微積分課件多元函數(shù)積分學(xué)

D

jg)dxifdxD

j i，jfdxfdx（2，

D1D2DDf(x,y)g(x,y)fdx DfMmmDfdxDDDbfdxD

f(a,；gD上的非負(fù)值連續(xù)函數(shù)，fDfDgfdxk y域，那么f

yy2(x)，x=a，x=bf(x,y)dxdy

b

y(x

y(x y yD

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f(x,f(x,y)ddr2()f(rcos,rsin 0。ds 1f2f SD

1f2f x,yz)m(x,y,f(x, fx,yz，用這個(gè)函數(shù)沿著曲面進(jìn)行積f(x,y,一般地寫(xiě)成 f(x,y,z)dsf(x,y,g(x,y))1g2 = nf(x,y)dslimf(i,i)n s0 fxyLLn個(gè)光滑弧段，sii個(gè)弧段的長(zhǎng)度，(

is f(x,y)dsf(x(t),L

(x'(t))2(；y=g（xaf(x,y)dsbf(x,g(xa 而如果曲線用極坐標(biāo)方程形式rg()給出，則相應(yīng)的計(jì) f(x,y)ds2f(g()cos,g()sinL

。D上的一個(gè)向量值函數(shù)：f(x,y)

f1(x,y)if2(x,y)jD n f(x,y)dslimf(i,i)si s0 設(shè)向量場(chǎng)的兩個(gè)分量為P(x,y)和Q(x,y)，那么第二型平面曲線積分的計(jì) P(x,y)dxP(x(t),y(t))x' Q(x,y)dyQ(x(t),y(t))y' 的任何一點(diǎn)的切向量t f(x,y)ds[P(x,y)cos(t,x)Q(x,y)cos(t, 時(shí)，區(qū)域D在邊界線的左邊，那么我們有如下：PdxQdy( P(x,y)dxQ(x,PdxQdy

DCDP(x,y)dxQ(x,P

D xBPdx ABPdx+Qdy分D內(nèi)總是成立P x（a，b，終點(diǎn)為（c，d）P(x,y)dxQ(x,L

=f(c,d)f(a,b)圓柱坐標(biāo)XYZ軸不變所得到的坐標(biāo)，因此xryrsin zZrZz同時(shí)為定值，表示起始于ZZZXxrsinyrsinsin zrZ和rZZ在圓柱坐標(biāo)系里是dvrdrddz；在球面坐標(biāo)系里是dvr2sindrdd

yxfzdv

；

f(x,y,z)dv

Sf(x,y,z)P(x,y,z)i如果對(duì)于S上的每一點(diǎn)，向量場(chǎng)在向上的投影沿著S所作的第一型曲面積分存在，則S沿著指定側(cè)的第二型曲面積分，即f(x,y,z) S的流量，而在物理R(x,y,SZR(x,y,

XY R(x,y,

R(x,y,f(x, 其中D為曲面S在XY平面上的投影區(qū)域正負(fù)號(hào)根據(jù)積分進(jìn)行時(shí)是否沿著向來(lái)決定設(shè)在空間區(qū)域C1Px,yz，Qx,yz，Rx,yz，而這個(gè)空間區(qū)域 (PQR

f(x,y,z)P(x,y,z)i

，divf(x,y,z)x，

那 fdS 0fdS

，可以看到與的相似形式了，運(yùn)用，得到fdS C1函數(shù)，就可以對(duì)上面等式右邊的三重積分應(yīng)用積分中值定理，再使得閉曲0，得到

fdivf(x,y,z)lim ，因此在物理場(chǎng)中，散度大于0的點(diǎn)稱為源，而小于0的點(diǎn)稱為匯更是具有非，fC

dsPdxQdy f(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,P xP xR z設(shè)定義在單連通區(qū)域fx,yzgx,yz的梯度，即為有CC

f定義在空間區(qū)域f(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,C1向量場(chǎng)，SCf dsf