高數(shù)1上總復(fù)習(xí)

高等數(shù)學(xué)(上)期末復(fù)習(xí)基本概念基本方法基本定理,概念羅列函數(shù)(有確定對應(yīng)規(guī)則),自變量,定義域及求法,有(上,下)界,無界,奇、偶函數(shù),單調(diào)(增、減)函數(shù),復(fù)合函數(shù),直接函數(shù)與反函數(shù)(關(guān)于y=x對稱),基本初等函數(shù)及對應(yīng)圖形,初等函數(shù);極限,左右極限,單側(cè)極限,無窮大與無窮小,無窮小的階(高階,低階,同階,數(shù)量階),等價(jià)無窮小,連續(xù)(3定義:

),間斷,間斷點(diǎn)分類,導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義K切,K法=-/K切,高階導(dǎo)數(shù),變化率,相關(guān)變化率,微分(線性主部).不定積分(原函數(shù)族),原函數(shù)-已知.定積分(和式的極限是數(shù)).反常積分,奇點(diǎn)(特別注意積分區(qū)間內(nèi)有無奇點(diǎn)).極值,駐點(diǎn),最值,曲率定義及2個(gè)計(jì)算公式:

垂直,水平漸近線,斜漸近線:基本定理極限及無窮小,無窮大的性質(zhì),無窮小與極限的關(guān)系,極限性質(zhì):惟一,有界,保號,局部服從全體(判極限不存在).極限的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算性質(zhì)(參與的變量極限一定要存在);連續(xù)函數(shù)經(jīng)+,-,*,/與復(fù)合運(yùn)算后仍連續(xù);閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的兩類性質(zhì):有界和最值，0點(diǎn)和介值Th.可導(dǎo)必連續(xù),連續(xù)不一定可導(dǎo).左右極限,左右連續(xù),左右導(dǎo)數(shù)及其相互關(guān)系.可導(dǎo)充要條件是可微.dy=y’dx.4個(gè)微分中值定理+1個(gè)拉氏定理推論.極限性質(zhì)：唯一性，有界性，保號性，母與子。保號性指極限和部分函數(shù)值保持同樣的符號。由極限推知部分函數(shù)值的符號時(shí)是嚴(yán)格的關(guān)系；由部分函數(shù)值推知極限的符號時(shí)是非嚴(yán)格的關(guān)系。母子關(guān)系即子數(shù)列極限和函數(shù)極限(母)的一致關(guān)系。是兩單側(cè)極限存在且相等。也可以包含單雙側(cè)關(guān)系即雙側(cè)極限存在的充要條件部分函數(shù)值指自變量發(fā)展到某時(shí)刻后對應(yīng)的函數(shù)值無窮小性質(zhì)：無窮小的有限和、有限積是無窮小。無窮小與有界變量的乘積是無窮小。無窮大性質(zhì)1/無窮大=無窮小，1/無窮小=無窮大。運(yùn)算：但：則不一定。(2)無窮大加、減有界量仍無窮大。積分的基本定理線性,換元法,分部積分法.線性:換元法:分部積分法:變上限求導(dǎo):（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念主要內(nèi)容：第一章函數(shù)與極限函數(shù)的定義反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)單值與多值奇偶性單調(diào)性有界性周期性雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)7種自變量的變化(1)自變量n→∞;(2)自變量x→x0

