數(shù)理統(tǒng)計的MATLAB求解課件

1隨機變量及其分布注：以后碰到命令末尾為：rnd----產(chǎn)生隨機數(shù)X；cdf----產(chǎn)生分布函數(shù)F(x)pdf----產(chǎn)生密度函數(shù)p(x)或分布列Px=P{X=x}inv----計算x=F-1(p)→p=F

(x)6/6/20231常見分布的隨機數(shù)產(chǎn)生6/6/20232專用函數(shù)計算概率密度函數(shù)表6/6/20233專用函數(shù)的累積概率值函數(shù)表6/6/20234常用臨界值函數(shù)表6/6/20235常見分布的均值和方差6/6/202363.1隨機變量及其分布例3.1某人向空中拋硬幣100次，落下為正面的概率為0.5。這100次中正面向上的次數(shù)記為X：(1)試計算x=45的概率和x≤45的概率；(2)繪制分布函數(shù)圖象和分布列圖象。程序：》clear;px=binopdf(45,100,0.5)%計算x=45的概率

px=0.0485fx=binocdf(45,100,0.5)%計算x≤45的概率

fx=0.1841》x=1:100;p1=binocdf(x,100,0.5);plot(x,p1,'+');title('分布函數(shù)圖')6/6/202373.1隨機變量及其分布p2=binopdf(x,100,0.5);plot(x,p2,'*r')；title('概率分布圖'）6/6/202383.1隨機變量及其分布例3.2設X~N(2,0.25)(1)求概率P{1<X<2.5}；(2)繪制分布函數(shù)圖象和分布密度圖象;(3)畫出區(qū)間[1.5,1.9]上的分布密度曲線下方區(qū)域。程序:(1)p=normcdf(2.5,2,0.5)-normcdf(1,2,0.5)

p=0.8186(2)x=0:0.1:4;px=normpdf(x,2,0.5);fx=normcdf(x,2,0.5);plot(x,px,'+b');holdon;plot(x,fx,'*r');legend('正態(tài)分布函數(shù)','正態(tài)分布密度');(3)specs=[1.5,1.9];pp=normspec(specs,2,0.5)6/6/202393.1隨機變量及其分布6/6/2023103.2隨機變量函數(shù)的分布根據(jù)概率統(tǒng)計教材中的定理：如果已知隨機變量X的密度fX(x),隨機變量函數(shù)Y=g(X)單調，則Y的密度函數(shù)為：fY(x)=fX(h(y))|h'(y)|,其中x=h(y)是y=g(x)的反函數(shù)。如果y=g(x)不單調，則將定義域分成若干單調區(qū)間進行討論。也可利用：據(jù)此意思，計算隨機變量函數(shù)的分布相當于編程6/6/202311例3.3設隨機變量X服從均勻分布U[0,1]，求Y=eX的分布。程序：clear;x=solve('y=exp(x)')x=log(y)dy=diff(x,'y')dy=1/yfy=1*abs(dy)fy=1/|y|注：取值區(qū)域需要自己確定，用積分求法作為練習！3.2隨機變量函數(shù)的分布6/6/2023123.3隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)學期望1.數(shù)組的平均值---Y=mean(X)功能：當X為向量時，輸出一個平均數(shù)；當X為矩陣時，輸出為行向量，對應于矩陣每列的平均值；因此計算矩陣所有數(shù)的平均值，應用嵌套：mean(mean(X))或m=mean(X(:))與此類似的有：求和(sum),最大(max),最小(min)等2.離散型隨機變量的期望----EX=sum(X.*P)功能：計算隨機值向量X與對應概率向量P的乘積之和3.連續(xù)型隨機變量的期望----EX=int(x*fx,x,a,b)功能：用積分計算期望6/6/2023133.3隨機變量的數(shù)字特征例3.4設隨機變量X的分布列，求期望。程序：clear;x=[-1,0,2,3];p=[1/8,1/4,3/8,1/4];EX=sum(x.*p)1.3750X-1023P1/81/43/81/46/6/2023143.3隨機變量的數(shù)字特征例3.5設隨機變量X的分布密度為：且EX=3/5，求常數(shù)a,b的值。程序：clear;symsabx;fx=a+b*x^2;EX=int(x*fx,x,0,1)EX=1/4*b+1/2*a

