數(shù)學思維方法課件

數(shù)學思維方法（一）數(shù)學思維的概述（二）數(shù)學思維的特性（三）數(shù)學思維的結(jié)構(gòu)與分類一、思維與數(shù)學思維（四）數(shù)學思維的分類（一）數(shù)學思維的概述1、思維的概念思維—人腦對客觀事物進行的間接的、概括的反映（1）認識低級階段：感覺、知覺：（2）認識的高級階段：思維討論:什麼叫感覺?什麼叫知覺?客觀事物都具有一定的屬性,如顏色、聲音、味道、氣味、溫度、軟硬等，當事物的這些個別屬性作用于人的感覺器官，大腦就產(chǎn)生對它的反映。這種由人腦對直接作用于感覺器官的客觀事實個別屬性的反映就是感覺。感覺是人腦反映現(xiàn)實的最簡單的心理過程

如果人腦對直接作用于感覺器官的客觀事物以整體來反映，就是知覺。知覺是比感覺復雜的心理過程

2、數(shù)學思維人腦和數(shù)學對象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系）交互作用并按照一般思維規(guī)律認識數(shù)字內(nèi)容的內(nèi)在理性活動。情感外部材料內(nèi)部材料思維加工思維結(jié)果例如：動物園里有10只綠孔雀、藍孔雀比綠孔雀多5只，藍孔雀有多少只？思維過程是什麼？思維結(jié)果是什麼？1、數(shù)學思維具有間接性思維的間接性表現(xiàn)為人能借助于已有的知識經(jīng)驗，來理解和認識另一些沒有被直接感知或不可能被直接感知的事物，事物間的關(guān)系及事物發(fā)展的進程。（二）數(shù)學思維的特性2、數(shù)學思維具有概括性思維的概括性表現(xiàn)為思維反映的是一類事物所具有的共性，反映的是事物之間普遍的必然聯(lián)系。概括水平是衡量數(shù)學思維水平的重要標志之一3、數(shù)學思維具有問題性4、數(shù)學思維具有簡煉性數(shù)學思維的問題性是與數(shù)學知識的問題性相聯(lián)結(jié)的。美國數(shù)學家哈爾莫斯指出：定理、證明、概念、定義、理論、公式、方法中的任何一個都不是數(shù)學的心臟，只有問題是數(shù)學的心臟。由于數(shù)學思維就是解決數(shù)學問題的心智活動，數(shù)學思維總是指向問題的變換，表現(xiàn)為不斷地提出問題、分析問題和解決問題。因此問題性是是數(shù)學思維目的性的體現(xiàn)，解決問題的活動是數(shù)學思維活動的中心。而重視問題的分析、解決、應用、推廣是數(shù)學思維問題性的精髓。（三）數(shù)學思維的結(jié)構(gòu)數(shù)學思維內(nèi)容數(shù)學思維的方法數(shù)學思維的基本形式數(shù)學思維的智力品質(zhì)1、數(shù)學思維內(nèi)容:（1）、數(shù)學思維的材料和結(jié)果數(shù)學思維的材料現(xiàn)實世界中存在的數(shù)量關(guān)系、空間形式學生已有的數(shù)字知識、經(jīng)驗數(shù)學思維的結(jié)果外部的數(shù)學知識內(nèi)在的數(shù)學經(jīng)驗與心智技能技能分為外部操作技能內(nèi)部操作技能心智活動技能是借助于內(nèi)部語言進行的認知活動,包括感知、記憶、思維、想象、思維是主要的活動成分。（2）、數(shù)學思維的方法（又稱操作手段）觀察、實驗、分析、綜合、比較、分類、抽象、概括、歸納、演繹、類比、聯(lián)想邏輯思維概念、判斷、推理

形象思維表象、直覺、想象

直覺思維直覺、靈感

（3）、數(shù)學思維的基本形式觀察——對事物或問題的數(shù)學特征通過視覺獲取信息，運用思維辨認其形式、結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)某些數(shù)學規(guī)律和性質(zhì)的方法。一般按照整體——部分——整體的序列展開再解決數(shù)學問題的過程中，要引導學生善于變換不同的觀察角度，結(jié)合想象抓住問題的特征，形成數(shù)學直感或產(chǎn)生直覺以解決問題。直感——運用表象對具體形象的直接識別和感知。直覺——對某些對象的直接領(lǐng)悟或洞察的思維形式實驗——根據(jù)所研究問題的需要，按照研究對象的自然狀態(tài)和客觀規(guī)律，認為地設(shè)置條件，使所希望的想象產(chǎn)生或?qū)ζ溥M行控制的科學方法，是數(shù)學思維的一種間接的、基本的方法觀察常用實驗作基礎(chǔ)，同時實驗又可使得到的性質(zhì)或規(guī)律得以重現(xiàn)或驗證。例如，分數(shù)基本性質(zhì)的教學，通過直觀操作或演示后，得出一組例證

