【同步測(cè)試】《三角函數(shù)》復(fù)習(xí)參考題

三角函數(shù)

——復(fù)習(xí)參考題復(fù)習(xí)1寫(xiě)出與下列各角終邊相同的角的集合S，并且把S中適合不等式－2π≤β＜4π的元素β寫(xiě)出來(lái)：復(fù)習(xí)參考題（1）

；（2）

；（3）

；（4）0．（1）｛β｜β＝

＋2kπ，k∈Z），

（2）｛β｜β＝

＋2kπ，k∈Z｝，

復(fù)習(xí)1寫(xiě)出與下列各角終邊相同的角的集合S，并且把S中適合不等式－2π≤β＜4π的元素β寫(xiě)出來(lái)：復(fù)習(xí)參考題（1）

；（2）

；（3）

；（4）0．（3）｛β｜β＝

＋2kπ，k∈Z｝，（4）｛β｜β＝2kπ，k∈Z），－2π，0，2π．復(fù)習(xí)2一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)與面積的數(shù)值都是5，求這個(gè)扇形中心角的度數(shù)（精確到1°）．復(fù)習(xí)參考題約143°．復(fù)習(xí)3（1）已知cosφ＝

，求sinφ，tanφ．復(fù)習(xí)參考題（2）已知sinx＝2cosx，求角x的三個(gè)三角函數(shù)值．（1）當(dāng)φ為第一象限角時(shí)，sinφ＝

，tanφ＝

；當(dāng)φ為第四象限角時(shí)，sinφ＝

，tanφ＝

．（2）當(dāng)x為第一象限角時(shí)，tanx＝2，cosx＝

，sinx＝

；當(dāng)x為第三象限時(shí)，tanx＝2，cosx＝

，sinx＝

．復(fù)習(xí)4復(fù)習(xí)參考題已知tanα＝

，計(jì)算：（1）；

（2）；（3）sinαcosα；

（4）（sinα＋cosα）2．（1）（2）（3）（4）復(fù)習(xí)5復(fù)習(xí)參考題計(jì)算（可用計(jì)算工具，第（2）（3）題精確到0.0001）：（1）

；（2）sin2＋cos3＋tan4；（3）cos（sin2）．（1）0．（2）1.0771．（3）0.6143．復(fù)習(xí)6復(fù)習(xí)參考題設(shè)π＜x＜2π，填表：x1sinx－1cosxtanx10不存在－1復(fù)習(xí)7復(fù)習(xí)參考題求下列函數(shù)的最大值、最小值，并求使函數(shù)取得最大、最小值的x的集合：（1）

；（2）y＝3－2cosx．（1）最大值為

，此時(shí)x的集合為｛x｜x＝

＋2kπ，k∈Z）；最小值為

，此時(shí)x的集合為｛x｜x＝

＋2kx，k∈Z）．（2）最大值為5，此時(shí)x的集合為｛x｜x＝（2k＋1）π，k∈Z）；最小值為1，此時(shí)x的集合為｛x｜x＝2kπ，k∈Z）．復(fù)習(xí)8復(fù)習(xí)參考題畫(huà)出下列函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖，并指出分別由函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到：（1）；

（2）；（1）；

（2）；表及圖象變換略，圖象如圖所示：復(fù)習(xí)8復(fù)習(xí)參考題畫(huà)出下列函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖，并指出分別由函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到：（1）；

（2）；（1）；

（2）；表及圖象變換略，圖象如圖所示：復(fù)習(xí)9復(fù)習(xí)參考題（2）如何根據(jù)第（1）小題并運(yùn)用正弦函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)y＝sinx，x∈［0，2π］的圖象？（3）如何根據(jù)第（2）小題并通過(guò)平行移動(dòng)坐標(biāo)軸，得到函數(shù)y＝sin（x＋φ）＋k，x∈［0，2π］（φ，k都是常數(shù)）的圖象？（1）用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)y＝sinx，x∈

的圖象．復(fù)習(xí)參考題復(fù)習(xí)9解答（1）列表：描點(diǎn)畫(huà)圖如下：x0sinx00.170.340.500.640.770.870.940.981（1）用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)y＝sinx，x∈

