2022-2023學(xué)年四川省內(nèi)江市高二年級上冊學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題含答案

2022-2023學(xué)年四川省內(nèi)江市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理)試題

一、單選題

1.某個年級有男生180人，女生160人，用分層抽樣的方法從該年級全體學(xué)生中抽取一個容量為

68的樣本，則此樣本中女生人數(shù)為()

A.40B.36C.34D.32

【答案】D

【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)計算即可.

【詳解】由題意得：樣本中女生人數(shù)為68x=32.

180+160

故選：D

2.己知向量帆=(一3,2,4),n=(l,-3,-2),則〃卜()

A.20B.8C.3D.9

【答案】C

【分析】由向量的運算結(jié)合模長公式計算即可.

【詳解】〃?+”=(-3,2,4)+(1,-3,-2)=(-2,T,2)

\m+n|=J(-2)2+(-lf+22=3

故選：C

3.如圖所示的算法流程圖中，第3個輸出的數(shù)是()

35

A.2B.—C.1D.一

22

【答案】A

【分析】模擬執(zhí)行程序即得.

【詳解】模擬執(zhí)行程序，A=1,N=1,

輸出1,N=2；

滿足條件，A=l+：1==3,輸出3;，N=3；

222

31

滿足條件，A=-+-=2,輸出2,N=4；

22

L

所以第3個輸出的數(shù)是2.

故選：A.

4.一個四棱錐的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

【答案】B

【分析】把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，根據(jù)錐體體積公式即可求出幾何體的體積.

【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖可知幾何體為四棱錐P-A3cD,

如圖所示：PD_L平面且底面為正方形，PD=AD=2

1O

所以該幾何體的體積為：V=-x2x2x2=^

33

故選：B

5.經(jīng)過兩點44,2y+D,心3）的直線的傾斜角為1，貝”=（）

A.-1

【答案】B

【分析】先由直線的傾斜角求得直線的斜率，再運用兩點的斜率進(jìn)行求解.

【詳解】由于直線A3的傾斜角為差，

4

則該直線的斜率為％=tan437r=-1,

4

又因為A(4,2y+1),8(2,-3),

所以]=(2y+l)+3=_[,解得y=-3.

4-2

故選：B.

6.為促進(jìn)學(xué)生對航天科普知識的了解，進(jìn)一步感受航天精神的深厚內(nèi)涵，并從中汲取不畏艱難、奮

發(fā)圖強、勇于攀登的精神動力，某校特舉辦以《發(fā)揚航天精神，筑夢星辰大?！窞轭}的航天科普知

識講座.現(xiàn)隨機抽取10名學(xué)生，讓他們在講座前和講座后各回答一份航天科普知識問卷，這10名學(xué)

生在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖，下列敘述正確的是()

100%

95%

90%?……?...........................?............................*

榔85%.....................?...................?…一?.....

售80%..............................?..........................................*講座前

田75%...........................................................*-…一-?講座后

70%...............................*.........................................

65%.........*......................................*.....................

60%!-.................*...............*................................

nv--------1-----1-------1-------1-------1-------1-------1-

12345678910

居民編號

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座前問卷答題的正確率的極差小于講座后正確率的極差

【答案】B

【分析】根據(jù)題意以及表格，可分別計算中位數(shù)、平均數(shù)、極差等判斷、排除選項是否正確，從而

得出答案.

【詳解】講座前問卷答題的正確率分別為：60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,

95%,中位數(shù)為70%；75%=72.5%>70%,故A錯誤;

0.8+0.85x4+0.9x2+0.95+1x2

講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)為=89.5%>85%，故B正確;

10

由圖知講座前問卷答題的正確率的波動性大于講座后正確率的波動性，即講座前問卷答題的正確率

的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯誤；

講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,講座前正確率的極差為95%-60%=35%,

20%<35%,故D錯誤.

故選：B.

7.兩條平行直線2x-y+3=0和以-3y+4=0間的距離為"，則"，"分別為()

A.a=6>d=B.a=—6,d=^-

33

C.a=-6,d=D.a=6,d=^-

33

【答案】D

【分析】根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)可得參數(shù)“，再利用平行線間距離公式可得".

【詳解】由直線2x-y+3=0與直線or-3y+4=0平行，

得2x(-3)-(-l)xa=0,解得〃=6,

所以兩直線分另IJ為2x-y+3=0和6x-3y+4=0,即6x-3y+9=0和6x-3y+4=0,

所以兩直線間距離d=NY=JL,

,6+323

故選：D.