……1、整體觀察，發(fā)現(xiàn)這幾組分數(shù)的分子、分母都起了變化，而分數(shù)的大小不變2、部分觀察，對每一個式子，從左往右觀察，討論：一個分數(shù)的分子、分母怎樣變化？分數(shù)的大小怎么樣？再引導學生從右往左觀察。3、整體觀察，從整體上再觀察幾組式子，概括出分數(shù)的基本性質(zhì)例如，教學分數(shù)乘以分數(shù)，可以借助圖形分割的實驗來分析積的分子、分母與兩個因數(shù)的分子、分母之間的關(guān)系（1）14、數(shù)學思維的智力品質(zhì):

衡量數(shù)學思維發(fā)展水平的重要標志，包括數(shù)學思維的廣闊性、深刻性、靈活性、敏捷性、批判性、獨創(chuàng)性。

同學們答題,第一組每小時答15題,第二組每小時答13題,4小時后,第二組比第一組少答幾題?在以上解題中,思維內(nèi)容、思維基本形式、思維方法、思維品質(zhì)各體現(xiàn)在哪里？數(shù)學思維可按不同的特征分類，例如：

（1）根據(jù)數(shù)學思維活動的總體規(guī)律可分為邏輯思維、形象思維、

（四）數(shù)學思維的分類（2）根據(jù)數(shù)學思維的指向可分為集中思維、發(fā)散思維。（3）根據(jù)數(shù)學思維的智力品質(zhì)可分為再現(xiàn)性思維與創(chuàng)造性思維。二、數(shù)學思維的一般方法學生在數(shù)學思維過程中運用的、可操作的方法（一）分析與綜合分析：把研究的對象分解為各個部分、方面或要素并分別加以考察的一種思維方法側(cè)重：探索性、發(fā)現(xiàn)性在小學數(shù)學學習中應用分析的思維方法表現(xiàn)在以下兩個方面：（1）獲取數(shù)學知識過程中應用分析的方法練習1：某學校有25個班，每個班種5棵樹苗，購買樹苗花了1250元，每棵樹苗多少元？練習2：甲庫存糧108噸，乙?guī)齑婕Z140噸，要使甲庫存糧是乙?guī)斓?倍，必須從乙?guī)爝\出多少噸放入甲庫？練習3：某電視機廠一、二月份共生產(chǎn)電視機400臺，二月份生產(chǎn)的臺數(shù)比一月份生產(chǎn)臺數(shù)的5倍還少68臺，兩個月各生產(chǎn)多少臺？練習4：甲、乙、丙三數(shù)之和為1160，甲是乙的一半，乙是丙的2倍，甲、乙、丙各是多少？綜合：學生在頭腦中把要研究事物的各個部分、方面或要素聯(lián)合成整體進行考察的思維方法例如：練習1中，通過分析可列出式子1250÷（25×5）或：1250÷25÷5＝1250÷125＝50÷5＝10＝10練習2中，通過分析，列出式子（108+140）÷（1+3）=62練習3中，列出式子（400+68）÷（1+5）=78練習4：1160÷（1+2+1）=290分析與綜合的關(guān)系：（1）分析與綜合是統(tǒng)一在具體思考問題的過程中。分析是綜合的基礎(chǔ)，綜合是分析的合成，分析的目的是綜合。（2）分析與綜合互相補充如果思維只限于分析，那麼只能獲得一些事物的枝節(jié)，不可能在思維中再現(xiàn)具體的整體。如果思維只限于綜合，那麼只能對事物有一個表面的、籠統(tǒng)的印象，不能揭示其內(nèi)部關(guān)系和規(guī)律。因此必須將兩種思維方法聯(lián)合應用，才能有效地認識問題、解決問題。例如：解應用題時（1）讀題，弄清條件與問題，對應用題有粗略的整體了解——初步的綜合思維（2）研究已知數(shù)量與未知數(shù)量之間的關(guān)系——分析思維（3）思考先算什麼，再算什麼——綜合思維例如：要建立長方形的概念例如：長方形和正方形有什麼相同和不同的地方？小明有5本書，小王比小明多2本，小王有幾本書？小明有5本書，比小王多2本，小王有幾本書？學生在數(shù)學思維過程中，使用比較的方法具體表現(xiàn)在：（1）異中求同比較：（二）比較與分類比較：確定有關(guān)事物共同點和不同點的思維方法學生通過觀察，比較黑板的表面、課桌的表面、書本的表面等，發(fā)現(xiàn)它們表面的顏色不同，大小不同，但都有共同的形狀，于是初步認識了長方形1、比較這幾道題是怎樣列豎式的，得出“小數(shù)點要對齊”2、通過觀看教師怎樣計算沒有小數(shù)點的整數(shù)加減得出都“按整數(shù)加減法則計算”3、再比較這幾個例題答數(shù)中小數(shù)點怎樣處理，得出都“和橫線上的小數(shù)點對齊”于是歸納出小數(shù)加減法法則：計算小數(shù)加、減法，先把各數(shù)的小數(shù)點對齊，（也就是把相同數(shù)位上的數(shù)位對齊），再按照整數(shù)加減法的法則進行計算，最后在得數(shù)里對齊橫線上的小數(shù)點，點上小數(shù)點。例如：雞兔問題：今籠中有雞兔若干只，共頭有35個，腳94個，問雞、兔各多少只？分析：假設(shè)35只都是兔，則應有腳35×4＝140（只）比實際多了140－94＝46（只）如果拿一只雞換一只兔，那麼會減少2只腳，所以雞有46÷2＝23（只）兔有35－23＝12（只）大筐能裝橘子19斤，小筐能裝橘子11斤，某水果攤進了16筐橘子，總共有300斤，問這兩種裝法的橘子各進了多少筐？某年級原有學生325人，新學年男生增加25人，女生減少5%，總?cè)藬?shù)增加16人，那麼現(xiàn)在男生有多少人？（2）同中辯異比較作用：主要是確認表面上相似的對象之間所存在的差異點，例如：圓的周長與圓的面積數(shù)位與位數(shù)整除與除盡質(zhì)數(shù)與奇數(shù)小明有5本書，小王比小明多2本，小王有幾本書？小明有5本書，比小王多2本，小王有幾本書？（3）同異綜合比較——既確定幾個對象之間的相同點，又確認它們之間的相異點作用：可以發(fā)現(xiàn)對象之間的“異中之同”和“同中之異”，以便較為全面和深刻地研究對象之間的相互聯(lián)系和區(qū)別。例如：比較長方形和正方形a÷b

