2022-2023學(xué)年四川省達(dá)州市高二年級(jí)上冊學(xué)期期末監(jiān)測數(shù)學(xué)（理）試題及答案

2022-2023學(xué)年四川省達(dá)州市高二上學(xué)期期末監(jiān)測數(shù)學(xué)（理）試題

一、單選題

1.小明家種植的芝麻晾曬后，黑芝麻和白芝麻均勻地混在一起，從中隨機(jī)取出一部分，數(shù)得500粒

芝麻內(nèi)含有10粒白芝麻，則小明家的芝麻100kg含有白芝麻約為（）

A.1kgB.2kgC.3kgD.4kg

【答案】B

【分析】根據(jù)比例不變及古典概型的概率公式即可求解.

【詳解】設(shè)小明家的芝麻100kg含有白芝麻約為Mg,則

由題意可知，孤10=而x，解得*=2,

所以小明家的芝麻100kg含有白芝麻約為2kg.

故選：B.

2.某班學(xué)生小李參加了2022年市舉辦的高中數(shù)學(xué)競賽和高中物理競賽，與事件“小李至少有一門學(xué)

科競賽獲一等獎(jiǎng)”互斥的事件是（）

A.小李兩門學(xué)科競賽都沒有獲一等獎(jiǎng)

B.小李兩門學(xué)科競賽都獲一等獎(jiǎng)

C.小李至多有一門學(xué)科競賽獲一等獎(jiǎng)

D.小李只有一門學(xué)科競賽獲一等獎(jiǎng)

【答案】A

【分析】首先列出所有可能結(jié)果，再根據(jù)互斥事件的概念判斷即可.

【詳解】解：因?yàn)樾±顓⒓恿?022年市舉辦的高中數(shù)學(xué)競賽和高中物理競賽，

則小李的獲獎(jiǎng)情況有兩門學(xué)科都獲一等獎(jiǎng)、兩門學(xué)科競賽都沒有獲一等獎(jiǎng)、

數(shù)學(xué)獲得一等獎(jiǎng)而物理沒有獲得一等獎(jiǎng)、物理獲得一等獎(jiǎng)而數(shù)學(xué)沒有獲得一等獎(jiǎng)，

事件“小李至少有一門學(xué)科競賽獲一等獎(jiǎng)，，包含兩門學(xué)科都獲一等獎(jiǎng)、

數(shù)學(xué)獲得一等獎(jiǎng)而物理沒有獲得一等獎(jiǎng)、物理獲得一等獎(jiǎng)而數(shù)學(xué)沒有獲得一等獎(jiǎng)這三個(gè)基本事件，

則與其是互斥事件的為：小李兩門學(xué)科競賽都沒有獲一等獎(jiǎng).

故選：A

3.設(shè)是兩條不同的直線，區(qū)夕是兩個(gè)不同的平面，且kuaju。,下列說法正確的是（）

A.如果左_L〃，那么a，/?B.如果a,夕，那么％

C.如果人〃那么D.如果a〃月，那么火〃/

【答案】A

【分析】逐項(xiàng)分析即可求解.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)面面垂直的判定即可證明為正確選項(xiàng)；

對(duì)于B,如果那么女可能與夕平行，垂直，相交，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C：如果％〃月，那么a與月可能平行或相交，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D：如果a〃夕，那么修可能平行，異面，或垂直.

故選：A.

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖.如果輸入的。為2,輸出的S為3,那么。=（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)，得到輸出S的公式，得到i,再結(jié)合框圖，判斷P的值.

【詳解】由程序框圖可知，輸出的S=k>g,?+log，1+...+k）g,9=3,

則1og2（i+l）=3,得i=7,那么判斷框圖p=7.

故選：C

5.雙曲線/■-竽=/1（助*0）的漸近線方程為（）

A.y=±2xB.y=±-x

C.尸±4xD.y=+>/2x

【答案】B

【分析】先將曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求漸近線方程.

【詳解】~=A（2a0）,

92

._￡_____ZL=i

若2>0，一而一,

.廠廠二

若2<0,――九/_而2

一才

故漸近線方程為y=±gx,

故選：B.

