2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知等差數(shù)列中，，公差，則（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，等差數(shù)列通項(xiàng)，所以.故選：C2．已知、、成等比數(shù)列，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?、、成等比?shù)列，所以，解得；故選：C3．已知等差數(shù)列，，則等于（

）A．6 B．10 C．12 D．15【答案】A【分析】由題意，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，等差數(shù)列中，，故選：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4．?dāng)?shù)列中，，，則等于（

）A．18 B．27 C．36 D．54【答案】D【分析】由題意可得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出.【詳解】由題意可得出，即可證明是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.故選：D.5．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式可得.【詳解】由知故選：B6．等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用題意得到，即可求出答案【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，所以，所以故選：C7．根據(jù)歷年的氣象數(shù)據(jù)，某市月份發(fā)生中度霧霾的概率為，刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為，既發(fā)生中度霧霾又刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為，則在發(fā)生中度霧霾的情況下，刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用條件概率的概率公式求解即可.【詳解】設(shè)發(fā)生中度霧霾為事件，刮四級(jí)以上大風(fēng)為事件，由題意知：，，，則在發(fā)生中度霧霾的情況下，刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為.故選：C.8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則是（

）A．公差為2的等差數(shù)列 B．公差為3的等差數(shù)列C．公比為2的等比數(shù)列 D．公比為3的等比數(shù)列【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列的第項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有，，得，當(dāng)時(shí)，適合上式，因?yàn)椋栽摂?shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，故選：A9．函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，，即有，而，則過點(diǎn)，斜率為1的直線方程為：，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故選：D10．設(shè)為定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù)，所以，又因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，，所以，即.故選：B.11．從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)度依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分這三個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)度之和為尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)度之和為尺，則谷雨這一天的日影長(zhǎng)度為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】A【分析】根據(jù)題意，分別設(shè)十二個(gè)節(jié)氣為，再運(yùn)用等差中項(xiàng)求解.【詳解】設(shè)冬至，小寒，大寒，立春，雨水，驚蟄，春分，清明，谷雨，立夏，小滿，芒種這十二個(gè)節(jié)氣為：，且其公差為，依題意有：，，，公差，則，所以谷雨這一天的日影長(zhǎng)度為尺，故選：A12．已知函數(shù)，那么“”是“在上為增函數(shù)”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，進(jìn)而得時(shí)，，在上為增函數(shù)，然后判斷充分性和必要性即可.【詳解】解：因?yàn)榈亩x域是，所以，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù).所以在上為增函數(shù)，是充分條件；反之，在上為增函數(shù)或，不是必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，屬于中檔題.13．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖像，如圖所示，那么函數(shù)（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在處取得極小值C．在處切線斜率取得最大值 D．在處取得最大值【答案】C【分析】本題首先可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像分析出函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可判斷出A、B、D錯(cuò)誤，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值的幾何意義即可得出C正確.【詳解】結(jié)合圖像易知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，不一定是最大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，結(jié)合上述易知，A、B、D錯(cuò)誤，因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值即函數(shù)在這點(diǎn)處的切線斜率，所以由圖像易知，在處切線斜率取得最大值，C正確，故選：C.14．等比數(shù)列滿足，，記，則數(shù)列（

）A．無最大值，有最小值B．無最大值，無最小值C．有最大值，無最小值D．有最大值，有最小值【答案】D【分析】求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出，再由數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)的意義判斷作答.【詳解】依題意，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，，，由知，時(shí)，數(shù)列是遞增的，時(shí)，數(shù)列是遞減的，于是得數(shù)列的最大項(xiàng)為，而n為奇數(shù)時(shí)，，n偶數(shù)時(shí)，，所以和分別是數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).故選：D.15．若數(shù)列滿足，則稱為“夢(mèng)想數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列為“夢(mèng)想數(shù)列”，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的定義可推導(dǎo)出“夢(mèng)想數(shù)列”是公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而結(jié)合題意可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，由此可得，即可得解.【詳解】由題意可知，若數(shù)列為“夢(mèng)想數(shù)列”，則，可得，所以，“夢(mèng)想數(shù)列”是公比為的等比數(shù)列，若正項(xiàng)數(shù)列為“夢(mèng)想數(shù)列”，則，所以，，即正項(xiàng)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，因?yàn)?，因此?故選：B二、雙空題16．①已知事件與事件相互獨(dú)立，如果，，那么_______；②已知，，則______【答案】//0.75【分析】①由相互獨(dú)立事件的乘法公式求解即可；②由條件概率公式求解即可.【詳解】①事件與事件相互獨(dú)立，；②，所以.故答案為：；.17．①設(shè)函數(shù)，則______；②已知，則______【答案】【分析】①求導(dǎo)，再令即可；②求導(dǎo)，再令即可.【詳解】①，則；②，則.故答案為：；.18．在等差數(shù)列中，公差d不為0，，且成等比數(shù)列，則___________；當(dāng)___________時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和有最大值．【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列得到，解得，再計(jì)算，，得到答案.【詳解】成等比數(shù)列，故，即，解得或（舍）.，,，，故時(shí)，有最大值.故答案為：；三、填空題19．學(xué)校需要在報(bào)名的2名男教師和3名女教師中，選取2人參加無償獻(xiàn)血，則恰好選中一名男教師和一名女教師的概率為______【答案】/【分析】先分別求出基本事件的總數(shù)和符合題意的基本事件的個(gè)數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式即可得解.【詳解】先選一名男教師，有種，再選一名女教師，有種，則恰好選中一名男教師和一名女教師的概率為.故答案為：.四、雙空題20．①某班植樹小組今年計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植樹2棵，以后每天植樹的棵樹是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)等于_______；②______【答案】6/【分析】①利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，計(jì)算求解；②利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】①設(shè)每天植樹的棵樹為，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，數(shù)列的前項(xiàng)和為，，得，所以至少需要6天；②.故答案為：；.21．日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的.隨著水的純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加.已知將噸水凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用（單位：元）為.則凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率的___________倍，這說明，水的純凈度越高，凈化費(fèi)用增加的速度越___________（填“快”或“慢”）.【答案】快【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可知凈化所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率即為函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，即先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后將和代入進(jìn)行計(jì)算，再求，即可得到結(jié)果，進(jìn)而能夠判斷水的純凈度越高，凈化費(fèi)用增加的速度的快慢．【詳解】由題意，可知凈化所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率為，所以，，所以，所以凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率的倍；因?yàn)?，可知水的純凈度越高，凈化費(fèi)用增加的速度越快.故答案為：，快.五、解答題22．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用已知條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和.【詳解】（1）由等差數(shù)列中設(shè)首項(xiàng)為，公差為，由于：，.則：，解得,所以.（2），則23．在數(shù)列和中，，，，，等比數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，求的值．【答案】(1),；(2).【分析】（1）根據(jù)等差和等比數(shù)列通項(xiàng)的求法得到，；（2），，可得到，進(jìn)而求出參數(shù)值.【詳解】（1）解：因?yàn)?，且，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．所以，即．

