流體運動的基本概念

流體運動的基本概念第一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日1.1流體性質及研究模型1.連續(xù)介質模型質點：微小特征體積內含有足夠多分子數(shù)并具有確定的宏觀統(tǒng)計特性的分子集合。宏觀上充分小（與流動尺度相比）

微觀上足夠大（與分子平均自由程相比）連續(xù)介質假設：流體是由連續(xù)分布的流體質點構成的。第二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日2.流體的密度和容重均質流體：非均質流體：顯然第三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日3.流體的壓縮性和膨脹性VV-ΔVpp+Δp流體能承受壓力，當作用在流體上的壓強p增加時，流體的體積V減小，這種特性稱為流體的壓縮性。體積壓縮系數(shù)第四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日V+ΔVVTT+ΔT溫度升高，體積膨脹，這種特性稱為流體的膨脹性。溫度膨脹系數(shù)第五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日0℃時水的壓縮系數(shù)思考：氣體是否可被看作不可壓縮流體？4.900.5390.5379.810.53119.610.52339.230.51578.45對于氣體：不可壓縮流體：可以忽略壓縮性的流體，ρ、γ

均為常數(shù)。第六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日4.流體的粘性流體內部質點間或流層間因相對運動而產生內摩擦力以反抗相對運動的性質。粘性是流體阻止發(fā)生剪切變形和角變形的一種特性。當流體處于靜止或各部分之間相對速度為零時，流體的粘性就表現(xiàn)不出來，其內摩擦力也就等于零。（1）牛頓內摩擦定律第七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日（2）動力粘滯系數(shù)表征單位速度梯度作用力下的切應力，反映了粘滯性的動力性質。運動粘性系數(shù)衡量流體的流動性。常用單位為，稱為斯托克斯（St）。

第八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日（3）粘性系數(shù)的變化溫度影響：液體，T；氣體，T壓強對的影響不大。與有關，對可壓縮流體與壓力密切相關。溫度/℃水空氣

×103/Pa?s×106/m2/s

×105/Pa?s×105/m2/s01.7811.7851.711.32101.3071.3061.761.41201.0021.0011.811.50300.7980.8001.861.60400.6530.6581.901.68第九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日（4）牛頓流體與非牛頓流體（5）理想流體理想流體：假想的完全沒有粘性的流體（=0）。

粘性流體(實際流體)：一切流體都是粘性流體（

≠0）

。

引入理想流體概念可以大大簡化問題!第十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日1.2流體運動的描述方法歐拉法與拉格朗日法之間的轉換拉格朗日法歐拉法1歐拉法與拉格朗日法由于歐拉變數(shù)xi與拉氏變數(shù)ai有一定的關系第十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日例題已知L方法中，求E速度場。先求L速度表達式求位移函數(shù)的反函數(shù)代入得E速度場

第十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日習題1已知E速度場，求質點位移、速度的L表達式。習題2已知速度場，求質點加速度。第十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日定義：流體質點的物理量對時間的變化率。2隨體（質點）導數(shù)問題：采用歐拉法描述流體運動時如何求得隨體導數(shù)？（以加速度為例）L法：由xi=xi

(ai,t)直接對時間

t求偏導即

可得到質點加速度(a,b,c為質點記號)

第十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日Eu法：由于僅給出了空間點上的速度場

ui=ui(xi,t)

故

只表示某一空間點上速度隨時間的變化率，而不是某個確定的流體質點的加速度。那么質點加速度如何求得呢？第十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日對流體質點所具有的任一特征量

Fi(x1,x2

,x3)

更一般地稱為質點隨體導數(shù)公式我們有第十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日1.3流場的幾何描述1.跡線流體質點的運動軌跡。是拉格朗日方法研究的內容。跡線微分方程t是變量第十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日第十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日2.流線在同一瞬間，位于某條線上每一個流體微團的速度矢量都與此線在該點的切線重合，則這條線稱為流線。適于歐拉方法。第十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日流線微分方程流線是瞬時的線，下一瞬時速度場改變了，通過同一點的流線也會改變。用于理論分析，類似電力線，磁力線。t是參變量第二十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日流線的性質（1）流線彼此不能相交。（2）流線是一條光滑的曲線，不可能出現(xiàn)折點。（3）恒定流時流線形狀不變，非恒定流時流線形狀發(fā)生變化。（4）起點在不可穿越光滑固體邊界上的流線與該邊界的位置重合。第二十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日流線是流速場的矢量線，流線是與歐拉觀點相對應的概念。有了流線，流場的空間分布情況就得到了形象化的描繪。第二十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日例題：已知：直角坐標系中的速度場ux=x+t；uy=-y+t；uz=0,求：t=0時過M(-1,-1)點的流線與跡線。1流線(t為常數(shù))解：xy第二十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日2.跡線(t是變量)X若為恒定流動，則流線和跡線都是第二十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日1.4流體微團運動分析1HelmHoliz速度分解定理微團一般運動＝平動＋轉動＋角變形＋線變形流體微團：由大量流體質點組成具有線性尺寸效應（膨脹、變形、旋轉）的微小單元。第二十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日剛體：平動＋旋轉流體：平動＋旋轉＋變形（線變形，角變形）=+++平動線變形旋轉角變形流體團復合運動第二十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日對處于M0的質點鄰域內的流體微團運動進行分解：xj+dxjdxjxjui(M0

