數(shù)列遞推公式的九種方法

PAGE9數(shù)列遞推公式的九種方法求遞推數(shù)列的通項公式的九種方法利用遞推數(shù)列求通項公式，在理論上和實踐中均有較高的價值.自從二十世紀八十年代以來，這一直是全國高考和高中數(shù)學聯(lián)賽的熱點之一.一、作差求和法mw.w.w.k.s.5.u.c.o例1在數(shù)列{}中，,，求通項公式.解：原遞推式可化為：則，……，逐項相加得：.故.二、作商求和法例2設數(shù)列{}是首項為1的正項數(shù)列，且（n=1,2,3…），則它的通項公式是=▁▁▁（2000年高考15題）解：原遞推式可化為：=0∵＞0，則……，逐項相乘得：，即=.三、換元法例3已知數(shù)列{}，其中，且當n≥3時，，求通項公式（1986年高考文科第八題改編）.解：設，原遞推式可化為：是一個等比數(shù)列，，公比為.故.故.由逐差法可得：.例4已知數(shù)列{}，其中，且當n≥3時，，求通項公式。解由得：，令，則上式為，因此是一個等差數(shù)列，，公差為1.故.。由于又所以，即四、積差相消法例5設正數(shù)列，，…，，…滿足=且，求的通項公式.解將遞推式兩邊同除以整理得：設=，則=1，，故有⑴⑵…………()由⑴+⑵+…+()得=，即=.逐項相乘得：=，考慮到，故.五、取倒數(shù)法例6已知數(shù)列{}中，其中，且當n≥2時，，求通項公式。解將兩邊取倒數(shù)得：，這說明是一個等差數(shù)列，首項是，公差為2，所以，即.六、取對數(shù)法例7若數(shù)列{}中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項公式是=▁▁▁（2002年上海高考題）.解由題意知＞0，將兩邊取對數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項，公比為2的等比數(shù)列，，即.七、平方（開方）法例8若數(shù)列{}中，=2且（n），求它的通項公式是.解將兩邊平方整理得。數(shù)列{}是以=4為首項，3為公差的等差數(shù)列。。因為＞0，所以。八、待定系數(shù)法待定系數(shù)法解題的關鍵是從策略上規(guī)范一個遞推式可變成為何種等比數(shù)列，可以少走彎路.其變換的基本形式如下：1、（A、B為常數(shù)）型，可化為=A（）的形式.例9若數(shù)列{}中，=1，是數(shù)列{}的前項之和，且（n），求數(shù)列{}的通項公式是.解遞推式可變形為（1）設（1）式可化為（2）比較（1）式與（2）式的系數(shù)可得，則有。故數(shù)列{}是以為首項，3為公比的等比數(shù)列。=。所以。當n，。數(shù)列{}的通項公式是。2、（A、B、C為常數(shù)，下同）型，可化為=）的形式.例10在數(shù)列{}中，求通項公式。解：原遞推式可化為：①比較系數(shù)得=-4，①式即是：.則數(shù)列是一個等比數(shù)列，其首項，公比是2.∴即.3、型，可化為的形式。例11在數(shù)列{}中，，當，①求通項公式.解：①式可化為：比較系數(shù)得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化為：則是一個等比數(shù)列，首項=2-2（-1）=4，公比為3.∴.利用上題結果有：.4、型，可化為的形式。例12在數(shù)列{}中，，=6①求通項公式.解①式可化為：②比較系數(shù)可得： =-6，，②式為 是一個等比數(shù)列，首項，公比為.∴即故.九、猜想法運用猜想法解題的一般步驟是：首先利用所給的遞推式求出……，然后猜想出滿足遞推式的一個通項公式，最后用數(shù)學歸納法證明猜想是正確的。例13在各項均為正數(shù)的數(shù)列中，為數(shù)列的前n項和，=+，求其通項公式。求遞推數(shù)列通項的特征根法與不動點法一、形如是常數(shù)）的數(shù)列形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項，其特征方程為…①若①有二異根，則可令是待定常數(shù)）若①有二重根，則可令是待定常數(shù)）再利用可求得，進而求得．例1．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項．解：其特征方程為，解得，令，由，得，．例2．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項．解：其特征方程為，解得，令，由，得，．二、形如的數(shù)列對于數(shù)列，是常數(shù)且）其特征方程為，變形為…②若②有二異根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值．這樣數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是這樣可求得．若②有二重根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值．這樣數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，于是這樣可求得．此方法又稱不動點法．例3．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項．解：其特征方程為，化