8.若連續(xù)拋擲兩次質(zhì)地均勻的骰子，得到的點數(shù)分別為修，“，則滿足川+川<25的概率是()

A.|B.—C.-D.—

236912

【答案】B

【分析】利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得.

【詳解】解：設(shè)連續(xù)投擲兩次骰子，得到的點數(shù)依次為“、〃，兩次拋擲得到的結(jié)果可以用(〃?,〃)表

示，

則結(jié)果有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),

共有36種.

其中滿足病+方<25有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),

(3,3),(4,1),(4,2),共13種，

所以滿足療+“2<25的概率P=913.

36

故選：B

9.已知三條不同的直線/,，W,〃和兩個不同的平面a,夕，則下列四個命題中錯誤的是()

A.若nz_La,n±a,則加//〃B.若a_L夕，Iua,則/_1_4

C.若La,mua,則L機D.若〃/a,1邛,則aL?

【答案】B

【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知A正確；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知B不正確；

根據(jù)線面垂直的定義可知C正確；根據(jù)面面垂直的判定可知D正確.

【詳解】對A,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，垂直于同一平面的兩條直線互相平行可知A正確；

對B,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，若a",lea,且/垂直于兩平面的交線，則/，夕，所以B

錯誤；

對C,根據(jù)線面垂直的定義可知，C正確；

對D,因為〃/a,由線面平行的性質(zhì)可知在平面a內(nèi)存在直線，〃///,又I邛,所以m_!_/?,而mua,

所以a,夕，D正確.

故選：B.

10.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，這條直線后

人稱之為三角形的歐拉線.已知AABC的頂點40,0),8(0,2),C(-6.0),則其歐拉線的一般式方程為

()

A.3x+y=lB.3x-y=lC.x+3y=0D.x-3y=0

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得出一ABC為直角三角形，利用給定題意得出歐拉線，最后點斜式求出方程即可.

【詳解】顯然_A3C為直角三角形，且8c為斜邊，

所以其歐拉線方程為斜邊上的中線，

設(shè)8c的中點為。，由B(0,2),C(-6.0),

所以。(一3,1),由心。=贄=—；

所以AO的方程為丫=-：》，

所以歐拉線的一般式方程為x+3y=0.

故選：C.

11.已知產(chǎn)是直線/：》+>—7=0上任意一點，過點P作兩條直線與圓C：(x+l)?+y2=4相切，切

點分別為A,8則|ABI的最小值為()

A.714B.半C.26D.G

【答案】A

【分析】根據(jù)直線與圓相切的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)IPCI取得最小值時，cosNACP最大，|A8|的值最

小，當(dāng)PC，/時，IPC|取得最小值，進(jìn)而可求此時|48|=舊

【詳解】圓C是以C(-1,O)為圓心，2為半徑的圓，由題可知，當(dāng)N4cp最小時，的值最小.

cosZACP=\^-=-j-當(dāng)|PC|取得最小值時，cosNACP最大，N4CP最小，點C到直線/的距

離4=*=4血，故當(dāng)|PC|=4及時，cosNACP最大，且最大值為當(dāng)，此時

sinZACP=|Ag|=,則|A8|=>/iZ.

2|AC|44

故選：A

12.如圖所示，在長方體ABCO-AMCR中，點E是棱CG上的一個動點，平面8ER交

棱AA于點尸，下列命題錯誤的是()

A.四棱錐用-BE%尸的體積恒為定值

B.存在點E,使得8QJ■平面BQE

C.存在唯一的點E,使得截面四邊形BE。尸的周長取得最小值

D.對于棱Cg上任意一點￡,在棱AO上均有相應(yīng)的點G,使得CG〃平面EBR

【答案】D

【分析】由%,口卬=%-明4+%-g4結(jié)合線面平行的定義，即可判斷選項A,由線面垂直的判定定

理即可判斷選項B,由面面平行的性質(zhì)和對稱性，即可判斷選項C,由特殊位置即可判斷選項D.

【詳解】對A,幺-喇/=%-即4+/-明a,又CC\HBB\,CC、<Z平面BBID],BB^u平面BBR,所以CCJ!

