復變函數(shù)與積分變換201120122第八章4講

1第八章拉普拉斯變換主要內(nèi)容1、拉氏變換的概念和存在定理

2、拉氏變換的性質(zhì)

3、卷積和卷積定理4、拉氏逆變換及其應用2§1拉普拉斯變換的概念1、問題

傅氏變換具有廣泛的應用，但有前提條件，除了滿足狄氏條件之外，還要求函數(shù)在絕對可積：即

實際上這個條件非常強，對函數(shù)的要求較高，而一些常見的函數(shù)都不滿足這一點.這就限制了傅氏變換的應用.3

另外，通常在實際應用中的許多以時間t為自變量的函數(shù)往往在t<0時是無意義的，或者不需要考慮的，像這樣的函數(shù)也不能取傅氏變換.提出問題：

如何對函數(shù)進行適當修改從而克服上述缺點呢？4

首先，對于一個函數(shù),將乘上u(t),

這樣t小于零的部分的函數(shù)值就都等于0了.從而將積分區(qū)間由（－∞，+∞）變?yōu)椋?，+∞）。

其次，大家知道指數(shù)函數(shù)的下降速度很快.幾乎所有的實用函數(shù)乘上u(t)，再乘以后得到的函數(shù)的傅氏變換都存在。5

這樣，對于給定的函數(shù)，經(jīng)過兩次修改再取傅氏變換后，結(jié)果產(chǎn)生了一種新型的積分.這就引出了拉普拉斯變換：6定義

設函數(shù)

f(t)當

t0時有定義,而且積分在s的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換(簡稱拉氏變換),記為

F(s)=L[f(t)].2、拉氏變換的定義7注：(1)F(s)稱為f(t)的拉氏變換(或稱為象函數(shù)).

而f(t)稱為F(s)的拉氏逆變換(或象原函數(shù))

記為f(t)=L-1[F(s)]也可記為f(t)F(s).8解：根據(jù)拉氏變換的定義,有例1

求單位階躍函數(shù)這個積分在Re(s)>0時收斂,且有所以9

上面顯示，兩個不同的函數(shù)有相同的拉普拉斯變換。實際上，一般在拉氏變換中所提到的函數(shù)f(t)均應理解為t<0時取值為零。例如，當f(t)=sint時，應理解為f(t)=u(t)sint練習注：10例2

求指數(shù)函數(shù)解：根據(jù)拉氏變換的定義,有這個積分在Re(s)>k時收斂,且有所以

k為復數(shù)時上式也成立,只是收斂區(qū)間為Re(s)>Re(k).113、拉氏變換存在定理從上面的例題中可以看出，拉式變換的條件比傅氏變換的條件弱得多。1.f(t)滿足什么條件時它的拉氏變換存在?2.當F(s)存在時，s的范圍是怎樣的？3.F(s)具有哪些性質(zhì)？問題：下面的拉式變換存在定理回答了上述問題。即有：12拉氏變換的存在定理：

若函數(shù)f(t)滿足:

在半平面Re(s)>c上一定存在,

并且在Re(s)>c的半平面內(nèi),F(s)為解析函數(shù).（1）在t0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；

（2）當t時,f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),即存在常數(shù)M>0及c0,使得

|f(t)|Mect，

0t<則f(t)的拉氏變換注：定理的條件是充分的.13例3

求

f(t)=sinkt(k為實數(shù))的拉氏變換.解：根據(jù)拉氏變換的定義,有所以同理可得14解：例4

求冪函數(shù)

f(t)=tm(m為正整數(shù))的拉氏變換.注意到所以15例5

求周期性三角波

且f(t+2b)=f(t)的拉氏變換.tbOb2b3b4bf(t)16解：根據(jù)定義，得17而注意到18一般地，若f(t)是周期為T的函數(shù)，則19必須指出，當f(t)在t=0有界時，積分這是因為但是，當f(t)在t=0處包含脈沖函數(shù)時，則在t=0處包含脈沖函數(shù)時拉氏變換的處理方法20

為了考慮這一情況,需將進行拉氏變換的函數(shù)f(t)在t0時有定義擴大為當t>0及t=0的某一鄰域內(nèi)有定義.這樣,