6.為了了解客流量X（單位：人）對(duì)純收入y（單位：元）的影響，對(duì)某面館5天的客流量和純收

入統(tǒng)計(jì)如表.已知X和y具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸直線方程為a=5.02x+7.6（參考公式：

y=bx+a）,那么〃的值為（）

X100115120130135

y507589a662682

A.610B.620C.636D.666

【答案】A

【分析】先計(jì)算出元，代入回歸方程得到亍，再計(jì)算

100+115+120+130+135

【詳解】了==120,

5

則y=5.02x120+7.6=610,

507+589+4+662+682

則610=,得〃=61(),

5

故選：A.

7.若數(shù)據(jù)看,工2,，%的方差為25,則數(shù)據(jù)M+L3/+1,,3/+1的標(biāo)準(zhǔn)差為（）

A.225B.76C.75D.15

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的方差的性質(zhì)，可得g+1,3%+1,,3%+1的方差，繼而得其標(biāo)準(zhǔn)差，即得答案.

【詳解】,??若3，/，/的方差為一,則附+。,?+。，”+匕的方差為//

，數(shù)據(jù)不與，，%的方差為25,

則數(shù)據(jù)3玉+1,3X2+L,3%+1的方差為32x25,

故數(shù)據(jù)3玉+l,3x2+1,,3x〃4-1的標(biāo)準(zhǔn)差為3x5=15,

故選:D

8.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（）

A.Ji67tB.；TtC.y/i()7t+7tD.47t

【答案】C

【分析】根據(jù)三視圖判斷出立體圖形并根據(jù)圓錐表面積公式即可求解.

【詳解】根據(jù)三視圖可知該幾何體為圓錐，圓錐的底面半徑為1,高為3,如圖:

則該幾何體的表面積是7TX1X廬浮+兀、『=應(yīng)京+兀-

故選：C.

9.直線x-y-2=0上兩點(diǎn)A,B到直線x=-l的距離分別等于它們到尸(1,0)的距離，則卜目+怛尸卜

()

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【分析】首先確定點(diǎn)AB在拋物線V=4x上，然后聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理表示焦半

徑的和.

【詳解】根據(jù)拋物線的定義可知I,到直線尸-1距離和到點(diǎn)尸。,0)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是以尸(1,。)

為焦點(diǎn)，直線產(chǎn)-1為準(zhǔn)線的拋物線，拋物線方程為V=4x,

所以點(diǎn)是直線x-y-2=0與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立方程’2。，

[y=4x

得W-8x+4=0,±+*2=8,

而忸可=%,+i+w+i=io.

故選：c

10.如圖，三棱柱ABC-A4G的所有棱長都相等，叫，平面A8C,M為AB的中點(diǎn)，N為CC,的

中點(diǎn).則MN與平面BCG耳所成角的正弦值為（）

.N/3RGr715ny/33

34511

【答案】B

【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.

【詳解】解：依題意三棱柱A8C-AAG為正三棱柱，取8C的中點(diǎn)O,

連接。4,過點(diǎn)。作。z〃BB」則OALBC,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的棱長為2,則N（（）,l,l）,

所以NM=顯然平面BCC蜴的一個(gè)法向量可以為;?=（1,0,0）,

設(shè)MN與平面8CG4所成角為。，貝-in"

故MN與平面BCC國所成角的正弦值為皇

4

故選：B

11.在梯形ABC。中，AB=2OC,ACc8￡>=。.在梯形ABC。內(nèi)（包括邊界）隨機(jī)取一點(diǎn)M,則點(diǎn)

M在△A。。內(nèi)（包括邊界）的概率為（）

【答案】D

【分析】由題意可知，本題為幾何概型中的面積比值，根據(jù)圖形，轉(zhuǎn)化為計(jì)算面積比值.

2

【詳解】設(shè)梯形的面積為S,因?yàn)?3=20C,所以S.>=2Sg,=§S,

易得/為。,AOB,所以累=寡=1,則5?4sAM>=[s,

ABOB239

2

72

所以點(diǎn)“在△ADO內(nèi)（包括邊界）9-

s9-

故選：D

12.已知直線/:y=x+而上存在點(diǎn)P,使得尸到點(diǎn)A（T,0）和3（1,0）為的距離之和為4.若〃==為

m—\

正數(shù)，則「4，9+」1一的取值范圍是（）

tn-\n-\

A.145）B.[14,+oo）C.泉+a）D.F'+e）

【答案】C

【分析】根據(jù)橢圓的定義求出點(diǎn)尸的軌跡方程，根據(jù)直線與橢圓有交點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓方程，根

據(jù)A±0求出加的取值范圍，再根據(jù)〃=」■為正數(shù)，求出加的范圍，即可得到貝IJ

多49+—1二=二49一+m-1,再根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求出二49工+—1=的取值范圍.