的圖象．復(fù)習(xí)參考題復(fù)習(xí)9解答（2）如何根據(jù)第（1）小題并運(yùn)用正弦函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)y＝sinx，x∈［0，2π］的圖象？（2）由sin（π－x）＝sinx，可知函數(shù)y＝sinx，x∈［0，π］的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝

對(duì)稱(chēng)，據(jù)此可得函數(shù)y＝sinx，x∈［

，π］的圖象；又由sin（2π－x）＝－sinx，可知函數(shù)y＝sinx，x∈［0，2π］的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對(duì)稱(chēng)，據(jù)此可得到函數(shù)y＝sinx，x∈［π，2π］的圖象．復(fù)習(xí)參考題復(fù)習(xí)9解答（3）如何根據(jù)第（2）小題并通過(guò)平行移動(dòng)坐標(biāo)軸，得到函數(shù)y＝sin（x＋φ）＋k，x∈［0，2π］（φ，k都是常數(shù)）的圖象？（3）先把y軸向右（當(dāng)φ＞0時(shí)）或向左（當(dāng)φ＜0時(shí)）平行移動(dòng)｜φ｜個(gè)單位長(zhǎng)度，再把x軸向下（當(dāng)k＞0時(shí)）或向上（當(dāng)k＜0時(shí)）平行移動(dòng)｜k｜個(gè)單位長(zhǎng)度，將圖象向左或向右延伸，并擦去［0，2π］之外的部分，便得到函數(shù)y＝sin（x＋φ）＋k，x∈［0，2π］的圖象．復(fù)習(xí)10復(fù)習(xí)參考題不通過(guò)畫(huà)圖，寫(xiě)出下列函數(shù)的振幅、周期、初相，并說(shuō)明如何由正弦曲線(xiàn)得到它們的圖象：（1）；

（2）．（1）振幅是1，周期是

，初相是

．把正弦曲線(xiàn)向左平行移動(dòng)

個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得函數(shù)y＝sin（x＋

），x∈R的圖象；再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

倍（縱坐標(biāo)不變），就可得出函數(shù)y＝sin（5x＋

），x∈R的圖象．復(fù)習(xí)10復(fù)習(xí)參考題不通過(guò)畫(huà)圖，寫(xiě)出下列函數(shù)的振幅、周期、初相，并說(shuō)明如何由正弦曲線(xiàn)得到它們的圖象：（1）；

（2）．（2）振幅是2，周期是12π，初相是0．把正弦曲線(xiàn)上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的6倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝

，x∈R的圖象；再把所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），就可得到函數(shù)y＝

，x∈R的圖象．復(fù)習(xí)11復(fù)習(xí)參考題（3）已知α，β都是銳角，tanα＝

，sinβ＝

，求tan（α＋2β）的值．（1）已知α，β都是銳角，sinα＝

，cos（α＋β）＝

，求sinβ的值；（2）已知求sin（α＋β）的值；（1）（2）（3）1．復(fù)習(xí)12復(fù)習(xí)參考題（4）求

的值．（1）證明tanα＋tanβ＝tan（α＋β）－tanαtanβtan（α＋β）；（2）（4）（3）2．（2）求tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°的值；（3）若α＋β＝

，求（1－tanα）（1－tanβ）的值；（1）提示：利用公式tan（α＋β）＝復(fù)習(xí)13復(fù)習(xí)參考題化簡(jiǎn)：（3）tan70°cos10°（tan20°－1）；（4）sin50°（1＋tan10°）．（1）