可寫成也可以寫成a：b可以讀作：a除已b、b分之a(chǎn)、a比b區(qū)別：運算、一個數(shù)、兩個數(shù)之間的關(guān)系相同之處：都有四條邊，四個角都是直角不同之處：長方形一般鄰邊可能不相等，正方形四條邊相等。例如：除法、分數(shù)、比（4）擇優(yōu)比較——對比較對象作出最優(yōu)或有利的選擇比較作用：幫助學生對解決問題的途徑、方法、結(jié)果作出評價，提高解題水平例如：計算乘數(shù)中間有零的乘法例如一個正方形花壇四周鋪有一條3米寬的水泥路，已知路面面積（陰影部分）為276平方米，求正方形花壇周長44評價：比較上面兩種解法，若從計算的簡、繁為評價，則兩者基本上沒有繁、簡之分，但如果將花壇形狀推廣到一般長方形，只要其他條件不變，解法二仍可應用，但解法一不具有這種一般性，可見，重視解題后的擇優(yōu)比較，對活躍思路，提高能力是很有好處的。比較要注意兩點：1、同類對象可以比較，不同類對象則看比較結(jié)果有沒有實際意義2、比較要有明確的標準分類——是以比較為基礎(chǔ)，按照事物間性質(zhì)的異同，將相同性質(zhì)的對象歸入一類。不同性質(zhì)的對象歸入不同類別的思維方法作用：更好地揭示事物的本質(zhì)，并將事物整理成不同等級的多層次系統(tǒng)，促進學生數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展。什麼叫數(shù)學認知結(jié)構(gòu)？數(shù)學知識在學生頭腦中按照他自己理解的深度、廣度，并結(jié)合他個人感知、思維、聯(lián)想的特點，組合成的心理結(jié)構(gòu)學生在數(shù)學思維過程中應用分類的方法主要表現(xiàn)在以下幾個方面：（1）概念形成過程中和形成概念后的分類作用：為了建立清晰的該年或弄清概念之間的聯(lián)系或區(qū)別如：學習方程的概念:先出示一組式子3+x=53×2=63x=124－x36÷x=96×54+6=10由學生觀察、比較可分兩類：

