高考全國乙卷：《理科數(shù)學(xué)》2019年考試真題與答案解析

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高考全國乙卷：2019年《理科數(shù)學(xué)》考試真題與答案解析一、選擇題本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則=______。A． B． C． D．答案：C2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則______。A． B． C． D．答案：C3．已知，則______。A． B． C． D．答案：B4．古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是______。A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm答案：B5．函數(shù)f(x)=在的圖像大致為______。A． B．C． D．答案：D6．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是______。A． B． C． D．答案：A7．已知非零向量a，b滿足，且b，則a與b的夾角為______。A． B． C． D．答案：B8．如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入______。A．A= B．A= C．A= D．A=答案：A9．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則______。A． B． C． D．答案：A10．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的方程為______。A． B． C． D．答案：B11．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①f(x)是偶函數(shù) ②f(x)在區(qū)間（，）單調(diào)遞增③f(x)在有4個(gè)零點(diǎn) ④f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是______。A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③答案：C12．已知三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為______。A． B． C． D．答案：D二、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為______。答案：y=3x14．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若，則S5=______。答案：121/315．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是______。答案：0.1816．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的離心率為______。答案：2三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每題12分，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，每題10分，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題17．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．[1]求A；[2]若，求sinC。答案：[1]由已知得，故由正弦定理得由余弦定理得因?yàn)椋?。[2]由[1]知，由題設(shè)及正弦定理得即，可得由于，所以，故：。18．如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)。[1]證明：MN∥平面C1DE；[2]求二面角A?MA1?N的正弦值。答案：[1]連結(jié)B1C，ME因?yàn)镸，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)所以ME∥B1C，且ME=B1C又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn)所以ND=A1D由題設(shè)知A1B1平行且等于DC可得B1C平行且等于A1D故ME平行且等于ND因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN∥ED又MN平面EDC1所以MN∥平面C1DE[2]由已知可得DE⊥DA以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz，則，A1(2，0，4)，，，，，，設(shè)為平面A1MA的法向量則所以可取設(shè)為平面A1MN的法向量則所以可取于是所以二面角的正弦值為。19．已知拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P。[1]若|AF|+|BF|=4，求l的方程；[2]若，求|AB|。答案：設(shè)直線[1]由題設(shè)得，故由題設(shè)可得由可得則從而得所以的方程為。[2]由可得由可得所以從而故代入的方程得，故。20．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)，試證明：[1]在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；[2]有且僅有2個(gè)零點(diǎn)。答案：[1]設(shè)則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而可得在有唯一零點(diǎn)現(xiàn)設(shè)該零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減故在存在唯一極大值點(diǎn)，即在存在唯一極大值點(diǎn)[2]的定義域?yàn)?[i]當(dāng)時(shí)由[1]知，在單調(diào)遞增而，所以當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞減又，從而是在的唯一零點(diǎn)。[ii]當(dāng)時(shí)由[1]知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減而，所以存在，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減又，所以當(dāng)時(shí)，，從而，在沒有零點(diǎn)[iii]當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減而，，所以在有唯一零點(diǎn)。[iv]當(dāng)時(shí)，所以<0，從而在沒有零點(diǎn)綜上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)。21．為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)。試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效。為了方便描述問題，約定對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X。[1]求的分布列；[2]若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，。現(xiàn)假設(shè)，。[i]證明：為等比數(shù)列；[ii]求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性。答案：[1]X的所有可能取值為。所以的分布列為：X﹣101P(1﹣α)βαβ+(1﹣α)(1﹣β)α(1﹣β)[2][i]由[1]得.因此故即.又因?yàn)樗詾楣葹?，首項(xiàng)為的等比數(shù)列。[ii]由（i）可得.由于，故所以表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率，由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗(yàn)方案合理。（二）選考題22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為。[1]求C和l的直角坐標(biāo)方程；[2]求C上的點(diǎn)到l距離的最小值。答案：[1]因?yàn)?/p>