信號與系統(tǒng)課件 §8.4 逆z變換

§8.4

逆z變換若序列x(n)的z變換為：X(z)=Z[x(n)]則X(z)的逆變換記作：Z-1[X(z)]，并由以下圍線積分給出：cORezImzj收斂域RC是包圍X(z)zn-1所有極點(diǎn)之逆時(shí)針閉合積分路線，通常選擇z平面收斂域內(nèi)以原點(diǎn)為中心的圓，如圖所示。

下面從z變換定義表達(dá)式導(dǎo)出X(z)的逆變換。對此式兩端同乘以zm-1，然后沿圍線C積分，得到一、圍線積分法——留數(shù)法二、冪級數(shù)展開法三、部分分式展開法返回交換積分與求和次序根據(jù)柯西定理：上式右邊只存在m=n一項(xiàng)，其余均等于零。于是有：逆變換得證明求逆變換的計(jì)算方法常有以下三種方法：一．圍線積分法求z反變換1．z逆變換的圍線積分表示

已知z變換得z

逆變換公式2．用留數(shù)定理求圍線積分圍線積分等于圍線C內(nèi)所有極點(diǎn)的留數(shù)之和單階極點(diǎn)k重極點(diǎn)右邊序列左邊序列圍線積分等于圍線C外所有極點(diǎn)的留數(shù)之和例8-4-1返回二．冪級數(shù)展開法z變換式一般是z的有理函數(shù)，可表示為：

直接用長除法進(jìn)行逆變換級數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)（是一個(gè)z

的冪級數(shù)）1．冪級數(shù)展開法2．右邊序列的逆z變換

將X(z)以z的降冪排列3．左邊序列的逆z變換將X(z)以z的升冪排列例8-4-3例8-4-2返回三．部分分式展開法???íì<--->?-aznuaaznuaazznn)1(

)(

z變換的基本形式1．z變換式的一般形式

因果序列?右邊序列?收斂域|z|>R,包括z=￥為了保證z=￥處收斂，其分子多項(xiàng)式的階次不能高于分母多項(xiàng)式的階次，即必須滿足k3r。()αstut+?-1ea拉氏變換的基本形式：2．求逆z變換的步驟為真分式()zzx

··提出一個(gè)z·查反變換表·再部分分式展開3．極點(diǎn)決定部分分式形式對一階極點(diǎn)X(z)的極點(diǎn)也可分為一階極點(diǎn)和高階極點(diǎn)。例8-4-4高階極點(diǎn)（重根）?=-=sjjijzzzBzX1)()(設(shè)z=zi為s階極點(diǎn)。

izzsijsjsjzzXzzzjsB=--ú?ùê?é--=)()(dd)!(1則例8-4-5返回例8-4-1(1)n31X(z)zn-1有一個(gè)二階極點(diǎn)P1,2=1(2)n=0所以：x(0)=1+(-1)=0一個(gè)二階極點(diǎn)P1,2=1,又多了一個(gè)單極點(diǎn)P1=0返回()()。，求已知nxzzzzzX1122>+-=

收斂域在圓外，故是x(n)右邊序列，此時(shí)應(yīng)按z的降冪(或z-1的升冪)排列：因?yàn)殚L除結(jié)果無常數(shù)項(xiàng)，則x(0)=0例8-4-2因?yàn)閄(z)=x(0)z0+x(1)z-1+x(2)z-2+……所以返回()tyü?íì=-=-11,2,3,4,

nnxL所以()1211222<+-=+-=zzzzzzzzX例8-4-3返回

收斂域在圓內(nèi)，故是x(n)左邊序列，此時(shí)應(yīng)按z的升冪(或z-1的降冪)排列：例8-4-4X(z)