第三章MALAB數(shù)值計算

MATLAB的數(shù)值運算制作:陳學(xué)明創(chuàng)建矩陣的規(guī)則矩陣元素必須用[]括住矩陣元素必須用逗號或空格分隔在[]內(nèi)矩陣的行與行之間必須用分號分隔當(dāng)一個指令或矩陣太長時，可用???續(xù)行例：y=[2,4,5; 368]

矩陣元素矩陣元素可以是任何matlab表達(dá)式，可以是實數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)可用特殊函數(shù)i，j輸入。大的矩陣可以用分行輸入，回車鍵代表分號。a=[123;456]x=[2pi/2;sqrt(3)3+5i]用matlab函數(shù)創(chuàng)建矩陣空陣[]—matlab允許輸入空陣，當(dāng)一項操作無結(jié)果時，返回空陣。rand——隨機矩陣eye——單位矩陣zeros——全部元素都為0的矩陣ones——全部元素都為1的矩陣diag——產(chǎn)生對角矩陣矩陣下標(biāo)與子矩陣提取A(m,n) 提取第m行，第n列元素A(:,n) 提取第n列元素A(m,:) 提取第m行元素A(m1:m2,n1:n2) 提取第m1行到第m2行和第n1列到第n2 列的所有元素A(m:end,n) 提取從第m行到最末行和第n列的子塊A(:) 得到一個長列矢量，該矢量的元素按矩 陣的列進(jìn)行排列例：假如A是一個已知10*10的方陣,那么:（1）A(:,3) （2）A(5,:) （3）A(1:5,3)（4）A(1:5,7:10) （5）A([135],[246])（6）A(:,7:-1:3) （7）A(:,[24])=[]

（1）是A的第3列元素構(gòu)成的列向量;（2）是A的第5行元素構(gòu)成的行向量;（3）是A的前5行的第3列元素構(gòu)成的列向量;（4）是A的前5行,第7到第10列元素構(gòu)成的子矩陣;（5）A第1、3、5行,第2、4、6列元素構(gòu)成的子矩陣;（6）A的第7、6、5、4、3列元素構(gòu)成的子矩陣.（7）把A的第2、4列刪除,形成A的一個子矩陣.矩陣的修改(1)直接修改 可用↑鍵找到所要修改的矩陣，用←鍵移動到要修改的矩陣元素上即可修改。(2)指令修改 可以用A(﹡,﹡)=﹡來修改。(3)由矩陣編輯器修改 由Matlab提供工具欄按鈕來查看工作區(qū)變量，單擊變量，可以打開或刪除變量例：修改矩陣A中元素的數(shù)值>>A=[1234;5678;9101112;13141516];>>A(1,1)=0;A(2,2)=A(1,2)+A(2,1);A(4,4)=cos(0);則矩陣變?yōu)椋?/p>

A=0234577891011121314151數(shù)據(jù)的保存把Matlab工作空間中一些有用的數(shù)據(jù)長久保存下來的方法是生成mat數(shù)據(jù)文件。save——將工作空間中所有的變量存到Matlab.mat文件中savedata——將工作空間中所有的變量存到data.mat文件中。savedataab——將工作空間中a和b變量存到data.mat文件中。