n-\m-\n-\

【詳解】解：因?yàn)槭近c(diǎn)A（-1,0）和8（1,0）為的距離之和為4,且|陰=2<4,

所以點(diǎn)尸的軌跡是以A（—1,0）和3（1,0）為焦點(diǎn)的橢圓，且c=l,。=2,所以b=J7=？=百，

所以橢圓方程為$=1,

43

22

（AXy

22—1

又直線y=x+與?+1~=1有交點(diǎn)，所以，43,消去>得7冗2+87^1+4加-12=0,

y=x+Jm

所以△=64/%-4乂7（46一12）之0,解得m47,又加之0,所以機(jī)w[0,7]

tnm

又為正數(shù)，所以-->0,解得勿>1或機(jī)<0,

所以lvm47,

49149149i

匚匕?、i-----1----=-----1--------=------\

所以加一1n—\m-\m_]m-l，

m-\

40

令”〃?一1,則0<Y6,因?yàn)閥=+f在(0,6]上單調(diào)遞減,

49、49,85491、85

所以一+ry+6=7-,M即n--+-,

t66m-\n-\6

即4的9取1值范圍是「8三5，+8、.

m-\n-\L?7

故選：c

二、填空題

13.棱長為4的正方體的所有頂點(diǎn)都在球。的表面上，則球。的體積為.

【答案］32X/3JT

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合球的體積公式即得.

【詳解】由題意，球。為正方體的外接球，則球。的直徑為正方體的對(duì)角線長，

設(shè)外接球的半徑為R,可得2R=46，即R=2石,

所以球。的體積為V=yx（2^）'=32扃.

故答案為：326兀.

14.如圖是某核酸采集點(diǎn)6次核酸采集人數(shù)的莖葉圖，則這6次核酸采集人數(shù)的方差為.

Ill79

1120022

【答案】3

【分析】首先求平均數(shù)，再根據(jù)方差公式求解.

1117+1119+1120+1120+1122+1122

【詳解】這6次核算采集人數(shù)的平均數(shù)是=1120,

6

所以6次采集人數(shù)的方差為

17-1120)2+(1119-1120)2+2x(1120-1120)2+2x(1122-1120)2]=3.

故答案為：3

5已知F是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，C的離心率嗚，是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱的兩點(diǎn)，|尸例|一忻'|=6.則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】二一金=1

916

【分析】利用對(duì)稱性，結(jié)合雙曲線的定義，得2a=6,再結(jié)合離心率，求得雙曲線的方程.

【詳解】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)左焦點(diǎn)尸，右焦點(diǎn)F,

如圖，點(diǎn)“在右支，點(diǎn)N在左支，線段尸尸和MN互相平分，

所以四邊形是平行四邊形，=

所以|府卜|硒|=四/|—|MF|=6,則為=6,又得"=3,c=5,b2=c2-a2=\6,

916

故答案為：———=I

916

-）2

16.己知P是橢圓C:3+B^=l（O<e<l）上的動(dòng)點(diǎn)，C的焦點(diǎn)為4、F],設(shè)伊娟=｛,儼閭=為，

（24+4）（24+4）的最小值為〃e）,貝lj/（e）=.

【答案】36-4/

【分析】由橢圓的定義可得｛+弓=2。=4,設(shè)點(diǎn)P（x,y）,其中—24x42,計(jì)算出4的取值范圍，可

得出⑵+幻（24+4）=-（/；-2）2+36,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得/（e）.

【詳解】因?yàn)?<e<l,則4>4-4e2>0,則/=4,b2=4-4e2,：.c=^（r-tr=2e>

所以，設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為耳（-2e,0）,則其右焦點(diǎn)為g（2e,0）,

由橢圓的定義可得4+弓=2a=4,

設(shè)點(diǎn)P（x,y）,其中-24x42,y2=4-4e2-（l-e2）?,

所以，（2q+弓）（2乃+｛）=（4+/;）（4+4）=（4+4）（8-4）=—42+4｛+32=—（4-2）2+36,

22222

則｛=J（x+2e）2+=^x+4ex+4e+4-4e-（l-e）x

=y]e2x2+4ex+4=+2|=2+exe[2-2e,2+2e],所以，-2eW「2&2e,

故當(dāng)4-2=2e或「2=-2e時(shí),（24+幻（24+的取最小值/（e）=36—4/.

