2022-2023學(xué)年云南省部分名校高一年級下冊學(xué)期3月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

2022-2023學(xué)年云南省部分名校高一下學(xué)期3月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.若集合A={x[x<-3},B={-5,-4-3,1},則AB=()

A.{-5}B.{-5,-4}C.{—3,1}D.{-5,—4,—31

【答案】B

【分析】根據(jù)交集的定義求解.

【詳解】AryB={-5,-4}.

故選：B.

2.若向量4=(3,-4),6=(-1,加)，S.a//b.則機=()

3r34

A.—B.-C.—

443

【答案】D

【分析】由平面向量共線的坐標(biāo)表示求解.

【詳解】由題意得3m=4,得機=g.

故選：D.

12

3.記..45C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,若sin5=1,sinA=-,b=3,則。=()

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】運用正弦定理求解.

▼、4曲、1口用十在士1七ab,曰bsinA

【詳解】根據(jù)正弦定理有而=病‘得"=痂=8；

故選：D.

4.己知力尸=(5,2)作用于一物體，使物體從點A(T3)處移動到點8(2,6)處，則力F對物體所做

的功為()

A.9B.-9C.21D.-21

【答案】C

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算公式，即可求解.

【詳解】由題意，物體從點A(-L3)處移動到點8(2,6)處，可得48=(3,3),

因為力尸=（5,2）,所以力產(chǎn)對物體所做的功為F.A8=5x3+2x3=21.

故選：C.

-什/兀1r?.sina+2coscr/、

5.若tana+丁二-3,則一--------=（）

I4/sina-coscr

A.4B.-4C.1D.-1

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，由正切的和差角公式即可得tana,再將原式化為關(guān)于正切的齊次式即可得到結(jié)

果.

?、斗皿、|.兀1tantz+l-sina+2cosatana+2,

【詳解】由tana+:=?；------二-3o,得zt=ltana=2,所以一----------=--------=4.

I4）1-tanasma-cosatana-1

故選:A

6.已知復(fù)數(shù)Z與（Z+1）2都是純虛數(shù)，則2=（）

A.iB.±iC.2iD.+2i

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法規(guī)則計算.

【詳解】設(shè)2=/，（beR且人工0）,（z+l）2=z2+2z+l=-i2+l+2/?i,

由于（z+1）-是純虛數(shù)，，-lr+1=0,得6=±1,故z=±i；

故選：B.

7.記"WC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c,且sin8=JsinAsinC，則B的取值范圍為（）

（八兀]，八兀1「兀兀、「兀兀、

I3」I6」[32）[62）

【答案】A

【分析】根據(jù)正余弦定理邊角互化，進而結(jié)合基本不等式即可求解cosBe由余弦函數(shù)的性質(zhì)即

可求解角的范圍.

【詳解】由sinB=JsinAsinC以及正弦定理得b-c,所以

221>>

a"+c~-b~（當(dāng)且僅當(dāng)…時，等號成立），

cosB=4所以

lac

cosBG即Beg

故選：A

8.已知向量a，〃滿足口=2,W=0,且〃功=-2，c為任意向量，則-?9-的最小值為

()

57

A.-2B.一一C.一3D.一一

22

【答案】B

【分析】由已知可得向量a，b夾角為亍，可取a=(2,0),6=(-1,1),設(shè)c=(x,y),利用配方法求

(a-c,僅-C)的最小值.

【詳解】由卜|=2,忖=&,且—2,設(shè)向量”，b夾角為。，

?ah-2A/23n

則8S"麗=荻=-三，由俎0，兀］，得"彳，

在平面直角系中，取a=(2,0),0=(-1,1),滿足W=2,忖=應(yīng)，且a力=_2，

設(shè)c=(x,y),則。_。=(2_蒼_>),&-c=(-l-x,l-j),

(a-c),(/?-c)=(2-x)(-l-x)+(-y)(l-y)

所以當(dāng)x=y=；時，(〃-c)-(b-c)有最小值-|.

故選：B.

二、多選題

9.下列說法正確的是()

A.若AB_LBC，則ABBC=0B.零向量與任意向量平行

C.AB+2BC+CD=ADD.在正六邊形A8CDE尸中，AB=DE

【答案】AB

【分析】根據(jù)向量的定義、向量的線性運算法則、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系判斷各選項.

【詳解】易得A,B正確；

AB+2BC+CD=AB+BC+BC+CD=AC+BD,C錯誤；

在正六邊形AB8EF中，AB=ED，D錯誤.

故選：AB.

10.若1一2i是關(guān)于X的方程/+如+方=0(a,beR)的一個復(fù)數(shù)根，則()

A.a=2

B.b=5

C.。+歷的共舸復(fù)數(shù)為-2-5i

D.a+bi,6+ai在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的兩點之間的距離為7及

【答案】BCD

【分析】根據(jù)條件求出“和b,再根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)定義逐項分析.