1、（有等號）3+x=53×2=63x=1236÷x=94+6=102、（沒有等號）4－x6×5再觀察（1）又可分為兩類：

3+x=53x=1236÷x=9和3×2=64+6=10（2）方法的整理分類作用：使解決問題條理化，提高靈活解決數(shù)學問題的能力。例如：雞兔同籠的問題，可以用幾種方法解？（3）解題中的分域討論分類作用：提高學生解題的條理性和正確率例如：判斷“凡質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)”的正確或錯誤例如：兩根同樣長的繩子，第一根截去米，第二根截去它的，剩下的繩子哪一根長？設(shè)繩子的長為a米,則a的取值有三種情況:當a=1米,截去a的就是截去米,所以兩根繩子剩下的長度相等當a＞1米時,a＞米,第二根截去的比第一根長,所以第二根剩下的就比第一根剩下的短.當a＜1米時,a＜米,第二根截去的比第一根短,所以第二根剩下的就比第一根剩下的長.（三）抽象與概括抽象——從復雜的事物中，抽取一些事物的本質(zhì)屬性，而舍棄非本質(zhì)屬性的思維方法。數(shù)學的抽象-----從研究對象或問題中抽取數(shù)量關(guān)系或空間形式而舍棄其他屬性進行考察的思維方法1、原始抽象（表征性抽象）——通過對事物、現(xiàn)象或親身體驗進行抽象。特點：有實際的、可觀察的背景通過觀察張開的剪刀，觀察紅領(lǐng)巾的一角等，建立角的概念通過數(shù)10以內(nèi)物體的個數(shù)，形成10以內(nèi)數(shù)的概念通過買各種文具用品，獲得單價、數(shù)量、總價的數(shù)量關(guān)系2、原理性抽象——在原始抽象的基礎(chǔ)上形成較高層次的抽象例如：3支鉛筆+4支鉛筆=7支鉛筆

3+4=7（原始抽象）

a+b=c（原理性抽象）通過買各種文具用品獲得：總價

=單價（一定）（原始抽象）數(shù)量（一定）（原理性抽象）數(shù)學抽象的三個環(huán)節(jié)：分離、提純、簡略例如，認識長方形，出示以下學具這些學具有紙做的、塑料做的、木板做的，有紅色、藍色、綠色，有大的、小的。還有各種不同安放的位置分離—舍去學具的物理、化學性質(zhì)，只注意到他們的形狀。提純—發(fā)現(xiàn)這些物體安放的位置不同，但有些物體形狀是相同的簡略——將形狀相同的物體表示為概括——把抽象出來的若干事物的共同屬性聯(lián)合起來并推廣到同一類事物上去的思維方法1、新的概念、性質(zhì)、法則、符號獲得的時候的概括例如：認識圓：讓學生用生活中的方法畫圓，可以有以下多種畫法：用圓規(guī)在紙上畫用一只手畫，姆指不動，最后的小指畫一圈將繩子一端固定在地上，握著另一端，拉緊繩子在地上轉(zhuǎn)一圈抽象出來的共同屬性1、都有固定的一點（圓心）2、都有一定的長度（半徑）3、都轉(zhuǎn)了一圈將上面三個共同屬性聯(lián)合起來，概括出“一條線段繞著它的一個端點旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形是圓”2、在解決問題時，先對一個具體問題或一個數(shù)學式子的形式結(jié)構(gòu)進行抽象，然后擺脫問題或數(shù)學式子的實際數(shù)學內(nèi)容或具體內(nèi)容，而只留下辨認問題或數(shù)學式子類型的標志例如：兒童服裝廠要生產(chǎn)12000套服裝，原計劃每月生產(chǎn)1500套，實際每月多生產(chǎn)500套，這樣可提前幾個月完成任務(wù)？概括出解題的基本結(jié)構(gòu)：提前月數(shù)=原計劃月數(shù)－實際完成月數(shù)實際完成月數(shù)=計劃總數(shù)÷實際每月生產(chǎn)數(shù)例如：小明每小時做5朵紅花，3小時做幾朵？概括出：就是求3個5是多少全班40個同學，女同學占，女同學幾人？概括出：就是求40的是多少作用：通過這樣概括，表現(xiàn)在一種簡約的思維，使復雜的問題變得簡潔明了。3、為了在頭腦中將數(shù)學信息保持而進行的概括性記憶