數(shù)據(jù)的獲取運行Matlab時即可用load指令調(diào)用已生成的mat文件。load——loaddata——loaddataab——矩陣加、減（＋,－）運算規(guī)則： 相加、減的兩矩陣必須有相同的行和列兩矩陣對應(yīng)元素相加減。 允許參與運算的兩矩陣之一是標(biāo)量。標(biāo)量與矩陣的所有元素分別進(jìn)行加減操作。矩陣乘（）運算規(guī)則： A矩陣的列數(shù)必須等于B矩陣的行數(shù) 標(biāo)量可與任何矩陣相乘。例：a=[123;456;780];b=[1;2;3];c=a*b c=14 32 23注：一個n行m列的矩陣可以乘以一個m行p列的矩陣，得到的結(jié)果是一個n行p列的矩陣，其中的第i行第j列位置上的數(shù)等于前一個矩陣第i行上的m個數(shù)與后一個矩陣第j列上的m個數(shù)對應(yīng)相乘后所有m個乘積的和。矩陣除（\,/）運算矩陣除的運算在線性代數(shù)中沒有，有矩陣逆的運算，在Matlab中有兩種矩陣除運算: \（左除）/（右除） A\B為方程AX＝B的解B/A為方程XA＝B的解 A\B=inv(A)*B B/A=B*inv(A) B/A=(A’\B’)’矩陣的一些特殊操作矩陣的變維 a=[1:12],b=reshape(a,3,4)%b為3行4列 c=zeros(3,4);c(:)=a(:)矩陣的變向 rot90:旋轉(zhuǎn)(逆時針）; fliplr:左右翻;flipud:上下翻矩陣的抽取 diag:抽取主對角線;tril:抽取主下三角; triu:抽取主上三角例：a=[123;456;789], b=rot90(a),c=flipud(a),d=fliplr(a) a=123 456 789b=369 258 c=789 456 123 d=321 654 987矩陣巧的乘砌方a煮^汁p牌——奧a自乘p次冪方陣>1的整數(shù)對于p的其惕它值,計算成將涉套及特念征值屈和特給征向貿(mào)量，梢如果p是矩米陣，a是標(biāo)添量，歪則a^旋p使用災(zāi)特征離值和腐特征延向量紋自乘齡到p次冪嬸；如a,煉p都是麻矩陣?yán)?，a^慎p則無因意義潤。當(dāng)一果個方量陣有射復(fù)數(shù)女特征行值或氧負(fù)實彈特征架值時雨，非須整數(shù)誤冪是知復(fù)數(shù)幅陣特殊議的應(yīng)闖用矩流陣約當(dāng)朋陣－燈－將馬狀態(tài)竭空間流模型游轉(zhuǎn)換持為約秀當(dāng)標(biāo)威準(zhǔn)形驅(qū)形式長：jo形rd熊an盜(a)得到羅矩陣a的約席當(dāng)標(biāo)園準(zhǔn)形[V統(tǒng),J仰]=jo眾rd存an非(a)J為約悄當(dāng)標(biāo)伶準(zhǔn)形戚，V為相舞似變饒換陣渴，滿木足V\景a*異V=解J.例：a=臘[1朵,2咸;3爐,4指];率J=jo史rd壩an撲(a琴),返[V肥,J濃J]=jo譜rd龜an桐(a)J詞=宇5情.3倒72鎮(zhèn)3勻00圈-頌0.懇37搭23V開=咐0廉.2擁38陽9幸0誕.7顆61付10.朽52逝22辣-焰0.扒52啞22JJ敬=詞5.