【高中數(shù)學】概率的基本性質 課件 2022-2023學年高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

1.事件的概率：對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量

其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間包含的樣本點個數(shù).3.古典概型概率計算公式：（1）明確試驗的條件及要觀察的結果，用適當?shù)姆柋硎驹囼灥目赡芙Y果;（2）根據(jù)實際問題情境判斷樣本點的等可能性;（3）計算樣本點總個數(shù)及事件A包含的樣本點個數(shù)，求出事件A的概率.4.求解古典概型問題的一般思路:2.古典概型:

(1)有限性;(2)等可能性.一般而言，給出了一個數(shù)學對象的定義，就可以從定義出發(fā)研究這個數(shù)學對象的性質.例如，在給出指數(shù)函數(shù)的定義后，我們從定義出發(fā)研究了指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調性、特殊點的函數(shù)值等性質，這些性質在解決問題時可以發(fā)揮很大的作用，類似地，在給出了概率的定義后，我們來研究概率的基本性質.概率的基本性質學習目標1.理解概率的基本性質.2.掌握利用互斥事件和對立事件的概率公式解決與古典概型有關的問題.下面我們從定義出發(fā)研究概率的性質，例如概率的取值范圍；特殊事件的概率；事件有某些特殊關系時，它們的概率之間的關系；等等.你認為可以從哪些角度研究概率的性質?(1)概率的取值范圍(2)特殊事件的概率性質1對任意的事件A，都有P(A)≥0.性質2必然事件的概率為1,P(Ω)=1，不可能事件的概率為0，即P(Φ)=0.概率的性質：從以下試驗你發(fā)現(xiàn)概率具有哪些特點？

試驗1：一個星期有7天；

試驗2：4月份有31天；

試驗3：拋擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的事件.由以上試驗，由概率的定義都可知：任何事件的概率都是非負的；在每次試驗中，必然事件一定發(fā)生，不可能事件一定不會發(fā)生.在“事件的關系和運算”中我們研究過事件之間的某些關系。具有這些關系的事件，它們的概率之間會有什么關系呢?例如設事件A與事件B互斥，那么和事件A∪B的概率與事件A、B的概率之間具有怎樣的關系?因為n(R)=2，n(G)=2，n(R∪G)=2+2=4，所以例6一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球(標號為1和2)，2個綠色球(標號為3和4)，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”.事件R與事件G互斥，R∪G=“兩次摸到球顏色相同”.P(R)+P(G)==P(R∪G)下面我們用10.1.2節(jié)例6來探究此問題.即P(R)+P(G)=P(R∪G)概率的性質：性質3如果事件A與事件B互斥，那么

P(A∪B)=P(A)+P(B).(或P(A+B)=P(A)+P(B))

事實上，若事件A與事件B互斥，即A與B不含有相同的樣本點，則n(A∪B)=n(A)+n(B)，這就等價于P(A∪B)=P(A)+P(B)，即兩個互斥事件的和事件的概率等于這兩個事件概率之和.所以我們就得到互斥事件的概率加法公式.推論如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率之和，即

P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).

因為事件A和事件B互為對立事件，所以和事件A∪B是必然事件，則P(A∪B)=1.由性質3，得1=P(A∪B)=P(A)+P(B).練習甲、乙兩人下棋，甲輸?shù)母怕适?.6，兩人下成平局的概率是0.3.求甲獲勝的概率？解：“甲獲勝”是“甲輸或和棋”的對立事件，因為“和棋”與“甲輸”是互斥事件，所以甲獲勝的概率為：1-(0.6+0.3)=0.1探究若事件A和事件B互為對立事件，則它們的概率有什么關系?性質4

如果事件A與事件B互為對立事件，那么

P(B)＝1－P(A)，P(A)=1－P(B).即P(A)+P(B)=1.

一般地，對于事件A與事件B，如果A?B，即事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，那么事件A的概率不超過事件B的概率.于是我們有概率的單調性：所以對于任意事件A，有0≤P(A)≤1.思考

在古典概型中，對于事件A與事件B，如果A?B，那么P(A)與P(B)有什么關系？如果A?B，則n(A)≤n(B)，所以即P(A)≤P(B).對于任意事件A，P(A)的取值范圍為多少？因為??A?Ω，所以P(?)≤P(A)≤P(Ω)，即0≤P(A)≤1.性質5(概率的單調性)

如果A?B，那么P(A)≤P(B)性質6

設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，則有

P(A∪B)=P(A)＋P(B)－P(A∩B).