平面88Q,同理AA〃平面88Q,所以點E,尸到平面88a的距離為定值，則叫棱錐耳-BE。尸的

體積為定值，故選項A正確;

對于B,因為84=線。，可得對角面B8QQ為正方形，所以由平面BCC蜴，BEu

平面BCCf,所以O(shè)CL3E,若BE14C,則8cDC=C,80,。。<=平面用￡>。，所以3"_1_平

面BQC,由8Qu平面BQC,所以B01BE,又BRcBE=B,BR,BEu平面BD*,所以8QJL

平面B2E,故B正確；

對于C,由面面平行的性質(zhì)定理可得，四邊形BE。"為平行四邊形，由對稱性可得，當(dāng)四邊形為菱

形時，周長取得最小值，即存在唯一的點E,使得截面四邊形的周長取得最小值，故選項C

正確.

對于D,當(dāng)E點在C處時，對于A。上任意的點G,直線CG與平面EBR均相交，故選項D錯誤.

故選：D

二、填空題

x-2<0

13.已知X、V滿足約束條件?y-240則Z=2x+y的最大值是.

x+y-2>0

【答案】6

【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)

解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

【詳解】解：由約束條件作出可行域如圖：

將目標(biāo)函數(shù)z=2x+y轉(zhuǎn)化為y=-2x+z表示為斜率為_2,縱截距為z的直線,

當(dāng)直線y=-2x+z過點B時，z取得最大值，

顯然點8(2,2),則Zg=2x2+2=6.

故答案為：6.

14.直線/與圓5+1)2+(丫-1)2=1相交于4,8兩點，且4(0,1).若［4用=應(yīng)，則直線/的斜率為

【答案】±1

【分析】設(shè)直線方程，結(jié)合弦長求得圓心到直線的距離，利用點到直線的距離公式列出等式，即可

求得答案.

【詳解】根據(jù)題意，直線/與圓(x+l)2+(y-l)2=l相交于A8兩點，且A(0,l),

當(dāng)直線斜率不存在時.，直線x=0即y軸，顯然與圓相切，不符合題意；

故直線斜率存在，設(shè)直線/的方程為、=丘+1,即履-y+l=0,

因為圓(x+l)2+(y-l)2=l的圓心為(1,1),半徑為、=1,

又弦長|AB|S所以圓心到直線的距離為d=/一(野l(fā)y==乎,

\k\

^72，解得攵=±1,

所以而77F

故答案為：±1.

15.已知E是正方體ABCD-A冉GR的棱?！┑闹悬c，過A、C、E三點作平面。與平面A4GA

相交，交線為/，則直線/與所成角的余弦值為.

【答案】3

【分析】由面面平行的性質(zhì)與異面直線所成的角的求法求解即可

【詳解】因為過ACE三點的平面a與平面AfGD相交于/,

平面a與平面ABCD相交于AC,平面AgG4與平面ABCD平行,

所以/〃AC,

又AG/MC,故AG/〃

所以直線/與BG所成的角就是直線AC與8G所成的角,

也即是NAG8(或補角)

又易知△AGB為等邊三角形，

所以直線/與8G所成角的余弦值為COS600=1,

故答案為：；

16.設(shè)me/?,過定點A的動直線》+四=0和過定點8的動直線，nr-y-m+3=0交于點P（x,y）,

則.TVS面積的最大值是.

【答案】|

【詳解】試題分析：易知A（0,0）,B（1,3）兩直線互相垂直，故

|PA|2+\PBf=\ABf=10.-.S=||E4||PB|<陷；網(wǎng)=-為所求.

【解析】基本不等式.

三、解答題

17.一汽車銷售公司對開業(yè)4年來某種型號的汽車“五-”優(yōu)惠金額與銷售量之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究

并做了記錄，得到如下資料.

日期第一年第二年第三年第四年

優(yōu)惠金額X（千元）10111312

銷售量y（輛）22243127

⑴求出y關(guān)于*的線性回歸方程

（2）若第5年優(yōu)惠金額8.5千元,估計第5年的銷售量y（輛）的值.

參考公式：3-------------="--------,a=y-bx

￡（七-可,3-喉）：

【答案】（1）y=3x-8.5;（2）第5年優(yōu)惠金額為8.5千元時，銷售量估計為17輛

人(七一可(兇一歹)x.y.-rixy-

【分析】(1)先由題中數(shù)據(jù)求出元歹，再根據(jù))=乙士,/2=3',：2m=?反求

E/-可〃㈤

出5和3即可得出回歸方程；

(2)將x=8.5代入回歸方程，即可求出預(yù)測值.