圍37鍵23孫00至-港0.東37史23特殊黃的應(yīng)聰用矩輸陣伴隨棄矩陣廟－－欲將狀犧態(tài)空瞇間模抄型轉(zhuǎn)挖換為策可控漆標(biāo)準(zhǔn)倘形co貿(mào)mp滅an著(p)獲得急多項肆式P的伴睬隨矩禍陣p=茅[1俊2勞3肉],扯a=co煉mp擦an隊(p)p含=1扔2部3a惱=-2化-31平0特殊篇的應(yīng)托用矩葵陣格雷財姆（Gr饅am憶)矩陣謎－計譜算可禮控性無和可床觀性箭格雷掩姆陣Gc=gr原am袖(G完,’綁c’)計算包穩(wěn)定芹系統(tǒng)G的可系控性廢格雷廈姆矩夏陣GcGo平=gr電am灣(G寫,’匹o’)計算塘穩(wěn)定渾系統(tǒng)G的觀炎測性處性格齊雷姆正矩陣Go關(guān)系催運算關(guān)系塊運算毛符：<(小于)、<=騎(小于叢或等巾于)、>(大于)>=距(大于襲或等稿于)、==燙(等于)、～=(不等候于)。關(guān)系盛運算慕符的坊運算圾法則搬：關(guān)系閃運算兩將對濾兩個復(fù)矩陣下的對揮應(yīng)元子素進(jìn)寇行比叮較。必須恰是兩夕個同宅維矩餡陣或注其中柄一個差矩陣瞎為標(biāo)騙量才跑能進(jìn)錄行MA釋TL廣AB提供摧了一這些邏睛輯函吉數(shù)常用玩的邏選輯函慣數(shù)邏輯函數(shù)功能all如果所有的元素都是非零值，返回1；否則，返回0。any如果有一個元素為非零值，那么返回1；否則，返回0isempty判斷是否空矩陣isequal判斷兩矩陣是否相同isreal判斷是否是實矩陣find返回一個由非零元素的下標(biāo)組成的向量常用絞的矩贈陣函玩數(shù)矩陣男的行荷列式幻玉、矩判陣的恭秩、牙特征拘值等熄在現(xiàn)含代控衫制理因論中桿有廣五泛的宅應(yīng)用幻玉，Ma墻tl局ab提供漢了相紅應(yīng)的蘆函數(shù)悟求其什值de減t(赤A)方陣A的行珠列式ei漁g(包A)方陣A的特遺征值扔和特頓征向燭量ra銅nk廳(A)矩陣A的秩tr徹ac地e(滿A)矩陣A的跡ex腎pm需(A)矩陣罪的指末數(shù)sq郵rt狗m(鏡A)求矩椅陣的結(jié)平方旺根fu糾nm用(A佛,’摔fu者n’)求一呈般的維方陣蔬函數(shù)求解臂線性笨方程信號掉處理險、控緊制理慮論、蔽物理岔學(xué)等陵領(lǐng)域怠中的產(chǎn)很多逆問題注都可飼以歸蘆結(jié)到轎下面亦的線根性方膚程組矩陣宇行列吼式如N階矩趟陣A的行槍列式匯不等膜于0，即聚時，輪稱矩講陣A非奇籮異，根否則A奇異刻。當(dāng)仰線性探方程破系數(shù)嚇矩陣役非奇壇異，殊則線眾性方嚴(yán)程有惱唯一春解?？棇階方核陣A，MA雹TL熔AB中由籠函數(shù)遼得到素行列輝式矩陣難條件室數(shù)矩陣遮特征兩值和稍特征短向量矩陣薄分解矩陣拾分解仆通過乒將復(fù)還雜矩竊陣表導(dǎo)示成喝形式獲簡單危或具減有良軟好數(shù)白學(xué)性懸質(zhì)（代統(tǒng)稱零為簡夜單矩惑陣）司的組何合，詳以便橡于理歉論分貫析或收數(shù)值驚計算珍。通喉常矩妖陣分畜解將銷復(fù)雜婆矩陣膏分解扒為幾銀個簡漢單矩堪陣的糠乘積曬。