；（2）sin40°（tan10°－

）；（1）原式＝

（2）原式＝（3）原式＝（4）原式＝復(fù)習(xí)14復(fù)習(xí)參考題（4）已知cos2θ＝

，求sin4θ＋cos4θ的值．（2）已知

，求sinα的值；（3）已知sin4θ＋cos4θ＝

，求sin2θ的值；（1）已知cosθ＝

，π＜θ＜

，求

的值；（1）（2）（3）（4）復(fù)習(xí)15復(fù)習(xí)參考題（2）已知cosα＋cosβ＝

，sinα＋sinβ＝

，求cos（α－β）的值．（1）已知cos（α＋β）＝

，cos（α－β）＝

，求tanαtanβ的值；于是有tanαtanβ＝

（1）由已知可求得cosαcosβ＝

，sinαsinβ＝

．（2）把cosα＋cosβ＝

兩邊分別平方，得cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ＝

．把sinα＋sinβ＝

兩邊分別平方，得sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＝

．復(fù)習(xí)15復(fù)習(xí)參考題（2）已知cosα＋cosβ＝

，sinα＋sinβ＝

，求cos（α－β）的值．（1）已知cos（α＋β）＝

，cos（α－β）＝

，求tanαtanβ的值；所以cos（α－β）＝把所得兩式相加，得2＋2（cosαcosβ＋sinαsinβ）＝

，即2＋2cos（α－β）＝

．復(fù)習(xí)16復(fù)習(xí)參考題證明：（3）

（4）

（1）cos4α＋4cos2α＋3＝8cos4α；（2）

（1）左式＝2cos22α－1＋4cos2α＋3＝2（cos2α＋1）2＝2（2cos2α）2＝8cos4α＝右式．（2）左式＝

＝右式．（3）左式＝

＝右式．（4）左式＝

＝右式．復(fù)習(xí)17復(fù)習(xí)參考題已知sinα－cosα＝

，0≤α≤π，求

的值．復(fù)習(xí)18復(fù)習(xí)參考題已知

，求

的值．復(fù)習(xí)18復(fù)習(xí)參考題已知

，求

的值．復(fù)習(xí)19復(fù)習(xí)參考題已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθcosθ＝sin2β，求證4cos22α＝cos22β．把已知代入sin2θ＋cos2θ＝（sinθ＋cosθ）2－2sinθcosθ＝1中，得（2sinα）2－2sin2β＝1．變形得2（1－cos2α）－（1－cos2β）＝1，即2cos2α＝cos2β，4cos22α＝4cos22β．復(fù)習(xí)20復(fù)習(xí)參考題已知函數(shù)f（x）＝cos4x－2sinxcosx－sin4x，（2）當(dāng)x∈

時(shí)，求f（x）的最小值以及取得最小值時(shí)x的集合．（1）求f（x）的最小正周期；（1）最小正周期是π．f（x）＝（cos2x＋sin2x）（cos2x－sin2x）－2sinxcosx＝cos2x－sin2x＝

（2）由x∈［0，

］，得

，所以當(dāng)2x＋

＝π，即x＝

時(shí)，f（x）的最小值為

，f（x）取最小值時(shí)x的集合為復(fù)習(xí)21復(fù)習(xí)參考題已知函數(shù)

的最大值為1，（1）由2＋a＝1，得a＝－1．（2）單調(diào)遞減區(qū)間為

，k∈Z．（3）｛x｜2kπ≤x≤

＋2kπ，k∈Z｝．（1）求常數(shù)a的值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）求使f（x）≥0成立的x的取值集合．復(fù)習(xí)22復(fù)習(xí)參考題已知函數(shù)f（x）＝sin2x＋2cos2x＋m在區(qū)間

上的最大值為6，（2）f（x）＝2sin（2x＋

）＋4（x∈R）的最小值為－2＋4＝2，（1）求常數(shù)m的值；（2）當(dāng)x∈R時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值，以及相應(yīng)x的集合．（1）由

，得

，于是有2＋m＋1＝6．解得m＝3．此時(shí)x的取值集合由2x＋

＝

＋2kπ（k∈Z）求得，所求集合為｛x｜x＝

＋kπ，k∈Z｝．復(fù)習(xí)23復(fù)習(xí)參考題如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，P，Q分別為邊AB，DA上的點(diǎn)．當(dāng)△APQ的周長(zhǎng)為2時(shí)，求∠PCQ的大?。O(shè)AP＝x，AQ＝y(tǒng)，∠BCP＝α，∠DCQ＝β，則tanα＝1－x，tanβ＝1－y．于是tan（α＋β）＝

又△APQ的周長(zhǎng)為2，即x＋y＋

＝2，變形可得xy＝2（x＋y）－2．于是tan（α＋β）＝

＝1．又0＜α＋β＜

，所以α＋β＝

，∠PCQ＝

－（α＋β）＝

．復(fù)習(xí)24復(fù)習(xí)參考題已知sinβ＋cosβ＝

，β∈（0，π），（1）求tanβ的值；（2）你能根據(jù)所給的條件，自己構(gòu)造出一些求值問(wèn)題嗎？（1）由

可得25sin2β－5sinβ－12＝0．解得sinβ＝

或sinβ＝

（由β∈（0，π），舍去）．所以cosβ＝

－sinβ＝

．于是tanβ＝復(fù)習(xí)24復(fù)習(xí)參考題已知sinβ＋cosβ＝

，β∈（0，π），（1）求tanβ的值；（2）你能根據(jù)所給的條件，自己構(gòu)造出一些求值問(wèn)題嗎？（2）根據(jù)所給條件，可求出僅由sinβ，cosβ，tanβ表示的三角函數(shù)式的值．例如，sin（β＋