44

【詳解】(1)由題中數(shù)據(jù)可得工=1159=26,WX?=1211，XE=534

/=!1=1

.g=Z："-4取⑵1-4x11.5x26=15

'*=￡#_4(可2=534—4X11S=M'

故a=?-放=26-3xll.5=-8.5,/.9=3x-8.5

(2)由(1)得，當(dāng)x=8.5時，9=17,.?.第5年優(yōu)惠金額為8.5千元時，銷售量估計為17輛.

【點睛】本題主要考查線性回歸分析，熟記最小二乘法求。和&即可，屬于?？碱}型.

18.己知圓C經(jīng)過斐6,1),3(3,-2)兩點,且圓心C在直線x+2y-3=0上.

(1)求經(jīng)過點A,并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程；

(2)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(3)斜率為的直線/過點B且與圓C相交于E,尸兩點，求I￡用.

【答案】(l)x-6y=0或x+y-7=0；

⑵(x-5『+(y+l)2=5；

⑶2.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用直線方程的截距式，分類求解作答.

(2)設(shè)出圓心坐標(biāo)，由己知求出圓心及半徑作答.

(3)求出直線/的方程，利用弦長公式計算作答.

【詳解】(1)經(jīng)過點A,在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線，當(dāng)直線過原點時，直線的方程為x-6y=0,

當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的方程為》+尸《,將點A(6,l)代入解得斫7,即直線的方程為x+y-7=0,

所以所求直線的方程為x-6y=0或x+y-7=0.

(2)因圓心C在直線x+2y—3=。上，則設(shè)圓心C(3-243,

又圓C經(jīng)過A(6,l),B(3,-2)兩點，于是得圓C的半徑r=|AC|=|BC|,

即有J(3+2b『+(l-b)2=j4^+S+2)2,解得6=-1,圓心C(5,-l),圓C的半徑r=有，

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-5>+(y+l)2=5.

3

(3)依題意，直線/的方程為丫+2=-一。-3),即3x+4y—l=0,

4

圓心C(5,-l)到直線的距離為1="5一「1=2,

所以尸|=2〃_/=2VT4=2.

19.直四棱柱ABS-AACQ,底面A8CD是平行四邊形，ZACB=60°,

他=百,BC=1，AC=2",E,尸分別是棱AC48的中點.

D\

⑴求證:EF.平面AA。：

(2)求三棱錐F-ACA的體積?

【答案】(1)見解析

⑵①

2

【分析】(1)取的中點M,連結(jié)“EM4,證明四邊形詼EM為平行四邊形，則AM〃M，再

根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；

(2)利用余弦定理求出AC,再利用勾股定理求出AA，再根據(jù)％YCA=〃-"C結(jié)合棱錐的體積公

式即可得出答案.

【詳解】(1)證明：取的中點"，連結(jié)

在，A。。中，/，E分別為AQ，AC的中點，

所以ME〃/)C且ME=』OC,

2

底面ABCD是平行四邊形，F(xiàn)是棱A8的中點，

所以AF.DCS.AF=-DC,

2

所以ME//AF且ME=AF,

所以四邊形AFEM為平行四邊形，

所以EF〃⑷平面AAD,4Mu平面AA。，

所以EF平面AA。；

(2)在中，/ACB=6(),AB=6,8C=1,

由余弦定理有AB2=AC1+BC1-2ACxBCxcos^ACB,

解得AC=2,

則SABC=—xlx2xsin60=—,

因為F為A8的中點，

所以5卬=；SABC=---'

由己知直四棱柱ABS-ABIGA,可得幺AC=90,AC=2，AC=2j7,

可得AA=j28-4=2遍,

VA

F-ACA=J-AFC=(SAFC-A=gx手等.

20.某校從參加高一年級期中考試的學(xué)生中抽出40名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六段

[40,50),[50,60),L,[90,100]后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題:

，，頻率

礪

0.025-.....................................1------

0.015---------1————

0.010-—1-

0.005------

0^40

5060708090100分?jǐn)?shù)

(1)求第四小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計這次數(shù)學(xué)考試成績的平均分；

(3)若將分?jǐn)?shù)從高分到低分排列，取前15%的同學(xué)評定為“優(yōu)秀”檔次，用樣本估計總體的方法，估計

本次期中數(shù)學(xué)考試“優(yōu)秀”檔次的分?jǐn)?shù)線.