因?yàn)?，，且，?/p>

所以，．

因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，

所以數(shù)列的公比，

所以，即．（2）解：因?yàn)?，，所以?/p>

所以．

因?yàn)?，所以，解得．所?4．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最值.【答案】(1)在、上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；(2)在區(qū)間，上的最大值為2，最小值為．【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）可知，函數(shù)在，、上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，求出端點(diǎn)值和極值，比較即可求出最值．【詳解】（1）根據(jù)題意，由于，，得到，，在、上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；（2）由（1）可知，函數(shù)在，，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，，（1），，，在區(qū)間，上的最大值為2，最小值為．25．牛排主要分為菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T骨牛排，某牛肉采購(gòu)商從采購(gòu)的一批牛排中隨機(jī)抽取100盒，利用牛排的分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：牛排種類菲力牛排肉眼牛排西冷牛排T骨牛排數(shù)量/盒20302030(1)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從這100盒牛排中抽取10盒，再?gòu)某槿〉?0盒牛排中隨機(jī)抽取4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率；(2)若將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從這批牛排中隨機(jī)抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛排的數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）先根據(jù)分層抽樣分別求出T骨牛排和非T骨牛排的和數(shù)，再利用古典概型求解即可；（2）先求出從這批牛排中隨機(jī)抽取1盒，抽到菲力牛排的概率，由題意可得服從二項(xiàng)分布，再根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列及期望公式求解即可.【詳解】（1）用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從這100盒牛排中抽取10盒，其中T骨牛排有3盒，非T骨牛排有7盒，再?gòu)闹须S機(jī)抽取4盒，設(shè)恰好有2盒牛排是T骨牛排為事件A，則；（2）這100盒牛排中菲力牛排有20盒，所以菲力牛排的頻率為，設(shè)從這批牛排中隨機(jī)抽取1盒，抽到菲力牛排的事件為B，將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體可得，從這批牛排中隨機(jī)抽取3盒，抽到的菲力牛排的數(shù)量X滿足，，．所以X的分布列為X0123P所以．26．已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若和有相同的最小值，求a的值．【答案】(1)(2)答案見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）根據(jù)題意，分和兩種情況討論求解即可；（3）結(jié)合（2）得，求得，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，研究其零點(diǎn)即可得答案.【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，所以，所以，，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程，即．（2）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，，所以，?dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，減區(qū)間為，增區(qū)間為.（3）解：由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以，因?yàn)?，得，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，，因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈担?，即，令，，令，，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，所以，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，等價(jià)于27．已知為有窮數(shù)列.若對(duì)任意的，都有（規(guī)定），則稱具有性質(zhì).設(shè)(1)判斷數(shù)列，是否具有性質(zhì)？若具有性質(zhì)，寫出對(duì)應(yīng)的集合；(2)若具有性質(zhì)，證明：【答案】(1)不具有性質(zhì),具有性質(zhì),(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)的定義,觀察到,可得不具有性質(zhì),根據(jù),可以發(fā)現(xiàn)中相鄰兩項(xiàng)及首尾兩項(xiàng)的差的絕對(duì)值均小于等于1,故具有性質(zhì),根據(jù)定義代入求值,即可得出;（2）“”等價(jià)于“證明兩個(gè)元素至少有一個(gè)在中”,利用反證法假設(shè)兩個(gè)元