除法除不盡除盡整除概括的層次概括是有不同層次的，主要是受學生年齡的限制例如：同樣是分數(shù)定義的概括象、、……等都是分數(shù)（直觀形象概括）把一個物體平均分成幾份，這樣的一份就是幾份之一（具體形象概括）把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分數(shù)（形象抽象概括）形如（a、b都是整數(shù)，且b≠0）的數(shù)叫分數(shù)（本質(zhì)抽象概括）概括與綜合的關(guān)系概括——把不同事物的共同屬性加以聯(lián)合綜合——把同一事物的各部分、方面或要素加以聯(lián)合例如：認識圓：用圓規(guī)在紙上畫用一只手畫，姆指不動，最后的小指畫一圈將繩子一端固定在地上，握著另一端，拉緊繩子在地上轉(zhuǎn)一圈，這三個事物抽象出來的共同屬性1、都有固定的一點（圓心）2、都有一定的長度（半徑）3、都轉(zhuǎn)了一圈概括為：“一條線段繞著它的一個端點旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形是圓”例如：443將組合圖形分解為兩個簡單圖形分別計算面積后，再將兩個圖形面積合并起來得到組合圖形面積(綜合)求組合圖形面積（一個事物）學習方程的概念:先出示一組式子3+x=53×2=63x=124－x36÷x=96×5由學生觀察、比較得出：含有未知數(shù)的等式叫方程（概括）某列火車通過360米的第一個隧道用了24秒，接著通過第二個隧道用了16秒，求這一列火車的長度？分析（1）火車通過第一個隧道比通過第二個隧道多用了8秒，而第一個隧道比第二個隧道多360－216=144（米），就是火車8秒走了144米，可求出火車速度，從而求出火車24秒所走路程。（2）火車24秒走的路程包括隧道長和車長，減去已知隧道長就是火車長。[（360－216）÷（24－16）]×24－360=72（米）（綜合）為什麼說抽象和概括水平是學生數(shù)學思維能力強弱的重要標志之一？在數(shù)學中，抽象是指從研究對象或問題中抽取數(shù)量關(guān)系或空間形式而舍棄其他屬性對其進行考察的思維方法數(shù)學中的概念、定理、方法、符號等都是數(shù)學抽象或再抽象的結(jié)果。抽象性是數(shù)學科學本身的特點之一，因此抽象思維是數(shù)學學習的基礎(chǔ)之一。而概括是把抽象出來的若干事物的共同屬性歸結(jié)出來進行考察的思維方法。概括以抽象為基礎(chǔ)，是抽象的發(fā)展。抽象側(cè)重于分析、提煉。概括側(cè)重于總結(jié)、聯(lián)合。抽象度越高，則概括性越強。所以抽象與概括與其他數(shù)學思維方法比較，是更高一級的思維過程。通過抽象概括，使人們的認識由感性認識上升到理性認識，從而認識了事物的本質(zhì)規(guī)律。因此，抽象概括水平是學生數(shù)學思維能力強弱的重要標志之一。1、簡述教學過程2、說出本案例中所應用的是什么思維方法3、論述歸納這種思維方法的原理和應用4、特點、要注意的問題……5、總結(jié)1、簡述教學過程長方體體積的教學，教師根據(jù)學生已能由數(shù)長方體所含體積單位的多少數(shù)出長方體體積這一基礎(chǔ)，首先組織學生觀察出1立方厘米的正方體拼成的長方體，由數(shù)求出具體的三個長方體的體積每排個數(shù)排數(shù)層數(shù)體積