F=int(fx,x,0,1)F=a+1/3*b

f1=EX-3/5;f2=f-1;[a,b]=solve(f1,f2)a=3/5,b=6/56/6/2023153.3隨機變量的數(shù)字特征例3.6設隨機變量X的分布密度為：求隨機變量Y=|X|的期望。程序：clear;symsx;fx1=0.5*exp(x);fx2=0.5*exp(-x);EY=int(-x*fx1,x,-inf,0)+int(x*fx2,x,0,inf)EY=16/6/2023163.3隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的方差1.統(tǒng)計數(shù)據(jù)的方差---D=var(X,1)功能：當X為向量時，輸出一個標量；當X為矩陣時，輸出為行向量，對應于矩陣每列的方差值；因此計算矩陣所有數(shù)的方差值，應用嵌套：var(var(X))

缺省1，計算：否則計算：2.統(tǒng)計數(shù)據(jù)的標準差---S=std(X,1)功能：用法和1的解釋同上3.

一般隨機變量的方差----DX=E(X2)-(EX)2功能：用積分或級數(shù)編程計算6/6/2023173.3隨機變量的數(shù)字特征例3.7設隨機變量X的分布密度為：求隨機變量X的期望和方差。程序：clear;symsx;fx=2/pi*(cos(x))^2;EX=int(x*fx,x,-pi/2,pi/2)E2X=int(x^2*fx,x,-pi/2,pi/2)DX=E2X-EX^2

6/6/2023183.3隨機變量的數(shù)字特征常見分布的期望和方差1.二項分布---[E,D]=binostat(n,p)說明:n,p可以是標量,向量,矩陣,則E,D是對應的標量,向量,矩陣2.超幾何分布---[E,D]=hygestat(M,N,K)3.泊松分布---[E,D]=poissstat(lambda)4.均勻分布---[E,D]=unifstat(a,b)5.指數(shù)分布---[E,D]=expstat(lambda)6.正態(tài)分布---[E,D]=normstat(mu,sigma)其他：gamstat(),tstat(),fstat(),chi2stat()等等6/6/2023193.3隨機變量的數(shù)字特征協(xié)方差與相關系數(shù)的計算1.隨機變量的協(xié)方差---cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)2.隨機變量的相關系數(shù)---ρ=cov(X,Y)/sqrt(DX*DY)3.統(tǒng)計數(shù)據(jù)的協(xié)方差cov(X)-----當X為向量時,cov(X)=var(X);當X為矩陣時,結果為X的協(xié)方差矩陣.對角線是X每列的方差,Xij為X的第i列和第j列的協(xié)方差值。cov(X,Y)-----計算向量X和Y的協(xié)方差值4.統(tǒng)計數(shù)據(jù)的相關系數(shù)corrcoef(X),corrcoef(X,Y)-----說明與用法與cov()相同6/6/2023203.3隨機變量的數(shù)字特征矩的計算1.隨機變量的k階中心矩---Bk=moment(X,k)2.隨機變量的k階原點矩---Ak=sum(X.^k)/length(X)6/6/2023213.4參數(shù)估計常用分布的參數(shù)估計1.正態(tài)分布的參數(shù)估計格式：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,alpha)功能：數(shù)組X服從正態(tài)分布,給定顯著水平alpha,缺省時為0.05,前二項給出點估計，后二項給出區(qū)間估計。X為矩陣時,針對列進行計算。2.二項分布的參數(shù)估計(n重已知,p未知)格式：[phat,puci]=binofit(X,n,alpha)3.泊松分布的參數(shù)估計格式：[lbdhat,lbdci]=poissfit(X,alpha)4.均勻分布的參數(shù)估計格式：[ahat,bhat,aci,bci]=unifit(X,alpha)6/6/2023223.4參數(shù)估計5.指數(shù)分布的參數(shù)估計格式：[lbdhat,lbdci]=expfit(X,alpha)6.通用命令mle()格式：[輸出參數(shù)項]=mle('分布函數(shù)名',X,alpha[,N])說明：分布函數(shù)名有：bino(二項),geo(幾何),hyge(超幾何)poiss(泊松),uinf(均勻),unid(離散均勻),exp(指數(shù))norm(正態(tài)),t(T分布),f(F分布),beta(貝塔),gam(伽嗎)N當二項時需要，其他沒有。6/6/202323例3.8設生成一組均值為15,方差為2.52的正態(tài)分布的隨機數(shù)據(jù)，然后對這組數(shù)據(jù)進行置信度97%的參數(shù)估計。程序：clear;w=normrnd(15,2.5,50,1);或w=15+2.5*randn(50,1);alpha=0.03;[mh,sh,mc,sc]=normfit(w,alpha)運行一次：mh=15.1076sh=2.4038mc=14.3478~15.8674sc=1.9709~3.07033.4參數(shù)估計6