故答案為：36-4/.

三、解答題

17.已知圓C過原點(diǎn)，圓心C在射線y=x(xNO)上，圓心C到y(tǒng)軸距離為2.

⑴求圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線x+y-6=0與圓C交于AB兩點(diǎn),求|A8|.

【答案】⑴(x-2)?+(y-2)2=8

(2)276

【分析】(1)根據(jù)圓心C在射線y=x(x20)上，圓心C到丫軸距離為2可得圓心坐標(biāo)為(2,2),設(shè)出

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用圓過原點(diǎn)即可求解；

(2)利用圓心直線的距離，圓的半徑，結(jié)合垂徑定理即可求出弦長.

【詳解】(1)由圓心C在射線y=x(xN°)上，圓心C到y(tǒng)軸距離為2,

設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2>+(y-2)2=/什>0),

又圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)，得r=26，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2>+(y-2)2=8.

(2)由(1)知半徑r=20，

圓心C(2,2)到直線x+y-6=0的距離d

V1+1

由垂徑定理可得：用回=242_/=2#.

18.在某校2022年春季的高一學(xué)生期末體育成績中隨機(jī)抽取50個(gè)，并將這些成績共分成五組:

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.在[50,70)的成績?yōu)椴贿_(dá)

標(biāo)，在[70,100]的成績?yōu)檫_(dá)標(biāo).

(1)根據(jù)樣本頻率分布直方圖求。的值，并估計(jì)樣本的眾數(shù)和中位數(shù)(中位數(shù)精確到個(gè)位)；

(2)以體育成績是否達(dá)標(biāo)為依據(jù)，用分層抽樣的方法在該校2022年春季的高一學(xué)生中選出5人，再從

這5人中隨機(jī)選2人，那么這兩人中至少有一人體育成績達(dá)標(biāo)的概率是多少？

【答案】(1)0=0.020,眾數(shù)為65,中位數(shù)為73；

【分析】(1)根據(jù)各組頻率和為1可求出。的值，然后根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可；

(2)根據(jù)分層抽樣的概念可知不達(dá)標(biāo)的學(xué)生有2人，達(dá)標(biāo)的學(xué)生有3人，然后利用列舉法，根據(jù)古

典概型概率公式即得.

【詳解】(1)由題知(0.004+0.008+0.032+0.036)x10=1,

得a=0.020,

由直方圖可知眾數(shù)為65；

因?yàn)?0.004+0.036)x10=0.4,(0.004+0.032+0.036)x10=0.72,

設(shè)中位數(shù)為x,則0.004x10+0。36x10+(x-70)x0.032=0.5,

得x=73.125*73,

所以中位數(shù)為73；

(2)分層抽樣的方法從不達(dá)標(biāo)和達(dá)標(biāo)的學(xué)生中共選出5人，

則不達(dá)標(biāo)的學(xué)生有2人記為AB,達(dá)標(biāo)的學(xué)生有3人記為a,b,c,

從這5人中選2人的情況有AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bh,Be,ab,“c,6c共10種，

這兩人中至少有一人是“達(dá)標(biāo)”的情況有4a,A4Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc共9種，

o

設(shè)加="這兩人中至少有一人達(dá)標(biāo)”，則

所以，這兩人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率是三9.

19.在等比數(shù)列｛q｝中，q=1,%-%=63,｛《,｝的前”項(xiàng)和為5”.

⑴求4和S“；

(2)d=lna“Z=a+a++bn,求7“.

【答案】(l)%=e"T,S"=U

1-e

(-2)7；=n七(n」-｝｝

【分析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛%｝公比為9,根據(jù)條件求出夕，利用公式求出處和S”即可,

(2)由(1)求出2的通項(xiàng)公式，然后利用等差數(shù)列求和公式計(jì)算即可.

【詳解】3)設(shè)等比數(shù)列｛4｝公比為4,

%=1,。2?%=e，,

233

/.a2-a3=以q?a、q=q=e,

解得4=e,

n

(2).an=e-',

:.hH=\nan=n-\,

:.Tn=bt+b2++b?

=0+1+2++(n-l)

n(n-l)

--2-,

20.如圖，在四棱錐P-ABC￡＞中，PAL面ABC。，ABVAD,A￡)〃8C,點(diǎn)E,尸分別為的

中點(diǎn)，AB=BC=2,AD=PA=4.

p

(1)證明：直線/平面PBC；

(2)求二面角尸—CD—3的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵立.

