第七章隨機振動的響應(yīng)分析

第七章

隨機振動的響應(yīng)分析目前一頁\總數(shù)五十五頁\編于六點第七章隨機振動的響應(yīng)分析§7-1單輸入單輸出的線性系統(tǒng)

§7-2多輸入多輸出的線性系統(tǒng)目前二頁\總數(shù)五十五頁\編于六點本章討論機械或結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在隨機激勵作用下，激勵—系統(tǒng)—響應(yīng)三者之間的關(guān)系。系統(tǒng)有線性與非線性之分。大量工程問題，線性模型可得到逼真的結(jié)果。本課程只討論線性系統(tǒng)問題。隨機激勵分兩類：參數(shù)激勵與非參數(shù)激勵參數(shù)激勵：系統(tǒng)本身的某些參數(shù)(如質(zhì)量、剛度、阻尼等)隨時間隨機地變化而引起振動。非參數(shù)激勵即由外界施加的激勵。非參數(shù)激勵又分為平穩(wěn)的和非平穩(wěn)的兩類。本章研究常參數(shù)線性系統(tǒng)對平穩(wěn)隨機激勵的響應(yīng)目前三頁\總數(shù)五十五頁\編于六點當(dāng)系統(tǒng)的激勵(輸入)是平穩(wěn)過程時，由于常參數(shù)的假設(shè)，系統(tǒng)的響應(yīng)(輸出)也一定是平穩(wěn)的。對于一個常參數(shù)線性系統(tǒng)，它往往可能在不同位置上同時受到激勵，即有多個輸入；其響應(yīng)也可能有很多個，而且不同位置處的響應(yīng)也不同。對于線性系統(tǒng)來說，多輸入與多輸出問題可以在單輸入與單輸出問題的基礎(chǔ)上應(yīng)用疊加原理得到解決目前四頁\總數(shù)五十五頁\編于六點對于確定性振動，激勵與響應(yīng)之間的關(guān)系，一般用微分方程來描述，方程的非齊次項是確定的，初始條件也是確定的，因此響應(yīng)也是確定的。在隨機振動中，一般激勵與響應(yīng)都必須用概率統(tǒng)計的方法來描述。在激勵與系統(tǒng)特性已知的情況下，只能求出響應(yīng)的一些統(tǒng)計特征，如期望（均值）、相關(guān)函數(shù)、功率譜密度、均方值等。目前五頁\總數(shù)五十五頁\編于六點7-1單輸入單輸出的線性系統(tǒng)假定常參數(shù)線性系統(tǒng)只受到一個輸入x(t)的作用，其相應(yīng)的響應(yīng)(輸出)為y(t)，如圖所示。常參數(shù)線性振動系統(tǒng)y(t)Output(response)輸出（響應(yīng)）x(t)Input(excitation)輸入（激勵）本章研究輸入、輸出和系統(tǒng)動態(tài)特性三者之間的關(guān)系，以及計算響應(yīng)（輸出）的統(tǒng)計特征的方法目前六頁\總數(shù)五十五頁\編于六點設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機過程X(t)的一個樣本函數(shù)則系統(tǒng)輸出y(t)是另一平穩(wěn)隨機過程Y(t)的一個樣本函數(shù)設(shè)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)，則頻率響應(yīng)函數(shù)是H(ω)。常參數(shù)線性振動系統(tǒng)y(t)Output(response)輸出（響應(yīng)）x(t)Input(excitation)輸入（激勵）一、響應(yīng)的均值對于輸入的一個樣本函數(shù)，由卷積積分公式，可得輸出的一個樣本函數(shù)目前七頁\總數(shù)五十五頁\編于六點設(shè)想對于輸入中的每個樣本函數(shù)，都可按上式寫出其對應(yīng)的輸出的樣本函數(shù)。于是，可得到輸出的集合平均為:

目前八頁\總數(shù)五十五頁\編于六點輸入與輸出均值的關(guān)系式為：H(0)是一個常數(shù)，它表示輸入X(t)與輸出Y(t)中，頻率ω=0這一成分（即直流分量）之間的傳遞關(guān)系。直流分量目前九頁\總數(shù)五十五頁\編于六點上式表明，當(dāng)輸入是平穩(wěn)過程時，輸出的均值與輸入的均值只差一個乘子H(0)。若輸入的均值為零，則輸出的均值也一定為零。此結(jié)論可以推廣到多輸入與多輸出的情形。目前十頁\總數(shù)五十五頁\編于六點二、響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)輸出過程Y(t)的自相關(guān)函數(shù)定義為:目前十一頁\總數(shù)五十五頁\編于六點上式為輸出的自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系式。該式說明，對于常參數(shù)線性系統(tǒng)，若激勵是平穩(wěn)隨機過程，則響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)與自然時間無關(guān)，也一定是平穩(wěn)的隨機過程。則響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)可表示為:目前十二頁\總數(shù)五十五頁\編于六點對輸出的自相關(guān)函數(shù)作傅立葉變換，便得到響應(yīng)的自功率譜密度SY(ω)為三、響應(yīng)的自功率譜密度函數(shù)變換積分次序，并重新排列目前十三頁\總數(shù)五十五頁\編于六點令ξ=τ-θ1+θ2，由維納—辛欽關(guān)系式知，最后一個積分就是激勵X(t)的自譜密度：第二個積分就是脈沖響應(yīng)函數(shù)h(θ2)的傅立葉變換，即頻率響應(yīng)函數(shù)H(ω)。目前十四頁\總數(shù)五十五頁\編于六點前兩個積分的不同在于指數(shù)中的正負(fù)號的差別。經(jīng)處理后得隨機輸入與輸出的自譜密度關(guān)系式:上式是隨機振動理論中一個極其重要的公式，指出了輸入、輸出與系統(tǒng)動態(tài)特性三者之間的關(guān)系。目前十五頁\總數(shù)五十五頁\編于六點上式表明，若已知系統(tǒng)的增益因子|H(ω)|和輸入的自譜密度SX(ω)，則可確定輸出的自譜密度SY(ω)。事實上，若已知SX(ω)、|H(ω)|和SY(ω)三者中的任意兩個，就可以確定第三個。此外，響應(yīng)的自譜密度是與系統(tǒng)的相位因子無關(guān)的。目前十六頁\總數(shù)五十五頁\編于六點已知響應(yīng)的自譜密度SY(ω)，則可計算出響應(yīng)的均方值E[Y2]:

四、響應(yīng)的均方值將隨機輸入與輸出的自譜密度關(guān)系式代入上式注意：當(dāng)均值為零時，均方值就等于方差。目前十七頁\總數(shù)五十五頁\編于六點在輸入為理想白噪聲的情況下，由于輸入的自譜密度對于所有的頻率都是常數(shù)，則響應(yīng)的均方值公式可得到簡化:只要計算出如下的廣義積分I值，便可求得響應(yīng)的均方值：目前十八頁\總數(shù)五十五頁\編于六點由互相關(guān)函數(shù)的定義，可得激勵與響應(yīng)之間的互相關(guān)函數(shù):五、激勵與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)常參數(shù)線性系統(tǒng)在受到平穩(wěn)隨機輸入時，激勵與響應(yīng)之間的互相關(guān)函數(shù)正好等于脈沖響應(yīng)函數(shù)與輸入自相關(guān)函數(shù)的卷積目前十九頁\總數(shù)五十五頁\編于六點對互相關(guān)函數(shù)表達(dá)式作傅立葉變換，便可得到激勵與響應(yīng)之間的互功率譜密度。六、激勵與響應(yīng)的互譜密度與前面計算響應(yīng)自譜相似的方法，將上式改寫為：目前二十頁\總數(shù)五十五頁\編于六點上式第一個積分是頻率響應(yīng)函數(shù)H(ω)，第二個積分就是激勵X(t)的自譜密度SX(ω)上式表明：輸入與輸出之間的互譜密度等于系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)與輸入自譜密度函數(shù)的乘積。通過該式可完整地確定系統(tǒng)的頻率特性H(ω)。目前二十一頁\總數(shù)五十五頁\編于六點由于H(ω)是復(fù)數(shù)，它可表示為:則互譜密度可以表示為:由于SX(ω)是實偶函數(shù)，則互譜密度函數(shù)可表示為：目前二十二頁\總數(shù)五十五頁\編于六點上式表明：互譜密度的幅值等于系統(tǒng)的增益因子與 輸入自譜的乘積互譜密度的幅角又等于系統(tǒng)的相位因子。目前二十三頁\總數(shù)五十五頁\編于六點七、相干函數(shù)系統(tǒng)輸入與輸出的譜相干函數(shù)（又稱凝聚函數(shù)）可通過下式來定義：SX(ω)和SY(ω)皆為實函數(shù)，故相干函數(shù)必為實函數(shù)?？梢宰C明，對于所有頻率ω，相干函數(shù)滿足以下不等式：目前二十四頁\總數(shù)五十五頁\編于六點當(dāng)輸入與輸出互不相關(guān)時，有RXY(τ)=0，從而互譜密度SXY(ω)=0，于是由定義知相干函數(shù)也等于零。對于線性系統(tǒng)，存在下列關(guān)系在線性系統(tǒng)的假設(shè)下，輸入輸出線性相關(guān)，有目前二十五頁\總數(shù)五十五頁\編于六點輸入輸出互不相關(guān)時，相干函數(shù)的值等于0；輸入輸出線性相關(guān)時，相干函數(shù)等于1。相干函數(shù)的值在0與1之間。如果相干函數(shù)值大于零但小于1，為以下三種情況之一聯(lián)系輸入X(t)和輸出Y(t)的系統(tǒng)是非線性的(2)測量中有外界噪聲干擾(3)輸出Y(t)是輸入X(t)和其它輸入的綜合輸出。目前二十六頁\總數(shù)五十五頁\編于六點如圖所示的單輸入線性系統(tǒng)，假定只在輸出測量中混有噪聲，則實測得到的輸出Z(t)是真實輸出Y(t)與噪聲干擾N(t)之和。N(t)Z(t)H(ω)X(t)Y(t)只討論一種存在噪聲干擾的情況：目前二十七頁\總數(shù)五十五頁\編于六點假定X(t)與N(t)皆是均值為零的平穩(wěn)隨機過程，且N(t)與X(t)和Y(t)都是不相關(guān)的，則有：輸入與實測輸出之間的互相關(guān)函數(shù)：故有:目前二十八頁\總數(shù)五十五頁\編于六點實測輸出的自相關(guān)函數(shù)實測輸出的自譜密度目前二十九頁\總數(shù)五十五頁\編于六點輸入X(t)與實測輸出Z(t)的譜相干函數(shù):得到將互譜密度與自譜密度式代入上式，并結(jié)合下式目前三十頁\總數(shù)五十五頁\編于六點上式表明：在有噪聲干擾的情況下，輸入與實測輸出的譜相干函數(shù)將小于1。因此，對于線性系統(tǒng)，可借助相干函數(shù)值來判斷干擾影響的大小。此外：雖輸出中含有干擾，但通過實測信號的互譜密度以及輸入信號的自譜密度可以精確的獲得系統(tǒng)的頻響特征目前三十一頁\總數(shù)五十五頁\編于六點7.2多輸入多輸出的線性系統(tǒng)考慮某一具有m個輸入Xi(t)(i=1,2,…,m)和n個輸出Yk(t)

