數(shù)理方程試卷_第1頁
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文檔簡介

工程數(shù)學(xué)一.(10分)填空題1.初始位移為,初始速度為的無界弦的自由振動(dòng)可表述為定解問題:2.為使定解問題（為常數(shù)）中的邊界條件齊次化,而設(shè),則可選3.方程的通解為4．只有初始條件而無邊界條件的定解問題,稱為柯西問題.5．方程滿足條件的特解為二.(10分)判斷方程的類型，并化成標(biāo)準(zhǔn)形式．解：因?yàn)?，所以除軸外方程處處是橢圓型的?！?分它的特征方程是……5分即特征線為作變換：……7分求偏導(dǎo)數(shù)將二階偏導(dǎo)數(shù)代入原方程，便可得到標(biāo)準(zhǔn)形式……10分三.(10分)求解初值問題解：利用達(dá)朗貝爾公式……5分得……10分四.(15分)用分離變量法解定解問題……9分再將（1）,(2)代入方程得比較系數(shù),有……10分由初始條件得所以……11分解初值問題得……14分將代入級數(shù)(1)，得定解問題的解.……15分六.(15分)用積分變換法解無界桿熱傳導(dǎo)問題本題所用公式：解對x作傅氏變換，記FF……2分對方程和初始條件關(guān)于x取傅氏變換，有……7分解常微分方程的初值問題，得……10分再對進(jìn)行傅氏逆變換得F……13分……15分七.(15分)用靜電源像法求解上半平面的狄利克雷問題解先求格林函數(shù)，由電學(xué)知在上半平面的點(diǎn)處置單位負(fù)電荷，在關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)處置單位正電荷，則它與產(chǎn)生的電勢在x軸上互相抵消，因此上半平面的格林函數(shù)為……7分下面求……10分所以……15分八.(10分)證明調(diào)和方程的狄利克雷內(nèi)問題的解如果存在，則必是唯一的，而且連續(xù)地依賴于所給的邊界條件．證明：假設(shè)有兩個(gè)調(diào)和函數(shù)和，它們在有界區(qū)域的邊界上完全相同，則它們的差在中也滿足方程，且。由極值原理的推論知，函數(shù)在區(qū)域上最大值和最小值均為零，即。因此，即狄利克雷內(nèi)問題的解是唯一的。……5分其次，設(shè)在區(qū)域的邊界上給定了函數(shù)和，而且在上處處成立，這里是一個(gè)給定的正數(shù)。設(shè)分別是方程在區(qū)域上以和為邊界條件的狄利克雷內(nèi)問題的解，那么調(diào)和函數(shù)

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