或者P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).因此P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2).這是因為R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠?，即事件R1和R2不互斥.因為n(Ω)=12，n(R1)=n(R2)=6，n(R1∪R2)=10，所以P(R1)+P(R2)=P(R1∪R2)=所以P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)-P(R1∩R2).由于P(R1∩R2)=思考：在10.1.2節(jié)例6的摸球試驗中，R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”,“兩個球中有紅球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等嗎?如果不相等，請你說明原因，并思考如何計算P(R1∪R2).性質1

對任意的事件A，都有P(A)≥0.性質2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)=1，P(?)=0.性質3

如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性質4

如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).即P(A)+P(B)=1.性質5如果A?B,那么P(A)≤P(B).性質6設A、B是一個隨機試驗中的兩個事件，則有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

(或P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).)推論

如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率之和，即

P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).對任意事件A,有P(A)∈[0,1].概率的性質：例11

從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機抽取一張，設事件A=“抽到紅心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=0.25.那么（1）C=“抽到紅花色”，求P(C);（2）D=“抽到黑花色”，求P(D).（2）∵C與D互斥.又∵C∪D是必然事件，

∴C與D互為對立事件.

因此，P(D)=1－P(C)=1－0.5=0.5.解：（1）

∵

C=A∪B,且A與B不會同時發(fā)生，∴A與B是互斥事件.根據(jù)互斥事件的概率加法公式，

得P(C)=P(A)＋P(B)=0.25＋0.25=0.5反思與感悟：利用互斥（或對立事件）的概率公式求解時，必須準確判斷兩個事件確實是互斥（或對立）事件時才能應用.例12

為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎促銷活動：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎的飲料.若從一箱中隨機抽出2罐，能中獎的概率為多少？因為A1A2、、兩兩互斥，所以P(A)=P(A1A2)+P(

)+P(

).2×1=22×4=8可能結果數(shù)不中獎中獎4×2=84×3=12不中獎中獎中獎不中獎241423第一罐第二罐借助樹狀圖來求相應事件的樣本點數(shù).解1：設事件A=“中獎”，事件A1=“第一罐中獎”，事件A2=“第二罐中獎”，那么事件AlA2=“兩罐都中獎”，=“第一罐中獎,第二罐不中獎”,=“第一罐不中獎,第二罐中獎”，且A=A1A2∪∪.因為n(A1A2)=2,n()=8,n()=8，可以得到，n(Ω)=6×5=30.P(A)=所以所以從一箱中隨機抽出2罐，能中獎的概率為事件A的對立事件是“不中獎”，即“兩罐都不中獎”.由于=“兩罐都不中獎”，而n()=4×3=12，所以P(A)=1-P()=正難則反解2：所以從一箱中隨機抽出2罐，能中獎的概率為你還有另外方法求解此題嗎？反思與感悟：求某些較復雜事件的概率，通常有兩種方法：將所求事件的概率轉化成一些彼此互斥的事件的概率的和；先求此事件的對立事件的概率，再用公式求此事件的概率.這兩種方法可使復雜事件概率的計算得到簡化.例12

為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎促銷活動：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎的飲料.若從一箱中隨機抽出2罐，能中獎的概率為多少？

此解法說明什么？解3：設不中獎的4罐記為1,2,3,4,中獎的2罐記為a,b，隨機抽2罐中有一罐中獎，就表示能中獎，其樣本空間為：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,a)，(1,b)，(2,3)，(2,4)，(2,a)，(2,b)，

(3,4)，(3,a)，(3,b)，

(4,a)，(4,b)，

(a,b).共15個樣本點.而中獎的樣本點有9個，所以能中獎的概率P=9/15=0.6.上述解法沒有考慮順序，其結果是一樣的.互斥事件、對立事件概率的求解方法：（1）互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．（2）對于一個較復雜的事件，一般將其分解成幾個簡單的事件，當這些事件彼此互斥時，原事件的概率就是這些簡單事件的概率的和．（3）當求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關鍵詞語時，常常考慮其反面，通過求其反面，然后轉化為所求問題．

【注意】有限個彼此互斥事件的和的概率，等于這些事件的概率的和，即

.

規(guī)律方法：1.已知P(A)=0.5，P(B)=0.3.

(1)如果B?A，那么P(A∪B)=_____，P(AB)=______;

(2)如果A,B互斥，那么P(A∪B)=_____，P(AB)=_____.0.50.30.802.指出下列表述中的錯誤:

(1)某地區(qū)明天下雨的概率為0.4，明天不下雨的概率為0.5;

(2)如果事件A與事件B互斥，那么一定有P(A)+P(B)=1.解：(1)因為明天下雨與明天不下雨是對立事件,且明天下雨的概率為0.4,所以明天不下雨的概率為0.6.

(2)因為事件A與事件B互斥，但不一定不對立，所以不一定有P(A)+P(B)=1.課本練習3.在學校運動會開幕式上，100名學生組成一個方陣進行表演，他們按照性別(M(男)、F(女))及年級(G1(高一)、G2(高二)、G3(高三))分類統(tǒng)計的人數(shù)如下表:若從這100名學生中隨機選一名學生，求下列概率:P(M)=_