高等數(shù)學大一99方向?qū)?shù)與梯度

第九講方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)二、梯度方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)二、梯度一、方向?qū)?shù)（一）定義（二）計算一、方向?qū)?shù)（一）定義（二）計算引言偏導數(shù)xyOD函數(shù)沿x軸方向的變化率函數(shù)沿y軸方向的變化率函數(shù)沿坐標軸方向的變化率函數(shù)沿任一方向的變化率？例如：在氣象學中,需要確定大氣溫度氣壓……沿某些方向的變化率方向?qū)?shù)引言設在的某一鄰域內(nèi)有定義,是以為起點的一條射線是上任一點,射線的參數(shù)方程:yxzO定義設在的某一鄰域為始點的一條射線,是上另一點,是以內(nèi)有定義,且如果函數(shù)增量與到的距離的比值當沿著l趨于(即)時的極限存在，則稱此極限為函數(shù)在沿方向l的方向?qū)?shù),記作注二元函數(shù)在沿方向l(方向角為的方向?qū)?shù)為(1)(2)刻畫了函數(shù)在沿方向l的變化率注(3)(4)單側極限例定義式的特點比式分子:射線l上兩點函數(shù)值之差分母:射線l上兩點的距離偏導數(shù)與方向?qū)?shù)存在,但不存在一、方向?qū)?shù)（一）定義（二）計算一、方向?qū)?shù)（一）定義（二）計算定理函數(shù)在該點沿任意方向l的方向?qū)?shù)存在,且有如果函數(shù)在點可微分,那么其中是方向l的方向余弦.例1求在點沿方向l的方向?qū)?shù),其中l(wèi)的方向角分別為例2設是曲面在點處指向外側的法向量,求函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù).注則有如果函數(shù)在點可微分,例3求函數(shù)在點沿從點到點的方向?qū)?shù).例4求函數(shù)在拋物線上點處,沿著這拋物線在該點處偏向x軸正向的切線方向的方向?qū)?shù).方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)二、梯度方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)二、梯度二、梯度（一）概念（二）計算（三）物理意義二、梯度（一）概念（二）計算（三）物理意義定義即:設函數(shù)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),稱向量為函數(shù)在點的梯度,記作或其中稱為(二維的)向量微分算子或Nabla算子定義其中:設函數(shù)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),稱向量為函數(shù)在點的梯度,記作或稱為(三維的)向量微分算子或Nabla算子與方向?qū)?shù)的關系最大值最小值梯度是一個向量方向:方向?qū)?shù)最大值的方向注大小:方向?qū)?shù)的最大值函數(shù)增加最快函數(shù)減少最快函數(shù)變化率為零梯度的投影幾何意義曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線平面曲線稱為函數(shù)的等值線.等值線上任一點處的法向量函數(shù)在一點處的梯度就是等值線在這點的法向量,由數(shù)量低的等值線指向數(shù)量高的等值線.xOyxOyz類似地,曲面稱為函數(shù)的等值面.函數(shù)在一點處的梯度就是等值面.在這點的法向量,由數(shù)量低的等值面指向數(shù)量高的等值面.二、梯度（一）概念（二）計算（三）物理意義二、梯度（一）概念（二）計算（三）物理意義例5求例6設求(1)在處增加最快的方向以及沿這個方向的方向?qū)?shù).(2)在處減少最快的方向以及沿這個方向的方向?qū)?shù).(3)在處的變化率為零的方向.例7設問在處的沿什么方向變化最快,變化率是多少.例8求曲面在點的切平面和法線方程.二、梯度（一）概念（二）計算（三）物理意義二、梯度（一）概念（二）計算（三）物理意義物理量在空間的分布數(shù)量場場:如:溫度場,密度場等任意一個向量場不一定是梯度場.用數(shù)量函數(shù)表示向量場如:力場,速度場等用向量函數(shù)表示例:由數(shù)量函數(shù)產(chǎn)生的梯度場是一個勢場.注