；(3)自變量x→x0+0；

(4)自變量x→x0-0；(5)自變量x→∞

；(6)自變量x→+∞

；(7)自變量x→-∞。--雙側(cè)--雙側(cè)單側(cè)單側(cè)極限和無窮大定義(1)自變量n→∞(2)自變量x→x0

(3)自變量x→x0+0

(4)自變量x→x0-0(6)自變量x→+∞(5)自變量x→∞(7)自變量x→-∞7種自變量發(fā)展到某時(shí)刻后的精準(zhǔn)定義(3)函數(shù)f(x)→∞即f(x)無窮大；(4)函數(shù)f(x)→+∞即f(x)正無窮大；(5)函數(shù)f(x)→-∞即f(x)負(fù)無窮大。(1)函數(shù)f(x)→極限A;(2)函數(shù)α→0即α無窮小;隨著自變量變化下5種函數(shù)的變化5種函數(shù)變化的精準(zhǔn)定義(1)函數(shù)f(x)→A(2)α無窮小(3)f(x)無窮大(4)f(x)正無窮大(5)f(x)負(fù)無窮大極限的求法:若函數(shù)連續(xù):(最常用),初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù).四則運(yùn)算,冪運(yùn)算和有理函數(shù)在的計(jì)算公式.去0因子,及有理化后去0因子或產(chǎn)生再去;變量代換(基礎(chǔ)是復(fù)合函數(shù)的極限,復(fù)雜時(shí)用),有界與無窮小之積是無窮小.無窮大與無窮小(除0外)互為倒數(shù)關(guān)系.兩準(zhǔn)則:夾逼,單調(diào)有界;湊兩個(gè)重要極限:湊1)1∞；2)含三角函數(shù)且;等價(jià)無窮小替換(注:只用于乘除,加減不能用)洛必達(dá)法則(最有效非萬能).冪運(yùn)算有限數(shù)是不定式.或或是不存在.是不存在.不定式.是冪運(yùn)算是不定式.總之，考慮：是不存在.不定式.是9個(gè)等價(jià)無窮小替換公式，注1:lim的使用:變量未消失時(shí),一定有l(wèi)im.變量已消失時(shí),一定沒有l(wèi)im.注2:分毋為0肯定是無意義.具體運(yùn)算時(shí),不要出現(xiàn)0/0,1/0等，這些只是符號.第二章內(nèi)容提要1、導(dǎo)數(shù)的定義2、基本導(dǎo)數(shù)公式（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式16個(gè)）3、求導(dǎo)法則4、高階導(dǎo)數(shù)(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù))5、微分的定義6、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系7、微分的求法8、微分的基本法則（7個(gè)）導(dǎo)數(shù)的求法定義(導(dǎo)數(shù)是切線斜率)多用于抽象函數(shù)或分段函數(shù)在固定點(diǎn).初等函數(shù)求導(dǎo),基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式,求導(dǎo)(+-*/)運(yùn)算法則,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式,反函數(shù)求導(dǎo)公式;隱函數(shù)求導(dǎo)公式,對數(shù)求導(dǎo)法,參數(shù)方程求導(dǎo)公式,高階導(dǎo)數(shù)公式.初等函數(shù)求導(dǎo)公式運(yùn)算法則：隱函數(shù)求導(dǎo)要點(diǎn):方程兩端同時(shí)關(guān)于x求導(dǎo),遇到y(tǒng)時(shí),將y當(dāng)作中間變量,先對y求導(dǎo),然后,馬上乘以y′,最后解出y′.對數(shù)求導(dǎo)注意點(diǎn):要充分地使用對數(shù)性質(zhì).將對數(shù)性質(zhì)發(fā)揮至極致.適用于(1)冪指函數(shù);(2)多因子乘積.參數(shù)方程求導(dǎo)注意點(diǎn):y,y′是t的函數(shù),對t求導(dǎo)后一定要及時(shí)除以xt.（3）萊布尼茨（Leibniz）公式高階導(dǎo)數(shù)公式求高階導(dǎo)數(shù)的方法小結(jié)抽象函數(shù)關(guān)于某一點(diǎn)或分段函數(shù)在分段點(diǎn)求(高階)

導(dǎo)數(shù),多用定義求得.具體函數(shù)的低階導(dǎo)數(shù)要由一階導(dǎo)數(shù),二階導(dǎo)數(shù),…,

依序算出.簡單函數(shù)類的高階導(dǎo)數(shù)求至3,4階后,盡量把它們變換成同一形式,用不完全歸納法得一般規(guī)律.或套公式(1)做.簡單函數(shù)類指f(x)=xa,ex,ax,sinx,cosx,Lnx等和中間變量為線性的函數(shù)復(fù)合而成.不太復(fù)雜函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),先化成簡單函數(shù)類的線性組合,而后用高階導(dǎo)數(shù)的線性運(yùn)算法則即公式(2)做.尤其是多項(xiàng)式和簡單函數(shù)類乘積的高階導(dǎo)數(shù),用

Leibniz公式.洛必達(dá)法則Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理單調(diào)性,極值與最值,凹凸性,拐點(diǎn),函數(shù)圖形的描繪;曲率;求根方法.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用主要內(nèi)容條件:滿足：（1）在閉區(qū)間[a,b]

上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)

內(nèi)可導(dǎo)；（3）結(jié)論:

在開區(qū)間(a,b)

內(nèi)至少有一點(diǎn)，使微分中值定理的特點(diǎn)羅爾中值定理適用于有關(guān)方程的根(在端點(diǎn)處給出函數(shù)值及牽涉到一個(gè)函數(shù));拉格朗日中值定理的適用于有關(guān)函數(shù)的改變量或函數(shù)的差;拉格朗日中值定理的推論(導(dǎo)數(shù)為零的函數(shù)是常數(shù))適用于關(guān)于恒等式;柯西中值定理適用于有關(guān)方程的根(沒給出函數(shù)值及牽涉到兩個(gè)函數(shù)差之比);泰勒中值定理涉及函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).