5115×1×1＝55415×4×1＝205435×4×3＝60得出：每排個數(shù)×層數(shù)＝總個數(shù)（體積）其次，組織學生操作，每人用12個1立方厘米的小正方體拼成長方體，并思考每排個數(shù)、排數(shù)、層數(shù)分別相當于長方體的什么得到：12×1×1＝12（立方厘米）6×2×1＝12（立方厘米）4×3×1＝12（立方厘米）2×2×3＝12（立方厘米）得出：長方體體積=長×寬×高2、說出本案例中所應用的是什么思維方法本案例中，學生發(fā)現(xiàn)計算長方體體積公式的過程，是通過認識具體的、個別的特例，從而發(fā)現(xiàn)了一般規(guī)律，這種思維方法就是歸納。3、論述歸納這種思維方法的原理和應用（四）歸納和演繹歸納——通過對某類事物中的若干特殊情況的分析得出一般結(jié)論的思維方法在小學數(shù)學學習中主要表現(xiàn)在以下兩個方面：1、應用不完全歸納法獲得有關(guān)結(jié)論由3×5=5×314×28=28×14105×17=17×105……歸納出：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變被除數(shù)2448120240480除數(shù)48204080商觀察：第2、3、4、5組同第一組比較，被除數(shù)和除數(shù)各有什麼變化？商有什麼變化？第4、3、2、1組同第5組比較，被除數(shù)和除數(shù)各有什麼變化？商有什麼變化？歸納出：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大（或縮?。┫嗤谋稊?shù)，商不變（商不變的性質(zhì)）不完全歸納法特點：（1）、帶有想象、猜測的成分，結(jié)論有時不可靠。但這種方法符合人類認識事物的規(guī)律，更適合小學生的年齡特點，比較容易接受。（2）、因為不完全歸納法更在于猜測和發(fā)現(xiàn)，因此是培養(yǎng)學生數(shù)學創(chuàng)造性思維的一種基本方法。

2、應用完全歸納法獲得結(jié)論三角形面積公式：用兩個完全相同的直角三角形可以拼成平行四邊形，用兩個完全相同的銳角三角形可以拼成平行四邊形，用兩個完全相同的鈍角三角形可以拼成平行四邊形，而平行四邊形的面積是底×高所以直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的面積都是底×高÷2因為三角形就只有這三種，歸納出：“三角形的面積公式是底乘高的一半”4、總結(jié)：盡管由不完全歸納法得到的結(jié)論需要經(jīng)過嚴格論證才能確認其正確性，但是這種方法主要意義在于其猜測和發(fā)現(xiàn)，它們都是數(shù)學創(chuàng)造性思維的一種基本方法，學習和掌握這種方法，不僅有助于今后進一步學習，而且可以為今后發(fā)現(xiàn)人類尚不知道的客觀世界的某些規(guī)律，在思想方法上打下基礎(chǔ)。因此，在數(shù)學教學中必須給予充分重視。演繹——由一般性較大的前提推出一般性較小的結(jié)論的思維方法在小學數(shù)學學習中，運用學過的概念、性質(zhì)、法則、公式來進行計算、解應用題或解決生活中各種數(shù)學問題就用到演繹法歸納和演繹的關(guān)系歸納側(cè)重探索性，培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)能力演繹側(cè)重求解、論證，訓練學生解題的技能和技巧。（五）類比和聯(lián)想類比——根據(jù)兩個對象或兩類事物的一些屬性相同或相似，猜測另一些屬性也可能相同或相似的思維方法1、在獲取新知識過程中應用類比例：學習：一個數(shù)乘分數(shù)要解決兩個問題：（1）一個數(shù)乘分數(shù)的意義（2）如何計算一桶油重100千克，求3桶油、1.5桶油、桶油、桶油各重多少千克？分別列出式子：100×3，100×1.5,100×,100×因為它們都是乘法算式,前兩個分別表示100千克的3倍是多少,100千克的1.5倍是多少,于是可以類比得出后面兩個算式的意義:100×表示求100千克的倍是多少?100×表示求100千克的倍是多少?由于這里的幾倍的幾小于1,倍可以不寫,從而得出:100×就是求100的是多少,100×就是求100的是多少注意:類比的結(jié)果不一定正確,因為類比是一種推測,例如:由甲比乙多3,也就是乙比甲少3類比得出甲比乙多30%,也就是乙比甲少30%,聯(lián)想——由當前感知或思考的事物，想到與其相關(guān)聯(lián)的另一個事物的思維方法如：學習平行線時，先聯(lián)想到鐵軌、黑板的對邊等；學習小數(shù)的加減，聯(lián)想到整數(shù)加減法，并實行遷移，小數(shù)加減法的意義：與整數(shù)加減法意義相同，都是把已知兩個數(shù)合并成一個數(shù)（或已知兩個加數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)）的運算小數(shù)加減計算法則：相同數(shù)位上的數(shù)對齊（小數(shù)點對齊）再按整數(shù)加、減法的法則進行計算，最后在得數(shù)里對齊橫線上的小數(shù)點點上小數(shù)點如：學習100×的計算方法（1）聯(lián)想到算式的意義，是表示求100的是多少，也就是把100平均分成4份，取3份，于是轉(zhuǎn)化成100÷4×3（2）聯(lián)想到分數(shù)與除法的關(guān)系，于是轉(zhuǎn)化為×3（3）聯(lián)想到分數(shù)乘以整數(shù)的法則，得到