2/、/、[a+b—3=0[a=-2

【詳解】由題意得(l-2i)2+q(l-2i)+6=q+b-3_(2a+4)i=0,得2a+4=Q，解得%=5；

A選項錯誤，B選項正確；

a+6i=—2+5i的共貌復(fù)數(shù)為-2-5i,C選項正確；

a+bi,"ai在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的兩點之間的距離為J(a_b『+e-a)2=7>/LD選項正確；

故選：BCD.

11.已知〃x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且“X),g(x)均在[0,y)上

單調(diào)遞增，則()

A.g,吟)<g(2°」)B./^log31^</(log,4)

C.g(/(l))<g(/(2))D.〃g(-2))<〃g(—l))

【答案】AC

【分析】通過函數(shù)的單調(diào)性，比較函數(shù)值的大小.

【詳解】由題意得“X)在(3,。]上單調(diào)遞減，g(x)在R上單調(diào)遞增.

因為0<sin]<l<2°/，所以g[in])<g(2°」)，A正確；

因為Iog35>log34>0,所以/1083()=〃-嘎35)=/(嚏35)>〃嚏34),B錯誤；

因為〃1)</(2),所以g(f(l))<g(/⑵),C正確；

因為g(—2)<g(—l)<g(O)=O,所以f(g(—2))>f(g(—l)),D錯誤.

故選：AC

12.在銳角“ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b=2?,B的角平分線交AC于Q,

80=叵￡,則()

a+c

A.B=gB.-<C<-

662

C.2V2<c<4y/2D.16<acW24

【答案】BCD

【分析】根據(jù)已知條件及角平分線的定義，利用三角形的面積公式、三角形的內(nèi)角和定理及銳角三

角形限制角的范圍，結(jié)合正弦定理的邊角化及兩角差的正弦公式，再利用二倍角的正弦余弦公式及

三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為30是角N43C的平分線，

所以NABD=NCBD=—.

2

由題意可知，5ABC=SABD+SACD，即:acsinB=-aBDsinZABD+gcBDsinNCBD,

所以」ac-2?sin0cos0=)(a+c)^^sin0，即2sin」cos'=\/5sinJ,

2222V'a+c2222

因為ABC為銳角三角形，

TT

所以0<B<5，

所以0<與<1,

24

所以5皿勺二0,

2

所以2cos0=6,即cosO=3,

222

所以與J,即84故A錯誤；

263

2兀

在LABC中，4+3+。=兀,即A=可—C,

因為一ABC為銳角三角形，

八2?！肛?/p>

0<------C<一

所以32,解得故B正確；

0<C<^62

2

bcc_^inC_2>/6sinC_

由正弦定理得吃=等;，即JsinB"g，

smBsinC—

2

因為Y，

o2

所以J<sinC<l,即2夜<4&sinC<40，

所以2拒<c<4及，故C正確；

C,?_b_2瓜A

由正弦定理2^-布一邁72,

所以a=2RsinA=4>/2sinA,c=27?sinC=4A/2sinC,

所以〃c=32sin4sinC=32sinAsinC=32sin——cosC-cos——sinCsinC

I33）

=32sinCcosC4-sin2Cj=161等sin2c一;cos2c+8=16sin^2C-^+8,

因為1<c<S，

62

LL,、t兀一―兀57c

所以二<2。一二<-^-,

666

所以;<sin（2C-F）41,

所以16<16sin（2C-^）+8424,

所以16vacW24,故D正確.

故選：BCD.

【點睛】解決此題的關(guān)鍵是利用等面積法及銳角三角形限制角的范圍，結(jié)合正弦定理的邊角化及三

角恒等變換，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可.

三、填空題

13.寫出一個滿足下列兩個條件的復(fù)數(shù)：z=.①回=近；②z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二

象限.

【答案】_2+^i（答案不唯一）

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)定義和幾何意義求解.

【詳解】設(shè)2=a+bi,則有“方=療，由于Z在第二象限，a<0,b>0,

根據(jù)題意令。=-2力=百,z=-2+百i;

故答案為：—2+>/3i.

14.記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2sinB=3sinA,sinC=\,a=4,則

ABC的面積為.

【答案】1

【分析】利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.

【詳解】由2sinB=3sinA,得2Z?=3a=12,得b=6,

所以45c的面積為ga戾inC=l.

故答案為：1.

15.若向量。=（1,-4）,*=（-1,2）,則〃+人與Q—力夾角的余弦值為.

【答案】亞

10

【分析】運用平面向量數(shù)量級計算.

【詳解】由題意得。+6=（0,-2）,“一6=（2,-6）,貝Ijcos,+"。-6）=^|^^^=篇=零；

故答案為：跡.