求鍛解線蓮性方燭程組酬不可呈避免較地要息用到匆矩陣游分解繳的概隱念。MA液TL勻AB中，橫線性鉤方程斯組的字求解殿主要葛用到香三種股基本嫩的矩憑陣分卡解，圖即對適稱正值定矩休陣的ch趙ol市es肅ky分解利、一駝般方劈燕程的ga赤us仰si曲an消去宜法和笨矩陣悠的正銹交分刊解。宏這三鄭種分扶解由莊函數(shù)ch稠ol、lu和qr完成桶。正定企矩陣正定朗矩陣叮的判好定判定屢定理1：對后稱陣A為正四定的綁充分蠻必要肥條件菜是：A的特乳征值糖全為尼正。判定蛾定理2：對熱稱陣A為正跪定的移充分認(rèn)必要害條件渣是：A的各伯階順漁序主凱子式清都為傭正。判定稀定理3：任農(nóng)意陣A為正拒定的器充分葛必要唉條件宵是：A合同隙于單俘位陣款。正定調(diào)矩陣正定將矩陣后的性逢質(zhì)：1.正定刮矩陣用一定凈是非烏奇異絡(luò)的。椅非奇孫異矩央陣的現(xiàn)定義示：若n階矩柄陣A的行蓄列式材不為服零，醉即|A蒼|≠跪0，則鉆稱A為非序奇異霜矩2.正定菜矩陣挑的任婚一主品子矩徒陣也包是正杜定矩渡陣。3.若A為n階對勉稱正涉定矩竹陣，塞則存漠在唯嘉一的搬主對川角線害元素莫都是廈正數(shù)賓的下蝕三角速陣L，使貓得A=秩L*粱L′，此避分解羅式稱掃為正繭定矩樂陣的育喬列泳斯基首（Ch帖ol巾es液ky）分覽解。Ch獻(xiàn)ol樸es竿ky分解如果A為n階對夏稱正自定矩粗陣，凈則存迷在一伏個實沙的非善奇異洪上三桂角陣R，滿襲足R‘癥*R白=評A，稱襲為Ch負(fù)ol么es鍬ky分解爪（P7現(xiàn)1例3-蕉15勵)Ma仍tl評ab使用找函數(shù)ch學(xué)ol實現(xiàn)Ch淹ol數(shù)es拴ky分解享，其敗格式優(yōu)為：R朱=ch步ol其(A)若A非正軋定，梅則產(chǎn)好生錯捏誤信晌息。[R,麥p]糖=ch誤ol屈(A)不產(chǎn)句生任煉何錯釣誤信摧息，扛若A為正曲定陣帝，則p=推0，R與上污相同搖；若A非正幟定，痰則p為正鄙整數(shù)券，R是有擺序的與上三滅角陣晝。lu分解lu分解烏的含墓義1u分解伐是除科法運鐘算的靈基礎(chǔ)甲。ga俘us奶si歡an消去搏法或lu分解蔥是將深任何并方陣X表示胃為一或個下腹三角矩矩陣L和一屆個上昨三角壁矩陣U的乘避積，迎即X=吧LU。線豬性代鬧數(shù)中衛(wèi)已經(jīng)局證明勸，只弄要方凱陣A是非釘奇異粘的，LU分解處總是散可以碧進(jìn)行活的。lu分解淋的條疾件進(jìn)行l(wèi)u分解旬時，夏矩陣X必須妖是方悲陣。lu分解MA防TL曾AB提供躺的lu函數(shù)胞用于歪對矩疏陣進(jìn)纏行LU分解庭，其割調(diào)用貴格式趣為：[L供,U漸]=lu隨(X)：產(chǎn)幕生一框個上甘三角潤陣U和一歷個變使換形沫式的膀下三膽角陣L(行交紀(jì)換)，使膚之滿麥足X=先LU。注斷意，喪這里局的矩兄陣X必須里是方見陣。[L燭,U乏,P叢]=lu脂(X)：產(chǎn)妹生一徐個上知三角悠陣U和一擁個下閑三角逼陣L以及被一個均置換豈矩陣P，使穿之滿依足PX估=L香U。當(dāng)總?cè)痪鼗铌嘪同樣竊必須流是方傭陣。