注意：關(guān)于哪一點(diǎn)展開。Rolle定理的適用范圍:有關(guān)方程的根.用Rolle定理解題的常見步驟:首先引進(jìn)輔助函數(shù),其次驗(yàn)證定理?xiàng)l件,最后據(jù)Rolle定理得結(jié)論,存在方程的根.輔助函數(shù)的作法：先將方程的所有項(xiàng)移到方程左端使之為零，然后對左端乘或除一個(gè)非零因子使之成為某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，于是設(shè)該函數(shù)為所需的輔助函數(shù)。例設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo).f(0)=1,f(1)=0.證明:至少存在一點(diǎn)

ξ∈(0,1),使得

此類：輔助函數(shù)F(x)=xλ

f(x)例設(shè)f(x)可導(dǎo),證明f(x)的任意兩個(gè)零點(diǎn)之間一定有的零點(diǎn).

此類：輔助函數(shù)F(x)=ekxf(x)用羅爾中值定理得到方程根的兩類常見輔助函數(shù)：使用洛必達(dá)法則注意:必須是或型的不定式;必須對分子和分母,分別及同時(shí)求導(dǎo);每次求導(dǎo)前為使求導(dǎo)數(shù)簡單，必須對分子，分母整理和簡化,若有可約去因子,或有非零的極限因子,要先行約去或提出.有時(shí),也要與無窮小替換等方法聯(lián)合使用.條件是充分的而非必要.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用用一階導(dǎo)數(shù)判別單調(diào)性與極值.極值的必要條件是駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在點(diǎn).判別極值的三個(gè)充分條件.用二階導(dǎo)數(shù)判別凹凸性與拐點(diǎn).

拐點(diǎn)的必要條件是二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)或二階導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn).判別不等式的5種方法:1)單調(diào)性;2)拉氏Th;3)凹凸性;4)最值;5)積分估值Th.曲率及其2計(jì)算公式也有三個(gè)充分條件.只有一個(gè)相當(dāng)于判極值的第一充分條件.極值與最值區(qū)別極值是局部的,而最值是全局的.極值點(diǎn)處的函數(shù)值必須與兩側(cè)的函數(shù)值比較,最值可以與一側(cè)的比較即可以在邊界處取得.應(yīng)用題中求最值題,在求得駐點(diǎn)后,必須討論得到最值,討論最值的四種辦法:1)比較大小;2)單調(diào)性;3)惟一駐點(diǎn),用二階導(dǎo)數(shù)判別極值;4)實(shí)際問題,惟一駐點(diǎn).積分法原函數(shù)選擇u有效方法基本積分表第一換元法第二換元法直接積分法分部積分法不定積分幾種特殊類型函數(shù)的積分第四章不定積分主要內(nèi)容(1)(2)(3)22個(gè)基本積分公式(5)(12)(13)不定積分基本方法線性,22個(gè)基本積分公式,直接積分法(要巧拆).第一類換元,湊微分法(要巧湊).第二類換元,變量代換(要巧換).分部積分法(要巧分).解方程,遞推,湊成微分盡量用有理函數(shù):待定系數(shù)法分解;(一般不用)三角函數(shù)有理式:萬能代換.(一般不用)uu問題1:曲邊梯形的面積問題2:變速直線運(yùn)動(dòng)的路程存在定理廣義積分定積分定積分的性質(zhì)定積分的計(jì)算法牛頓-萊布尼茨公式第五章定積分主要內(nèi)容用和式極限表示定積分：求和式極限的方法：1.夾逼；2.定積分。定積分性質(zhì)與基本方法與積分變量無關(guān),線性,區(qū)間可加性,單調(diào)性,估值Th,積分中值Th.定積分的換元法,分部積分法.第六章定積分的應(yīng)用主要內(nèi)容1、定積分的微元法2、定積分的幾何應(yīng)用(1)平面圖形的面積(2)立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積：旋轉(zhuǎn)體的體積：3、定積分的物理應(yīng)用:做功,水壓力,引力.基本形式；基本形式；應(yīng)用極限定義,性質(zhì)和求極限的10種方法連續(xù)和間斷,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)微分中值Th定積分定義,性質(zhì),換元法導(dǎo)數(shù)的物理意義和幾何意義，相關(guān)變化率最大小值作圖計(jì)算面積，體積功，水壓力，引力難點(diǎn)不考內(nèi)容所有帶*內(nèi)容；