3

【分析】(1)依題意可得即可得到EF//BC,從而得證：

(2)連接AC,即可求出AC、CD,從而得到AC，C￡>,再由線面垂直的性質(zhì)得到R4LCD,即可

得到平面PAC,則二面角P-C￡>-A得平面角為ZACP,再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.

【詳解】(1)證明：點(diǎn)民尸分別為PAJD的中點(diǎn)，

AD//EF,

AD//BC,：.EF//BC,

平面PBC,3Cu平面PBC,

：.EFH^PBC.

(2)解：.ABYAD,AD//BC,..AB1BC,

連接AC,由AB=BC=2得AC=JM2+BC2=2/,

AD=4,CD=ylAB2+(AD-BC)2=272.

所以AC2+C￡>2=AO2,

ACVCD,

9_L底面ABC。，AC,Su底面ABC。，：.PALAC,PALCD,

PA,AC是平面PAC內(nèi)兩相交直線，

\CDA平面PAC,

PCu平面PAG，CO，PC,

，二面角P-C￡>-A得平面角為N4CP,

AP=4,：.PC=jAC2+A產(chǎn)=2娓，cosZACP=-=

所以二面角P-8-A的余弦值為趙，

3

即二面角尸—8-8的余弦值為史.

3

21.已知過圓0:*2+y2=/(r>0)上一點(diǎn)40,5)的直線/與該圓另一交點(diǎn)為8,。為原點(diǎn)，記

ZAOB=a,ae[(),兀].

⑴當(dāng)|A用=56時(shí)，求a的值和/的方程;

(2)當(dāng)|A卻=5時(shí)，/(x)=-sinx+2cosjc.sina+2cos%-1,求的單調(diào)遞增區(qū)間.

【答案】(1)。=與，/的方程為瓜+y-5=0或VIr—y+5=0；

77rjr

(2)單調(diào)遞增區(qū)間為2lat--,2lat--(AeZ).

o6

【分析】(1)利用余弦定理求出cosa=-g,結(jié)合ae[(),可，得到a的值，設(shè)出/的方程為依-y+5=0,

利用垂徑定理求出3得到直線方程；

(2)根據(jù)|陰=5,得到a代入f(x)中，化簡得至lJ〃x)=2cos"E)-g,利用整體法得到

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】(1)點(diǎn)A(0,5)在圓0:/+丫2=/(,>0)上,

二產(chǎn)=25.

M=5G,|Q4|=|Q8|=5,

|OA『+|。02TAB-_25+25—751

cosa=

2\OA\-\OB\2x5x52

cre[0,7c],

5

由條件得。到/的距離為〃=

2

.，不與x軸垂直,

設(shè)/的方程為丁=履+5,即履—y+5=0,

5_5

，，7F7F=2>

解得：k=—>/3，或％=6，

所以/的方程為氐+y-5=0或瓜-)，+5=0；

(2)當(dāng)|陰=5時(shí)，a=jf

由f(x)=-sinx+2cosx?sina+2cos2a-1得

/(x)=-sinx+Gcosx——=2cos

當(dāng)且僅當(dāng)2匕i一元4尤+四eZ),

6

BP2kK--<x<2kn--{k&i)^,f(x)單調(diào)遞增，

66

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為12E-7,2航-m(ZeZ).

oo

(備注：/(x)=2sinxj-］也是對(duì)的).

22.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積等于圓周率兀與橢圓的長半軸長、短半軸長

4

的乘積.已知橢圓「的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)E，居均在x軸上，離心率等于不，面積為157r.

⑴求「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線/與圓加：/+丫2=16相切，且直線/與「交于C,。兩點(diǎn)，求△<%>￡)面積的最大值.

【答案】⑴工+工=1;

259

代

【分析】(1)由題可得而=15,然后根據(jù)離心率結(jié)合條件即得；

(2)當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，可得500=^,當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)直線/方程為)=履+，〃，聯(lián)

立橢圓方程根據(jù)韋達(dá)定理及弦長公式可表示出S&8D,結(jié)合條件即得.

91

【詳解】⑴設(shè)橢圓「的方程為二+4=1（。＞匕＞0）,

ab

由兀出?二15兀，得ab=15,

由￡=±,得c='〃，JIlJb=\/a2-c2=-a,

a555

解得。=5,所以匕=3,

所以橢圓r的方程為三+￡=i；

259

（2）圓〃的方程為V