【答案】(1)答案見解析

(2)71

(3)86

【分析】(1)根據(jù)所有頻率和為1求第四小組的頻率，計算第四小組的對應(yīng)的矩形的高，補全頻率

分布直方圖；

(2)根據(jù)在頻率分布直方圖中，由每個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和，求出

平均分；

(3)由頻率分布直方圖可知：成績在區(qū)間［90,100］占5%,區(qū)間［80,90)占25%,由此即可估計“優(yōu)秀”

檔次的分?jǐn)?shù)線.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知，第1,2,3,5,6小組的頻率分別為：0.1,0.15,0.15,0.25,

0.05,

所以第四小組的頻率為：1一0.1-0.15-0.15-0.25-0.05=0.3,

在頻率分布直方圖中第四小組對應(yīng)的矩形的高為0.03,

補全頻率分布直方圖對應(yīng)圖形如圖所示：

(2)由頻率分布直方圖可得平均分為：

0.1x45+0.15x55+0.15x65+0.3x75+0.25x85+0.05x95=71；

(3)由頻率分布直方圖可知：成績在區(qū)間［90,100］占5%,區(qū)間［80,90)占25%,

則估計本次期中數(shù)學(xué)考試"優(yōu)秀”檔次的分?jǐn)?shù)線為：80+10x^1=86.

21.如圖，已知正方形ABC。和矩形ACE尸所在的平面互相垂直，AB=O,AF=\,M是線段EF

的中點.

(1)求證：平面ACEFJ■平面8。尸;

⑵求證：平面BEF；

(3)求二面角A-OF-B的大小.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

⑶60

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用AM.8￡>=0，AM.DF=0,可得AMI平面8￡)下，進(jìn)而可得

面面垂直.

(2)由4?=忘，AF=1,得DF=DE=5從而DM上EF,連BM,得DMLBM,由此能證

明DM2平面8E尸.

(3)由(1)得，AM=(0,-1,1)是平面BQF的一個法向量.DC=(-1,-1,0)是平面4)尸的一個法

向量，cos<AM,DC>=1=g即可.

【詳解】(1)四邊形ACE尸是矩形，.，AC,

平面ACEF_L43C。，平面ACEF門平面ABC￡)=AC,AFu平面ACER

.?.AF_L平面ABCD.設(shè)ACcE>8=O,則OM_L平面ABC。

建立如圖的直角坐標(biāo)系，則各點的坐標(biāo)分別為：

0(0,0,0),A(0,1,0),8(-1,0,0),C(0,-1,0),0,0),

E(0,-1,1),尸(0,1,1),M(0,0,1).

BD=Q,0,0),DF=(-\,1,1),AM=(0,-1,1),

AM.BD=0,AM.DF=0-l+l=0,

AMYBD,AM±DF,BD<DF=D,83￡>尸<=平面8DF,

AM，平面BDF,4Wu平面ACEF,所以平面ACEF±平面BDF

(2)由=AF=\,得DF=DE=5

M是線段EF的中點，\DM人EF,

連接8M,由于DM=>JOM2+OD2,MB=y]OM2+OB2,OB=OD,得BM=DM=曰又BD=2,

DM2+BM2=BD2/.DM±BM,

又BMEF=M,MB,EFu平面BEF,：.DM工平面BEF.

(3)由(1)得，AM=(O,-1,1)是平面3￡>F的一個法向量.

又AF，平面ABC。得AF^LCD,又CD^LDA，故PC=(-I,-I,O)是平面ADF的一個法向量，

故cos<AM,DC>=F—^=—

V2xV22

二面角A-。/一8為銳角，，二面角A—DF—3為60.

E

7

22.已知圓M:(x-3>+y2=9.設(shè)。(2,0),過點。作斜率非0的直線4,交圓M于P、Q兩點.

⑴過點。作與直線4垂直的直線4,交圓M于EF兩點，記四邊形EPFQ的面積為S,求S的最大值;

(2)設(shè)8(6,0),過原點。的直線0P與8Q相交于點義,試討論點N是否在定直線上，若是，求出該

直線方程；若不是，說明理由.

【答案】(1)17；

⑵點N在定直線x=-6上.

【分析】(1)由題意設(shè)出直線4,6方程，利用點到直線的距離公式，弦長公式以及基本不等式即可

解決問題；

(2)利用圓與直線的方程，寫出韋達(dá)定理，求出直線0P與直線