），cos2β＋2，

，等等．復(fù)習(xí)25復(fù)習(xí)參考題如圖，已知直線(xiàn)l1∥l2，A是l1，l2之間的一定點(diǎn)，并且點(diǎn)A到l1，l2的距離分別為h1，h2．B是直線(xiàn)l2上一動(dòng)點(diǎn)，作AC⊥AB，且使AC與直線(xiàn)l1交于點(diǎn)C．設(shè)∠ABD＝α．（1）寫(xiě)出△ABC面積S關(guān)于角α的函數(shù)解析式S（α）；（2）畫(huà)出上述函數(shù)的圖象；（3）由（2）中的圖象求S（α）的最小值．因?yàn)椤螦BD＝α，所以∠CAE＝α，AB＝

，AC＝

．所以S△ABC＝

·AB·AC＝

，0＜α＜

．復(fù)習(xí)25復(fù)習(xí)參考題如圖，已知直線(xiàn)l1∥l2，A是l1，l2之間的一定點(diǎn)，并且點(diǎn)A到l1，l2的距離分別為h1，h2．B是直線(xiàn)l2上一動(dòng)點(diǎn)，作AC⊥AB，且使AC與直線(xiàn)l1交于點(diǎn)C．設(shè)∠ABD＝α．（1）寫(xiě)出△ABC面積S關(guān)于角α的函數(shù)解析式S（α）；（2）畫(huà)出上述函數(shù)的圖象；（3）由（2）中的圖象求S（α）的最小值．（1）所求函數(shù)解析式為S（α）＝

，0＜α＜

．（3）當(dāng)2α＝

，即α＝

時(shí)，S（α）的最小值為h1h2．（2）略（可借助信息技術(shù)）．復(fù)習(xí)26復(fù)習(xí)參考題英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中n?。?×2×3×4×…×n．這些公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算工具計(jì)算足夠多的項(xiàng)就可以確保顯示值的精確性．比如，用前三項(xiàng)計(jì)算cos0.3，就得到cos0.3≈

＝0.9553375．試用你的計(jì)算工具計(jì)算cos0.3，并與上述結(jié)果比較．復(fù)習(xí)27復(fù)習(xí)參考題在地球公轉(zhuǎn)過(guò)程中，太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度隨時(shí)間周而復(fù)始不斷變化．（1）如圖，設(shè)地球表面某地正午太陽(yáng)高度角為θ，δ為此時(shí)太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度，φ為當(dāng)?shù)氐木暥戎担敲催@三個(gè)量滿(mǎn)足θ＝90°－｜φ－δ｜．某科技小組以某年春分（太陽(yáng)直射赤道且隨后太陽(yáng)直射點(diǎn)逐漸北移的時(shí)間）為初始時(shí)間，統(tǒng)計(jì)了連續(xù)400天太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度平均值（太陽(yáng)直射北半球時(shí)取正值，太陽(yáng)直射南半球時(shí)取負(fù)值）．下面是該科技小組的三處觀(guān)測(cè)站成員在春分后第45天測(cè)得的當(dāng)?shù)靥?yáng)高度角數(shù)據(jù)：復(fù)習(xí)27復(fù)習(xí)參考題觀(guān)測(cè)站ABC觀(guān)測(cè)站所在緯度φ/度40.000023.43930.0000觀(guān)測(cè)站正午太陽(yáng)高度角θ/度66.387082.946473.6141太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度δ/度太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度平均值/度請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)完成上面的表格（計(jì)算結(jié)果精確到0.0001）；復(fù)習(xí)27復(fù)習(xí)參考題（2）設(shè)第x天時(shí)太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度平均值為y．該科技小組通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的整理和分析，推斷y與x近似滿(mǎn)足