實現(xiàn)LU分解紋后，咬線性殘方程臭組Ax矛=b的解x=籃U\文(L流\b猛)或x=嗚U\坐(L米\Pb)，這晨樣可耍以大甩大提糧高運餐算速朵度。qr分解qr分解疫的含蜻義qr分解課即矩根陣的番正交甚分解萍，是輸將矩弓陣X分解描為一崗個正溪交矩皮陣Q和一恥個上秤三角案矩陣R的乘越積，擋即X=處QR。適用鍋條件壩及范停圍qr分解活適用挪于方雀陣，擋是非她常重辨要的害分解走形式最。QR分解Ma托tl解ab使用沉函數(shù)qr實現(xiàn)QR分解焦，其映格式荒為：[Q餓,R愈]舒=qr割(A)[Q勾,R加,E賊]壞=qr幕(A)求得葡正交欣矩陣Q和上歇三角遲陣R，E為單商位矩飄陣的閱變換化形式潮，R的對閘角線搭元素構(gòu)按大猴小降貞序排不列，憑滿足AE欄=Q橡R。[Q堡,R源]譜=積qr更(A燃,0毛)R趁=儉qr茂(A喝,0悄)奇異繞值分等解奇異集值分籃解也壯是矩邊陣求灘秩運衣算的徑基礎(chǔ)尿，對枝矩陣A進(jìn)行撫奇異滿值分征解S=sv票d(弄A)，得調(diào)到向姓量s的非授零元怎素的份個數(shù)刃就是抄矩陣A的秩未。奇異焦值分眨解[U簡,S渣,V賽]=sv君d(岔X)產(chǎn)生榴一個株與矩富陣X具有斷相同南維數(shù)間的矩箱陣S，其虜對角禮線元鬼素為損遞減蕉的非迎負(fù)值壯，同微時得就到酉限矩陣U和V，使惑得X=女U*朝S*哄V；[U赴,S耗,V突]=獻(xiàn)sv設(shè)d(窯X,悲0)得到渡一個顯“經(jīng)擺濟大顧小”故的分來解結(jié)犧果，星如果X是m×銷n矩陣這且m>釀n，則訂只計未算U矩陣野的前n行，閥且S矩陣筑是n×丙n階的酸。S=禽sv瓜d(厲X,戒0)得到康矩陣X的奇骨異值布組成塵的向域量；多項瓦式與泳插值多項家式在圣數(shù)學(xué)賴中有陶著極補為重鉆要的脊作用芳，同較時多都項式倘的運釀算也狗是工篩程和僻應(yīng)用礎(chǔ)中經(jīng)快常遇區(qū)到的趴問題刪。MA低TL背AB提供歐了一悶些專脂門用揮于處豎理多祥項式躬的函帥數(shù)，謠用戶傍可以殲應(yīng)用之這些膚函數(shù)胞對多姻項式濁進(jìn)行言操作存。MA勇TL慰AB中對終多項扇式的涉操作今包括浸多項京式求奔根、磨多項榆式的迷四則胖運算嘉及多匠項式肌的微窩積分冒。多項釋式的與表示價方式多項墳式的MA匯TL樹AB表示繞法：如：P＝S3＋2S2＋3S＋4MA席TL斥AB可表僑示為仿系數(shù)鑄向量P＝[1禮2云3乞4]多項鋤式的曉四則副運算由于霞多項血式是蟻利用被向量杯來表冬示，賣多項青式的狀四則肚運算欺可以掩轉(zhuǎn)化躁為向兆量的孟運算帥。多項汽式的隸加減房誠為對蛙應(yīng)項言系數(shù)業(yè)的加警減，守因此郊可以債通過墾向量炕的加風(fēng)減來眼實現(xiàn)患。但飾是在砌向量限的加改減中醫(yī)兩個撒向量京需要楚有相硬同的難長度唯，因肥此在山進(jìn)行欠多項獲式加貿(mào)減時闊，需岔要將川短的桿向量塌前面昌補0。多項鄭式的鄰乘法錫實際甘上是啄多項菊式系壩數(shù)向絞量之嗓間的始卷積轎運算趟，可棍以通李過MA優(yōu)TL以AB中的纏卷積戶函數(shù)co規(guī)nv來完綁成。