)ui(M

)M0(xj)M(xj+dxj)第二十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日Sij稱為應變率張量Sij只有6個獨立分量，除對角線元素外，其余元素兩兩對應相等。實際上，該張量描述流體微團的變形運動。第二十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日Rij稱為旋轉率張量Rij只有3個獨立分量，對角線元素為零，其余元素兩兩為負數(shù)。實際上，該張量描述流體微團的旋轉運動。第二十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日平動速度ui

(M0)2流體微團速度分解物理意義第三十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日轉動速度x1x2定義中心線轉動角速度(1=2)為微團轉動速度2x1x21第三十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日角變形率x1x2定義直角變形速度的一半為角變形率21x1x2第三十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日線變形率x1x2線變形為線變形率為第三十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日3有旋運動和無旋運動角速度矢量渦量第三十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日渦量連續(xù)性方程有旋流：無旋流：即第三十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日aaaabbbbccccddddabcdabcdabcdabcdabcdabcdabcd①③②第三十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日習題1已知速度場，求變形率，并判斷是否為不可壓縮流場。習題2已知兩流場，求流線（跡線）和角速度。第三十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日1.5流體受力分析

表面力壓力、摩擦力在流體中取一封閉曲面S為界面的體積V

，則作用在流體上的力可以分為兩類：

質量力重力、引力、慣性力SV第三十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日質量力：作用于流體的每一個質點且與質量成正比。（1）按質量分布用空間分布密度函數(shù)表出 （2）長程力具穿透性（3）三階小量作用于體元（4）矢量場1質量力

第三十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日表面力：作用于流體表面并且與表面積成正比。（1）按面積分布用表面分布密度函數(shù)表出。（2）近程力，僅發(fā)生在接觸面上。（3）二階小量作用在面元上（4）面力不僅是(xi,t)的函數(shù)，而且依賴于作用面的方向，常稱應力。用張量場描述

2表面力第四十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日3應力張量問題：過一點有無窮個面，而在每個面上面力通常又與表面的法線方向不一致。我們如何來描述一點的表面應力狀態(tài)呢？我們將證明：只須已知作用在三個坐標面上應力的九個分量，就可以將一點應力張量表示清楚。第四十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日

應力張量j

(n)

j(-n)

顯然，由右圖有（牛頓的作用于反作用定律）在流動空間中取一微四面體分析其上的受力情況第四十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日各面j

向應力：

j(-x1)，

j(-x2)，

j(-x3)，

j(n)-

j(x1)，-

j(x2)，-

j(x3)，

j(n)各面法線方向：-x1,-x2,-x3,dx1dx2dx3

j(-x1)

j(-x2)

j(-x3)

j(n)

-x1-x2

-x3

n

x2x1x3四面體各面為：dA1,dA2,

dA3,dA第四十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日總表面力為：-

j(x1)dA1，-

j(x2)dA2，-

j(x3)dA3，

j(n)dA

作用于微四面體上的力還有慣性力、重力等質量力，且他們均為三階小量。根據(jù)達朗伯原理，建立平衡方程，有j(n)dA＝j(x1)dA1

＋

j(x2)dA2＋

j(x3)dA3

dA1=dAcos(x1,n)

dA2=dAcos(x2,n)

dA3=dAcos(x3,n)第四十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日j(n)＝cos(x1,n)

j(x1)

＋cos(x2,n)

j(x2)＋cos(x3,n)

j(x3)若令第一角標為作用面的法線方向，第二角標為作用力的方向，注意到：cos(x1,n)，cos(x2,n)，cos(x3,n)為單位向量的方向余弦，我們有j(n)＝n11j

＋n22j

＋n33j

＝niij

第四十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日為應力張量。記為這里第四十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日理想流體：＝0，切應力均為零。若考慮nn在各軸上投影，有n1＝nncos(x1,n)

n2＝nncos(x2,n)n3＝nncos(x3,n)

4理想流體的應力張量

對理想流體有11＝22＝33＝nn＝-pt（

pt為理想流體壓力）ij＝-p

ij第四十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日靜止

不能承受切應力靜止流體：ui＝05靜止流體的應力張量

靜止p(xi)

p(xi,t)理想重復以上討論知，ij＝-p

i