(4)比較100×與得到分數(shù)乘以整數(shù)的法則分數(shù)乘整數(shù),用分數(shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子,分母不變四、邏輯思維邏輯思維——以概念為基礎(chǔ)，以語言為載體，每前進一步都有充分依據(jù)的思維。（一）邏輯思維的基本形式1、概念反映事物本質(zhì)屬性的思維形式，是學生發(fā)展正確思維的基礎(chǔ)小學數(shù)學概念有以下三種形式（1）如：含有未知數(shù)的等式叫做方程公因數(shù)只有1的兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)（2）如：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分數(shù)從三角形的頂點向?qū)叜嬕粭l垂線，頂點到垂足間的線段叫做三角形的高（3）如在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的1、2、3、……叫做自然數(shù)像、、、……的數(shù)稱為分數(shù)2、判斷對思維對象有所肯定或否定的思維形式如：加法是把兩個數(shù)合并成為一個數(shù)的運算三角形內(nèi)角和等于180度5不是偶數(shù)1小時等于60分鐘17+25=427＞53、推理從一個已知的判斷推出另一個新的判斷的思維形式推理所依據(jù)的已知判斷稱為前提，推出的新判斷稱為結(jié)論如：1+6=6+118+5=5+18前提（已知判斷）

27+36=36+27……所以a+b=b+a

結(jié)論（新的判斷）因為長方形面積=長×寬（已知判斷）正方形是特殊的長方形所以正方形面積=邊長×邊長（新判斷）因為分數(shù)的分子相當于除法里的被除數(shù)，分母相當于除數(shù)，而除法有商的不變性（已知判斷）所以分數(shù)有類似的性質(zhì)——分數(shù)的基本性質(zhì)（新的判斷）如；用折紙的方法得到“三角形內(nèi)角和為

驗證(1)因為長方形的四個角都是,其和為(已知判斷)(2)將一個長方形紙沿對角線剪成兩個直角三角形,每個直角三角形的內(nèi)角和為(新判斷)(3)拿一個銳角三角形,從一個頂點向底邊作高,把這個三角形分成兩個直角三角形,根據(jù)前面的實驗可知,這兩個直角三角形的內(nèi)角和都是,這兩個直角三角形的六個角的和是.因為三角形的高和底所成的兩個角都是直角,共,從而推得銳角三角形的內(nèi)角和為。（新判斷）（4）再用一個鈍角三角形作同樣的實驗，得出鈍角三角形的內(nèi)角和也是。（新判斷）結(jié)論：由（2）、（3）、（4）得出三角形內(nèi)角和為

例題用網(wǎng)絡(luò)圖方法梳理出平面圖形之間的關(guān)系，是整理知識的有效途徑、方法，你從中知道了什么？有什么發(fā)現(xiàn)？（探究各種圖形之間的關(guān)系）長方形與正方形、平行四邊形、圓形的關(guān)系引出：正方形是特殊長方形平行四邊形、圓形通過形變面積不變轉(zhuǎn)化為長方形從而推導出它們的面積公式。（2）平行四邊形與三角形、梯形關(guān)系，兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形,兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形。剛才我們復習了面積的計算方法和計算方法是怎樣得到的，那麼這些圖形面積的計算方法是否有聯(lián)系呢？（探究計算方法的聯(lián)系）666666882488888610想一想：你發(fā)現(xiàn)了什么？這些圖形的面積計算方法存在著怎樣的聯(lián)系？利用媒體展示出動態(tài)的過程，幫助學生總結(jié)：當上底趨于0時，梯形就變成了三角形，三角形的面積計算可以理解為用上底是0代入梯形面積計算公式，當上底與下底一樣時，梯形就變成平行四邊形。有一個正方形的面積是100平方米，在它的里面畫一個最大的園，這個原的面積是多少？（將100改成324、又改成800，怎樣算？一、如何搭建這一節(jié)課的框架？1、情境引入2、引導探索3、抽象概括3、鞏固練習4、解決問題二、如何具體設(shè)計每一個環(huán)節(jié)1、情境引入（1）教師滿懷激情的語言引入，激起學習興趣（2）學生觀察主題圖，由學生盡情地說他們的發(fā)現(xiàn)（3）設(shè)置疑問，激發(fā)求知欲（1）、教師激情語言引入：師：小朋友，春天就要到了，你們喜歡什么活動？（春游）小精靈聰聰剛剛告訴老師，明天是個好天氣，學校決定明天春游去。一聽到這個好消息二（1）班的小朋友可高興啦，已經(jīng)為明天的春游準備了許多好吃的，讓我們一起去看看都有哪些食品（出示課件）