多項吉式的協(xié)除法臉為乘酬法的回逆運點算，題可以膽通過爽反卷旅積函旅數(shù)de螞co灰nv來實長現(xiàn)。多項冠式的吧其他紹運算除多足項式釣的四平則運叛算外爆，MA遞TL論AB還提贏供了斬多項昨式的爛一些挺其他絞運算繞。如隸表所悉示。函數(shù)功能roots多項式求根polyval多項式求值polyvalm矩陣多項式求值polyder多項式求導(dǎo)poly求矩陣的特征多項式；polyfit多項式曲線擬合residue求解余項多項煙式的積運算鵲函數(shù)添（1）ro膠ot望s函數(shù)礙和po想ly函數(shù)這兩崖個函節(jié)數(shù)為摔功能喇互逆芳的兩靜個函樸數(shù)。ro蛛ot中s函數(shù)訊用于居求解耕多項鋪式的堆根。貼該函擠數(shù)的繁輸入淋參數(shù)線為多突項式醋的系深數(shù)組洽成的賺行向確量，見返回京值為松由多值項式隨的根浮組成涂的列稀向量私。po故ly函數(shù)椅用于郊生成懶根為沾制定及數(shù)值合的多核項式費。po套ly裂va竿l函數(shù)po牌ly幣va流l函數(shù)郵用于稼多項他式求豆值。捧對于括給定誼的多兆項式只，利冬用該笑函數(shù)南可以鴨計算造該多澇項式您在任帥意點橋的值手。多項堪式的挎運算塊函數(shù)騾（2）po塵ly稼de死r函數(shù)函數(shù)po諒ly譯de統(tǒng)r用于澡多項饒式求今導(dǎo)。貴該函抗數(shù)可閑以用棍于求賺解一岸個多生項式撇的導(dǎo)窩數(shù)、區(qū)兩個徐多項躬式乘固積的被導(dǎo)數(shù)答和兩海個多鏟項式距商的彎導(dǎo)數(shù)胳。該呈函數(shù)嘩的用污法為攀：q五=po刺ly御de妖r(疏p)該命緞令計胃算多庭項式p的導(dǎo)嗽數(shù)。c閘=po薪ly痛de苦r(隊a,作b)該命逢令實京現(xiàn)多削項式a、b的積替的導(dǎo)稈數(shù)。[q,塑d]例=po揮ly上de悼r(山a,爛b)該命臺令實杜現(xiàn)多茄項式a、b的商證的導(dǎo)但數(shù)，q/層d為最鏡后的勇結(jié)果層。若已嶄知多傾項式嫁根向荷量，蠶可用po竭ly（P）生歡成多辛項式【例】已知P1撓(s覆)＝(s恒+1波)(珠s+撕2)載(s跪+3斗)的根為蟻：-1到-2左-3則編酸寫：P1＝po眾ly（[-冒1,列-2組,-甲3]）運行披后,得P1＝1史6非11賢6表示瞇已生普成多哄項式粥為：P=冤s3+6草s2+1追1s甩+6多項范式的察生成多項午式運添算（1）1．求多凝項式橫值po隊ly巨va經(jīng)l(眉p,處x0械)V=征po晝ly沙va參l(后P1悲,1付)V=撐242．多溜項式必加、毀減:*階次悄相同強，低斗階缺糞項系每數(shù)必年須補0【例】：腔（s2+2禿s+怪1）+勇2s2P1喇=[釋1瞎2艷1識]；P2勇=[貢2坊0附0錘]；P=平P1燈+P扮2》P牌=3杯2善1多項囑式運偏算（2）3．多熄項式員乘法悔co芳nv廉.（卷曠積）(s塊+1簡)(借s3+6恨s2+1傳1s毀+6析)P1卷=[柏1脅1擴];P2氏=[皺1獄6險11執(zhí)6]下;P3所=c陳on地v(汁P1楚,P幟2)》典P3的=麻1幫7