2022-2023學年蘇教版必修第一冊充分條件、必要條件、充要條件復習講義

專題2.2充分條件、必要條件、充要條件

一、考情分析

考點梳理

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若Pf，則p是q的充分條件，q是p的必要條件

P是q的充分不必要條件PW且q#>

P是q的必要不充分條件p徹且q彳

P是q的充要條件PF

P是q的既不充分也不必要條件p用且q邦

【特別提醒】

若條件p，q以集合的形式出現(xiàn)，即4=僅歷（刈｝,B=｛x\q（x）｝,則由AGB可得，p是q

的充分條件，請寫出集合A，8的其他關系對應的條件p,q的關系.

①若4室8,則p是q的充分不必要條件；

②若A3B,則p是q的必要條件；

③若AMB,則P是q的必要不充分條件；

④若A=8,則p是q的充要條件；

⑤若A田且A。，則p是q的既不充分也不必要條件.

三、題型突破

重難點題型突破1充分、必要、充要條件的判斷

例1.（1）、（2019?北京?昌平一中高二期中）"x<l"是"x<2"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】

根據充分必要條件的定義進行判斷即可.

【詳解】

當x<l時，x<2成立，即充分性成立；

當x<2時，x<l不一定成立，即必要性不成立，

所以x<l是xv2的充分不必要條件.

故選：A.

（2）、（2021?福建?廈門一中高一競賽）已知a,b>0,則“當41"是""Ml"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.不充分不必要條件

【答案】B

【分析】

分充分性和必要性分別討論：

充分性：取特殊值。=（,力=10判斷；

必要性：利用基本不等式進行證明.

【詳解】

充分性：取”=4。=10,滿足當41,但是述=2,不滿足"41.故充分性不滿足；

5a+b

必要性："41=1為45焉=而41.故必要性滿足.

故“當《1"是"abV1"的必要非充分條件.

a+b

故選：B

（3）、（2021?廣東?中山中學高一月考）（多選題）設xwR,則x>2的一個必要不充分條件

可以是（）

A.x>lB.x>2C.x>2D.x>3

【答案】AC

【分析】

根據充分條件、必要條件的判定方法，結合選項，即可求解.

【詳解】

由x>2,可得構成集合M={x|x>2},

結合選項，可得集合{X|x>l},{x|xN2}均真包含例，

所以x>l與是x>2的一個必要不充分條件.

故選：AC.

(4)、(2020?江蘇海安?高二期中)(多選題)下列敘述中不正確的是

A."〃<1"是"方程/+x+a=0有一個正根和一個負根"的必要不充分條件

B.若R,則“加>cb2"的充要條件是"a>c"

C."a>l"是":<1"的充分不必要條件

D.若。力,cwR,則“加+法+。20對xeR恒成立"的充要條件是“6-4改40"

【答案】BD

【分析】

對A,B,C,D四個選項，根據相關知識逐個判斷是否正確即可.

【詳解】

對A,令/(x)=x2+x+a,方程X?+》+4=。有―?個正根和一?個負根，則/(0)<0,則有

是"方程/+》+〃=0有一個正根和一個負根”的必要不充分條件，正確；

對B,當6=0時，若"a>c"成立，而ab2=0=c/,充分性不成立，錯誤；

對或〃<0,，是",<1"的充分不必要條件,正確；

aaa

對D,ar2+6x+cN0對xeR恒成立可以推出a>0且〃-4acW0,但是b?-4acW0,沒有a>0

這個條件時，不可以推出ar2+bx+c20,錯誤.

故選：BD.

【點睛】

本題主要考查充要條件，充分不必要條件，必要不充分條件的判斷，涉及一元二次方程的根的

分布,不等式的性質，以及一元二次不等式恒成立等價條件的應用,屬于基礎題.

【變式訓練1-1】、(2021?廣東?茂名市電白區(qū)水東中學高一月考)已知x是實數，則"x>2"

是"丁+4%-12>0"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】

由d+4x-12>0得x>2或x<Y,再利用充分不必要條件定義判斷得解.

【詳解】

解：由*2+4x-12>0得（x-2）（x+6）>0得x>2或

因為當x>2時，x>2或x<-6成立，

當x>2或x<-6時，x>2不一定成立，

所以"x>2"是"/+4x-12>0"的的充分不必要條件，

故選：A.

【變式訓練1-2】、（2020?江蘇?吳縣中學高二月考）下列是"卜-成立的必要不充分條件

的是（）

11cl1

A.—<x<lB.—<xv4C.-3vx<—D.—<x<0

2222

【答案】B

【分析】

求出不等式的解集，然后根據必要不充分條件的定義分析可得.

【詳解】

|x-l|<l?-l<x-l<l?0<x<2,分析各選項，只有B是必要不充分條件.

故選：B.

【變式訓練1-3】、（2021?江蘇南京?高二期末）己知“，bwR,則“a+b<0"是"。|同+46|<0"

的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】

從充分性和必要性兩個方面，分。<0/<0和“<0*20討論，分別求解證明即可.