（2）、學生觀察主題圖：

師：請同學們觀察畫面，你們都發(fā)現(xiàn)了什么？

（3）設(shè)置疑問師：老師現(xiàn)在就為大家分這些食品，請看圖（第13頁例1），你們認為老師分得怎么樣？（不怎么樣）你們說說應該怎么辦？（引導學生說出：應該每份分得同樣多）2、引導探索（1）提出具體要求老師也為小朋友準備了一些明天春游的食品（課件出示：橘子、糖果）請你們以小組為單位分配食品。要求：a、分每種食品要像二（1）班那樣，每份應同樣多。

b、糖果分成5份，每份有3顆；橘子分成5份，每份有3個

c、小組討論分配方案，怎樣分每份才能分得同樣多。

d、小組推選代表到臺前展示分配方案：

（2）學生操作（3）學生展示、匯報

（4）探討各種分法

3、抽象概括讓學生用自己語言概括出平均分的概念

觀察：從各小組準備的食品中，你們又發(fā)現(xiàn)了什么？（各種食品都是每份的數(shù)量同樣多。板書

每份分得同樣多→《平均分》

象這樣每份分得同樣多，叫平均分。

教學內(nèi)容：三年級上冊P49—P51有《余數(shù)的除法》4、鞏固練習課本P13做一做，引入例2

現(xiàn)在我想請小朋友做老師的小助手將15個橘子平均分成5份，想一想可以怎樣分？

①學生動手分一分（用○代替橘子）師參與活動

②交流分的結(jié)果（生到實物投影儀上演示）

（生1：一個一個地分……生2：先兩個兩個地分剩下的再一個一個地分……生3：三個三個地分……

師歸納平均分的方法：把15個橘子平均分成5份，每份有3個橘子

③引導學生仔細觀察，聆聽他人的意見，發(fā)表自己的不同想法

④討論評價：這幾種分法有什么不同？有什么相同？分的時候，可以一個一個地分，也可以幾個幾個地分，最后分完的結(jié)果必須每份同樣多。（平均分、結(jié)果）你喜歡哪種分法？為什么？（快、準確）

5、解決問題（1）大家表現(xiàn)得這么好，我很想送一些獎品給大家。這樣吧！送給每組同學一捆鉛筆。（送鉛筆）學生提出疑問：我們怎樣得獎品呢？要求學生想出解決的辦法。（先數(shù)數(shù)有12枝鉛筆，再平均分給4個小朋友，每人得幾枝？）小組合作完成。（2）小熊今晚它要請客，要來5個客人，一個客人請吃2個苞米，它應該買幾個苞米？請用學具擺擺看。（三）如何培養(yǎng)學生的抽象、概括能力要讓學生充分感知例如：教學“平均分”(1)給4個蘋果讓學生分成兩份（1個和3個、2個和2個）（2）給6個蘋果讓學生分成兩份（1個和5個、2個和4個、3個和3個）（3）分類比較（一類是分得兩份不一樣多的，一類是分得兩份是一樣多的）（4）初步抽象概括（把總數(shù)分成2份，每份一樣多的，，叫平均分）（5）給學生12個蘋果，要求學生把它分成3份、4份，每份也要同樣多（6）再進一步抽象、概括，得出“把總數(shù)分成若干份，每份同樣多，稱為平均分”概念形成的幾個階段：辨別——歸類——概括——強化教師向?qū)W生提出的問題請同學們仔細觀察你們分法中每份的個數(shù)，想一想，分東西有哪兩種情況呢？請同學們仔細觀察你們的分法，你發(fā)現(xiàn)了什麼？在你們的分法中有一種是每份蘋果的數(shù)目都是同樣多的，如果每份分得蘋果的數(shù)目同樣多，就叫做平均分，誰