練1】如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC＝16，PA＝PC＝10.設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG∥平面BOE；xyz令z＝4，得y＝3.所以平面BOE的一個法向量n＝(0，3，4)．又直線FG不在平面BOE內(nèi)，所以FG∥平面BOE.考點(diǎn)突破考點(diǎn)二利用空間向量證明垂直問題【例2】(2015·濟(jì)南質(zhì)檢)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn),PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上．已知BC＝8,PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM＝3.試證明平面AMC⊥平面BMC．證明(1)如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線OP為z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.則O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)．xyz考點(diǎn)突破考點(diǎn)二利用空間向量證明垂直問題【例2】(2015·濟(jì)南質(zhì)檢)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn),PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上．已知BC＝8,PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM＝3.試證明平面AMC⊥平面BMC．(2)由(1)知|AP|＝5，又|AM|＝3，且點(diǎn)M在線段AP上，xyz又根據(jù)(1)的結(jié)論知AP⊥BC，∴AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC．又AM?平面AMC，故平面AMC⊥平面BCM.M考點(diǎn)突破規(guī)律方法

(1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算．其中靈活建系是解題的關(guān)鍵．(2)其一證明線線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個向量垂直即可．當(dāng)然也可證直線的方向向量與平面法向量平行．其三證明面面垂直：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可．考點(diǎn)二利用空間向量證明垂直問題考點(diǎn)突破證明

由題設(shè)易知OA，OB，OA1兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．考點(diǎn)二利用空間向量證明垂直問題∴OA＝OB＝OA1＝1，∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)，A1(0，0，1)．∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，又BD∩BB1＝B，∴A1C⊥平面BB1D1D．xyz考點(diǎn)突破(1)證明如圖，以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD＝a，則D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，考點(diǎn)三利用空間向量解決探索性問題【例3】在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥CD；(2)在平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB．若存在，求出點(diǎn)G坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．考點(diǎn)突破(2)解假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)G，設(shè)G(x，0，z)，考點(diǎn)三利用空間向量解決探索性問題【例3】在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥CD；(2)在平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB．若存在，求出點(diǎn)G坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．若使GF⊥平面PCB，得z＝0.即存在滿足條件的點(diǎn)G，且點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)．考點(diǎn)突破規(guī)律方法

對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想，找出點(diǎn)或線的位置，然后再加以證明，得出結(jié)論；(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在，并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件，根據(jù)題目進(jìn)行求解，若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點(diǎn)或線，否則不存在．本題是設(shè)出點(diǎn)G的坐標(biāo)，借助向量運(yùn)算，判定關(guān)于P點(diǎn)的方程是否有解．考點(diǎn)三利用空間向量解決探索性問題∴PA2＋AD2＝PD2，即PA⊥AD．又PA⊥CD，AD∩CD＝D，∴PA⊥平面AB壟CD．xyz(2犧)解以A為原徹點(diǎn)，AB，AD，AP所在面直線方為x軸，y軸，z軸建榴立空捷間直老角坐誤標(biāo)系怕．則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，考點(diǎn)調(diào)突破考點(diǎn)勉三利用顆空間描向量蓬解決譜探索倘性問禍題設(shè)平縮慧面AE折C的法闖向量藝為n＝(x，y，z)，xyz令y＝1，則n＝(－1，1，－2)．∴存在潤點(diǎn)F，使莫得BF∥平面AE貍C，且F為PC的中涼點(diǎn).考點(diǎn)寸突破考點(diǎn)裕三利用氣空間狀向量綿解決宜探索離性問見題1．用馳向量窩法解沿決立符體幾麻何問旱題，籮是空只間向被量的朱一個踩具體根應(yīng)用慶，體樹現(xiàn)了湯向量研的工哪具性扇，這科種方催法可鋼把復(fù)奏雜的志推理新證明隊(duì)、輔扭助線匹的作爪法轉(zhuǎn)典化為沉空間態(tài)向量臨的運(yùn)廟算，膜降低糞了空鴉間想茫象演蘿繹推斯理的境難度牛，體牢現(xiàn)了曾由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)隱化思艙想．思想退方法課堂云小結(jié)2．用擱向量鑼知識武證明吩立體員幾何蜜問題昏有兩鋤種基車本思憑路：撞一種蒜是用娛向量騰表示靈幾何糖量，芒利用皂向量娘的運(yùn)絕算進(jìn)鳳行判仿斷；分另一沾種是脾用向過量的選坐標(biāo)丑表示濕幾何撤量，頭共分放三步汪：(1暗)建立街立體覆圖形仔與空據(jù)間向努量的閃聯(lián)系勢，用云空間選向量(或坐問標(biāo))表示彈問題吵中所孔涉及老的點(diǎn)煤、線們、面國，把踩立體勻幾何涉問題德轉(zhuǎn)化濟(jì)為向墊量問撓題；(2擠)通過穗向量伯運(yùn)算襲，研爛究點(diǎn)軟、線寶、面繩之間靜的位扔置關(guān)忌系；(3冬)根據(jù)疫運(yùn)算突結(jié)果器的幾徒何意睛義來紡解釋羨相關(guān)嘆問題遮．1．用復(fù)向量禮知識消證明濤立體禾幾何凱問題紐奉，仍用然離丹不開洽立體妥幾何獅中的艦定理抹．如僻要證兔明線陜面平醋行，宮只需俘要證局明平唱面外卡的一膚條直咐線和譜平面緩內(nèi)的闊一條搶直線荷平行矮，即肌化歸喂為證逃明線通線平樣行，飾用向元量方旨法證甩