【詳解】

解：當a<0,b<0,a+b<0時，此時4時+百可=-/一萬?<0成立，

當a<0,b々0,a+b<0時，a^+h^^-a2+h2=（a+A>）（A?-?）<0

即a+匕<0可以推出a|a|+臼4<0,

反之，若〃同+用卜0,則中至少有一個負數，

若均為負數，必然有a+力<0,

若a<O,ON0,貝lj44+6網=/_/=(?+/>)(/>-?)<0,

因為6-。>0,則必有a+Z><0,

所以44+目可<0可以推出a+b<0,

故“。+6<0”是"?；?用|<0"的充分必要條件.

故選：C.

【點睛】

本題考查充分性和必要性的判斷，考查學生分類討論的思想，是中檔題.

【變式訓練1-4】、(2021?江蘇?高一單元測試)下列命題中：①若a>b,c<0,則￡>￡;

ab

②是"必〉1"的充分不必要條件；③若〃<0,則。+，4-2；④是

a

"ae>秘2〃的必要不充分條件，上述命題中正確命題的序號.

【答案】②③④

【分析】

取特殊值可判斷①；由基本不等式可判斷③；由充分條件必要條件的定義判斷②④.

【詳解】

對于①，當。=1力=-l,c=-l時，-<7,故①錯誤；

對于②，若則。6>1,故充分性成立；若而>1,取。=-2,匕=-2,滿足必>1,

但不滿足力>1,故必要性不成立，所以力>1"是"而>1"的充分不必要條件，故

②正確；

對于③，若。<0,則一。>0,則a+1=-1-ad■-—<-2^-a--=-2,故③正確；

對于④，若a>b,Qc2>0.則ac2之be',故充分性不成立；若就2>秘2,貝Uc?〉。，所以

a>b,故必要性成立，即"〃>?'是"/>而”的必要不充分條件，故④正確.

故答案為：②③④

【點睛】

本題考查命題真假的判斷，其中涉及不等式性質，基本不等式，充分必要條件的判斷，屬于

基礎題.

重難點題型突破2充分、必要、充要條件的應用

例2.(1)、(2021?江蘇?沐陽如東中學高三月考)己知p：一二21,q:\x-^<2,若。是《的

充分不必要條件，則實數”的取值范圍為()

A.(-oo,4]B.[1,4]C.(1,4]D.(1,4)

【答案】C

【分析】

求出。、夕中的不等式，根據。是《的充分不必要條件可得出關于實數。的不等式組，由此

可解得實數”的取值范圍.

【詳解】

I1尤一3

解不等式即1—、=土=<0,解得2<x43,

x-2x-2x-2

解不等式|x-a|<2,即-2<x-a<2,解得a-2cxea+2,

由于P是夕的充分不必要條件，貝1(2,3](〃-2,“+2),所以]解得1W4.

因此，實數。的取值范圍是。,4].

故選：C.

【點睛】

本題考查利用充分不必要條件求參數，同時也考查r分式不等式和絕對值不等式的求解，考

查計算能力，屬于中等題.

—1

(2)、(2021?江蘇?高一課時練習)設p:——<1,q:x2-(2a+l)x+a(a+l)v0,若F是

x-2

T的必要不充分條件，則實數a的取值范圍.

【答案】--A

【分析】

結合不等式的性質求出。，夕的等價條件，結合充分條件和必要條件的定義轉化為集合關系

進行求解即可.

【詳解】

&3x-l口3%一1.2x4-1,八

解：由一-<1W---1=―-<o

工一2x—2x—2

解得一7Kx<2，

2

^<x<2

設A={x

由x2-(2a+l)%+a(a+l)<0得(x-〃)[%-(〃+1)]<0

解得a<x<a+l,

設B=ix\a<x<a+]\=(a,a+l).

F是f的必要不充分條件，

???〃是q的必要不充分條件，

BcA,即(a,a+l)q-p2j

1

a>—i

.J2,解得-

a+\<22

???實數。的取值范圍為-g」

故答案為：-g」

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的應用，求出?，夕的等價條件，結合充分條件和必要條

件與集合關系進行轉化是解決本題的關鍵.

【變式訓練2-1】、(2020江蘇?高一課時練習)若產-3》+2<0是(犬一，祖x—2加—1)<0的充

分不必要條件，則實數機的取值范圍是.

【答案】pl

【分析】

解不等式f-3x+2<0,然后對〃，與2m+1的大小關系進行分類討論，結合已知條件可得出

關于實數”?的不等式組，由此可解得實數，”的取值范圍.

【詳解】

解不等式“2_3工+2<0,解得1VXV2,

解方不呈——1)=。,解得或x=2/%+l.

①當帆=2m+1時，叩當機=一1時，不等式(工一機)(％-2/-1)<0即為(工+1)2<0,

該不等式的解集為0,不合乎題意;

②當2，〃+1時，即當〃?<-1H寸，解不等式（x-〃?）（x-2加-1）<0可得2"+1<x<

由于幺一3工+2<0是（X—，祖x—2加-1）<0的充分不必要條件，則（1,2）（2加+1,加）,

2tn+1<1

可得,n>2’此時修；

③當加<2m+1時，即當機>-1時，解不等式<0可得〃z<x<2〃?+l.

