新教材2023年高中數(shù)學第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用5.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用5.3.3利用導數(shù)解決與函數(shù)有關的問題課件新人教A版選擇性必修第二冊

第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用5.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用5.3.3利用導數(shù)解決與函數(shù)有關的問題關鍵能力·攻重難課堂檢測·固雙基素養(yǎng)目標·定方向素養(yǎng)目標·定方向學習目標核心素養(yǎng)借助教材實例進一步掌握導數(shù)在研究函數(shù)的單調性、極值、圖象、零點等問題中的應用數(shù)學運算能利用導數(shù)解決簡單的實際問題數(shù)學運算能利用導數(shù)研究函數(shù)的性質、解決簡單的實際問題數(shù)學運算邏輯推理關鍵能力·攻重難題型探究題型一三次函數(shù)的零點問題典例1【對點訓練】?設x3＋ax＋b＝0，其中a，b均為實數(shù)．下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的是___________．(寫出所有正確條件的編號)①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.[解析]

方法一：令f(x)＝x3＋ax＋b，則f′(x)＝3x2＋a.對于①，由a＝b＝－3，得f(x)＝x3－3x－3，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)極大值＝f(－1)＝－1<0，f(x)極小值＝f(1)＝－5<0，函數(shù)f(x)的圖象與x軸只有一個交點，故x3＋ax＋b＝0僅有一個實根；①③④⑤

對于②，由a＝－3，b＝2，得f(x)＝x3－3x＋2，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)極大值＝f(－1)＝4>0，f(x)極小值＝f(1)＝0，函數(shù)f(x)的圖象與x軸有兩個交點，故x3＋ax＋b＝0有兩個實根；對于③，由a＝－3，b>2，得f(x)＝x3－3x＋b，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)極大值＝f(－1)＝2＋b>0，f(x)極小值＝f(1)＝b－2>0，函數(shù)f(x)的圖象與x軸只有一個交點，故x3＋ax＋b＝0僅有一個實根；對于④，由a＝0，b＝2，得f(x)＝x3＋2，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在R上單調遞增，函數(shù)f(x)的圖象與x軸只有一個交點，故x3＋ax＋b＝0僅有一個實根；對于⑤，由a＝1，b＝2，得f(x)＝x3＋x＋2，f′(x)＝3x2＋1>0，f(x)在R上單調遞增，函數(shù)f(x)的圖象與x軸只有一個交點，故x3＋ax＋b＝0僅有一個實根．方法二：根據(jù)題意，直線y＝－b和函數(shù)f(x)＝x3＋ax的圖象有且僅有一個公共點．先考慮a＝－3的情形，此時f′(x)＝3x2－3，于是f(x)在x＝－1處取得極大值2，在x＝1處取得極小值－2，如圖所示．于是當b<－2或b>2時符合題意，故①③符合題意．再考慮a≥0的情形，此時f′(x)＝3x2＋a≥0，f(x)單調遞增，且值域為R，必然符合題意，故④⑤符合題意．題型二利用導數(shù)證明不等式典例2[規(guī)律方法]

構造函數(shù)法證明不等式一般地，待證不等式的兩邊都含有同一個變量，可通過構造函數(shù)，轉化為函數(shù)的最值問題來證明，其一般步驟如下：1．移項，使不等式的一邊為0，將另一邊構造為“左減右”或“右減左”的函數(shù)．2．利用導函數(shù)研究所構造的函數(shù)的單調性．3．借助構造函數(shù)的單調性可證結論成立． (1)(2022·龍鳳高二檢測)函數(shù)f(x)＝ex－kx，當x∈(0，＋∞)時，f(x)≥0恒成立，則k的取值范圍是 (

)A．k≤1

B．k≤2題型三恒成立問題典例3C

A

[規(guī)律方法]

分離參數(shù)法恒成立的問題求參數(shù)范圍，可根據(jù)題意化簡，參變分離，轉化為最值問題．1．在某區(qū)間上，f(x)≥m恒成立，則函數(shù)f(x)的最小值大于等于m.2．在某區(qū)間上，f(x)≤m恒成立，則函數(shù)f(x)的最大值小于等于m.x(0，a)a(a，＋∞)F′(x)－0＋F(x)↘極小值↗題型四實際生活中的最值問題典例4[分析]

代入數(shù)據(jù)求k的值，建造費用加上20年能源消耗綜合得出總費用f(x)，利用導數(shù)求最值．[規(guī)律方法]

解決優(yōu)化問題時應注意的問題(1)列函數(shù)解析式時，注意實際問題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域．(2)一般地，通過函數(shù)的極值來求得函數(shù)的最值．如果函數(shù)在給定區(qū)間內只有一個極值點，則根據(jù)實際意義判斷該值是最大值還是最小值即可，不必再與端點處的函數(shù)值進行比較．易錯警示利用參變分離時忽視自變量的取值范圍

設函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1，若對任意的x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，則實數(shù)a的值為____．典例54

[誤區(qū)警示]

本題上述解法中有兩處錯誤．(1)是在參數(shù)分離的過程中，要在不等式兩邊同時除以x3才能實現(xiàn)參數(shù)的分離，若x的取值范圍在正數(shù)區(qū)間上，可以避免討論；若x的取值范圍中包含零或負數(shù)，則需要進行分類討論．(2)是換元后未求新元t的范圍，t的范圍不再是[－1，1]．課堂檢測·固雙基1．函數(shù)f(x)＝(x2＋tx)ex(實數(shù)t為常數(shù)，且t<0)的圖象大致是

(

)[解析]

由f(x)＝0得x2＋tx＝0，得x＝0或x＝－t，即函數(shù)f(x)有兩個零點，排除A，C，函數(shù)的導數(shù)f′(x)＝(2x＋t)ex＋(x2＋tx)ex＝[x2＋(t＋2)x＋t]ex，當x→－∞時，f′(x)>0，即在x軸最左側，函數(shù)f(x)為增函數(shù)，排除D．B

C

3．設底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則其表面積最小時，底面邊長為

(

)C

m>7

5．給定函數(shù)f(x)＝ex－x.(1)判斷函數(shù)f(x)的單調性，并求出f(x)的值域；(2)畫出函數(shù)f(x)的大致圖象；(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在區(qū)間[－1，2]的解的個數(shù)．[解析]

(1)函數(shù)的定義域為R，f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0.f′(x)，f(x)的變化情況如表所示：所以，f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調遞減，在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞增．當x＝0時，f(x)的極小值f(0)＝1.也是最小值，故函數(shù)f(x)的值域為[1，＋∞)．x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)單調遞減1單調遞增(2)由(1)可知，函數(shù)的最小值為1.當x→