(k=1,2,…,n)的常參數(shù)系統(tǒng)，假定每個輸入Xi(t)都是平穩(wěn)的隨機過程。在系統(tǒng)有m個輸入Xi(t)的情況下，對應(yīng)于每一個輸出Yk(t)，有m個脈沖響應(yīng)函數(shù)：目前三十二頁\總數(shù)五十五頁\編于六點對于n個輸出，則共有n×m個脈沖響應(yīng)函數(shù)，脈沖響應(yīng)以矩陣形式可表示為：矩陣中各元素均加以兩個腳標(biāo)第一個腳標(biāo)k(k=1,2,…,n)表示k處的響應(yīng)(輸出)；第二個腳標(biāo)i(i=1,2,…,m)表示i處的激勵(輸入)目前三十三頁\總數(shù)五十五頁\編于六點頻率響應(yīng)函數(shù)是脈沖響應(yīng)函數(shù)的傅立葉變換，因此，圖示系統(tǒng)共有n×m個頻率響應(yīng)函數(shù)，頻率響應(yīng)矩陣H(ω)可表示為目前三十四頁\總數(shù)五十五頁\編于六點已知系統(tǒng)的激勵和動態(tài)特性，便可確定系統(tǒng)響應(yīng)的各個統(tǒng)計特征。m個輸入和n個輸出可以表示為一、響應(yīng)的均值對于線性系統(tǒng)，每一個輸出Yk(t)(k=1,2,…,n)都可以由對應(yīng)于每個獨立輸入的響應(yīng)Yki(t)(i=1,2,…,m)疊加而成，如圖所示。目前三十五頁\總數(shù)五十五頁\編于六點假定各個輸入Xi(t)都是平穩(wěn)的隨機過程，則有常數(shù)目前三十六頁\總數(shù)五十五頁\編于六點對應(yīng)于每個獨立輸入(第i個輸入)的響應(yīng)Yki(t)的期望為k處總響應(yīng)的期望為寫成矩陣形式：目前三十七頁\總數(shù)五十五頁\編于六點系統(tǒng)的每一個輸出Yk(t)是對應(yīng)于各個獨立輸入的響應(yīng)的疊加：二、響應(yīng)的相關(guān)矩陣系統(tǒng)的響應(yīng)以矩陣形式的形式可以表示為下式其中Y(t)與X(t)是給出的列陣，而h(θ1)表示脈沖響應(yīng)矩陣。目前三十八頁\總數(shù)五十五頁\編于六點目前三十九頁\總數(shù)五十五頁\編于六點對上式進(jìn)行轉(zhuǎn)置得n個輸出的自相關(guān)與互相關(guān)函數(shù)構(gòu)成一個n×n階的輸出相關(guān)矩陣RY(τ)目前四十頁\總數(shù)五十五頁\編于六點上式也可以下列形式表示寫成若將該式中兩個積分的乘積改寫成二重積分，并交換求平均與積分的次序，可得目前四十一頁\總數(shù)五十五頁\編于六點該表達(dá)式給出了多輸入與多輸出系統(tǒng)的輸出相關(guān)矩陣與輸入相關(guān)矩陣之間的關(guān)系式，其中，輸入相關(guān)矩陣為:目前四十二頁\總數(shù)五十五頁\編于六點系統(tǒng)的n個輸出的自譜與互譜構(gòu)成了一個n×n階的輸出功率矩陣SY(ω)。三、響應(yīng)的譜矩陣其中矩陣元素為目前四十三頁\總數(shù)五十五頁\編于六點輸出功率矩陣也可以表示成下列表達(dá)式的形式：將輸出相關(guān)矩陣表達(dá)式代入上式，可得多輸入與多輸出系統(tǒng)的輸出功率譜矩陣與輸入功率譜矩陣間關(guān)系式目前四十四頁\總數(shù)五十五頁\編于六點其中H(ω)是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)矩陣，HT(ω)是H(ω)的轉(zhuǎn)置矩陣，H(ω)的共軛矩陣為而輸入功率譜矩陣為目前四十五頁\總數(shù)五十五頁\編于六點系統(tǒng)的m個激勵和n個響應(yīng)構(gòu)成一個m×n階互相關(guān)矩陣RXY(τ)

四、激勵與響應(yīng)的互相關(guān)矩陣矩陣的元素為目前四十六頁\總數(shù)五十五頁\編于六點矩陣的元素為激勵與響應(yīng)的互相關(guān)矩陣也可表示為：

目前四十七頁\總數(shù)五十五頁\編于六點系統(tǒng)的m個激勵和n個響應(yīng)構(gòu)成一個m×n階的互譜矩陣SXY(ω)

五、激勵與響應(yīng)的互譜函數(shù)其中，矩陣元素的定義為目前四十八頁\總數(shù)五十五頁\編于六點激勵與響應(yīng)的互譜矩陣也可表示為類似地，有下列表達(dá)式成立：Y為輸入，X為輸出YX，H的逆矩陣目前四十九頁\總數(shù)五十五頁\編于六點單輸入單輸出多輸入多輸出目前五十頁\總數(shù)五十五頁\編于六點考慮一多輸入與單輸出的常參數(shù)線性系統(tǒng)，若m個輸入Xi(t)(i=