由于Y-3x+2<0是（x-，〃）（x-2〃?-l）<0的充分不必要條件，則（1,2）（見2〃?+1）,

m<1

可得

2m+1>22

檢驗：當機=；時，則有（1,2）（別，合乎題意;

當〃?=1時，則有（1,2）（1,3）,合乎題意.

綜上所述，實數〃，的取值范圍是pl

故答案為：5」.

【點睛】

結論點睛：本題考查利用充分不必要條件求參數，一般可根據如下規(guī)則求解:

（1）若。是夕的必要不充分條件，則q對應集合是。對應集合的真子集；

（2）。是夕的充分不必要條件，則。對應集合是夕對應集合的真子集；

（3）夕是夕的充分必要條件，則。對應集合與q對應集合相等；

（4）p是夕的既不充分又不必要條件，則q對應集合與0對應集合互不包含.

【變式訓練2-2】、（2021?江蘇?高一專題練習）已知p：4x-m<0,9:（X-2）（X+1）<0,若p

是q的必要不充分條件，則用的取值范圍為（）

A.m>SB.〃？>8C.zn>-4D.m>-4

【答案】B

【分析】

將命題P,夕化簡，利用集合法列出不等式，即可求出〃?的取值范圍.

【詳解】

由4x—機vO,得x<一,所以〃：不<一,

44

由(x-2)(x+l)W。，得一1<XW2,所以<7：TWXK2,

若p是q的必要不充分條件，所以［T2］是,8彳)的真子集，

所以”>2,解得加>8.

4

故選：B

【點睛】

本題主要考查已知必要不充分條件求參數范圍，關鍵是將必要不充分條件正確的轉化為集合

之間的真包含關系，屬于中檔題.

【變式訓練2-3】、(2021?江蘇?高一專題練習)(多選題)已知關于X的方程

丁+(帆—3■+加=0,下列結論正確的是()

A.方程d+(m-3)x+〃?=0有實數根的充要條件是，"€{刈〃?<1或加>9}

B.方程V+(m-3)x+，"=0有一正一負根的充要條件是機€{詞0<加41}

C.方程/+(〃7-3次+〃?=0有兩正實數根的充要條件是機€{〃?|0<機41}

D.方程V+(相-3)x+相=0無實數根的必要條件是me{m\m>1}

【答案】CD

【分析】

根據充分條件和必要條件的定義對選項逐一判斷即可.

【詳解】

在A中，二次方程有實數根，等價于判別式A=(〃Z-3)2-4帆40,解得加￡1或機29,即二

次方程有實數根的充要條件是機e{川，*V1或機29},故A錯誤；

在B中，二次方程有一正一負根，等價于-4%>0,解得加<o,

方程有一正一負根的充要條件是機W{同〃?<0},故B錯誤；

A=(/n-3)--4m>0

在C中，方程有兩正實數根，等價于■3>0,解得0<的41,故方程有兩正實

m>0,

數根的充要條件是〃"{，"0<膽(|},故C正確;

在D中，方程無實數根，等價于△=(，〃-3)2-4〃?<0得1<m<9,

而{〃小<相<9}={加|〃?>1},故加€{川/〃>1}是方程無實數根的必要條件，故D正確;

故選：CD.

【點睛】

結論點睛：關于充分條件和必要條件的判斷，一般可根據如下規(guī)則判斷：

(1)若。是q的充分條件，則。可推出即p對應集合是夕對應集合的子集；

(2)若?是q的必要條件，則q可推出?，即夕對應集合是"對應集合的子集；

(3)若P是夕的充要條件，則p,q可互推，即。對應集合與4對應集合相等.

例3.(2021?江蘇?高一單元測試)已知集合4={口《2—1<*</+1},B={X|X2<4}.

(1)當，〃=2時，求ADBACB；

(2)若"xeA"是成立的充分不必要條件，求實數m的取值范圍.

【答案】(1)(-2,5),(1,2)；(2)

【分析】

(1)當〃?=2時，A={x|l<x<5},B={x|-2<x<2},根據交集并集運算法則即可得解;

(2)根據A是8的真子集，建立不等關系求解參數范圍.

【詳解】

(1)當〃?=2時，A={x[l<xv5},B-{x\-2<x<2},

AuB=(-2,5),AnB=(l,2)；

(2)若"xeA"是"xe8”成立的充分不必要條件，則A是8的真子集，

+\

，"-1N療+1或’m-l>-2

m2+\<2

解得：-l<m<l,因為m=-l時為充要條件，不合題意,

所以一1

【變式訓練3-1】、(2021?江蘇?高一單元測試)己知集合4=卜島>1集合

B=|x|.r2+2x-a2+2a<0,ae.

(1)求集合A;

(2)若是xeA的必要條件，求實數。的取值范圍.

【答案】(1)A=(-l,3)；(2)(3,—3]U[5.”).