10

16.如圖，飛鳥甲、小魚乙處于同一平面，甲自左向右飛行，甲發(fā)現(xiàn)乙在水面上以5m/s的速度自左

向右作勻速直線運動（此時甲、乙之間的距離為10m,乙在甲右偏下60。的方向上），立刻以10m/s

的速度斜向下作勻速直線運動，則甲一次性成功捕獲乙的最短時間約為?.（V13?3.6,結(jié)果

保留兩位有效數(shù)字）

【答案】1.5

【分析】如圖，設(shè)甲一次性成功捕獲乙的地點是C,時間為左，由余弦定理列出關(guān)于r的方程，解方

程可得.

【詳解】如圖，記飛鳥中在A點，小魚乙在8點，設(shè)甲一次性成功捕獲乙的地點是C,時間為人，

2兀

易得AB=10m,B=T，AC=10f,BC=5t,由余弦定理AC?=AS?+BC?-2A3-BCcosB,

100r=100+25r-2xl0x5rcos—,

3

整理得3/-2-4=0,得,=!±巫或上巫（舍去），所以/=小叵R,5.

333

故答案為：15

四、解答題

17.已知復(fù)數(shù)2=孝.

1

⑴求Z;

(2)若復(fù)數(shù)z,2-i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為04，0B，求向量AB對應(yīng)的復(fù)數(shù).

【答案】(1)—1—3i

(2)3+2i

【分析】(1)利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡.

(2)由復(fù)數(shù)的坐標(biāo)運算求解.

(1'i—3+i—3+i—3+i(-3+i>i..

【詳解】(1)z=—=—=-T—=----=-——^-=-1-31.

i7i5-i-i2

(2)由題意得。4=(-1,—3),08=(2,—1),

則A8=OB-OA=(3,2),

所以向量A8對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+2i.

18.將函數(shù)〃x)=sin?x+0)(0>O,|同<9圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變,

再把得到的圖象向左平移y個單位長度,得到g(x)=sin的圖象.

⑴求〃x)的解析式；

JT

⑵求“X)在0,-上的值域.

【答案】⑴/3=$也(4》-1]

⑵卜制

【分析】(1)先通過圖象變換求出函數(shù)解析式，然后通過:i。=2及ITfx4+e=7fT+2E建立方程，即

263

可求解解析式；

JT

(2)求出4x-1的范圍，利用正弦函數(shù)知識求解即可.

【詳解】⑴由題意得g(x)=sin+S=sin(；(vx+t<y+e］,則g0=2,得0=4,

所以工乂4+夕=—F2E,ZWZ,得9=---F2,/CJI,keZ,

633

又同v］,所以夕=一1,故/(x)=sin(4x—,).

(2)由xw0,—,得4x—三€一三，兀，則...—sinf4x——<1,

L3」3L3」2I3)

所以一日

故〃x)在0,1上的值域為岑1.

19.已知函數(shù)/(x)=log“(x-l)+2(a>0,且a/1)的圖象過定點P.

⑴求P的坐標(biāo)；

⑵若“X)在［2,4］上的圖象始終在直線>=:+8的下方，求〃的取值范圍.

【答案】⑴(2,2)

⑵(0,1)。(瘋+可

【分析】(1)利用對數(shù)函數(shù)恒過定點(1，。)即可求解：

(2)分和0<“<1兩種情況進行討論即可求解.

【詳解】(1)令x=2,則/⑵=log/+2=2,所以尸的坐標(biāo)為(2,2).

(2)當(dāng)x=2時，y=6,當(dāng)x=4時，y=4.

當(dāng)”>1時，/(x)在［2,4］上單調(diào)遞增，則〃4)=log“3+2<4,得〃>技

當(dāng)0<“<1時，〃力在［2,4］上單調(diào)遞減，〃4)=蜒“3+2<4恒成立.

故a的取值范圍為(0』)。(6,2).

20.為解決社區(qū)老年人“一餐熱飯”的問題，某社區(qū)與物業(yè)、第三方餐飲企業(yè)聯(lián)合打造了社區(qū)食堂,

每天為居民提供品種豐富的飯菜，還可以提供送餐上門服務(wù)，既解決了老年人的用餐問題，又能減

輕年輕人的壓力，受到群眾的一致好評.如圖，送餐人員小夏從A處出發(fā)，前往8,C,。三個地點

送餐.已知AB=300m,A￡>=200m,CD=100m,且回〃CD,ZBA￡>=60°.

（1）求AC的長度.

⑵假設(shè)AB,BC,CD,AO均為平坦的直線型馬路，小夏騎著電動車在馬路上以250m/min的速

度勻速行駛，每到一個地點，需要2分鐘的送餐時間，到第三個地點送完餐，小夏完成送餐任務(wù).若

忽略電動車在馬路上損耗的其他時間（例如：等紅綠燈，電動車的啟動和停止…），求小夏完成送餐

任務(wù)的最短時間.

【答案】（l）100/m

（2）8min

【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求解；

（2）根據(jù)余弦定理求解cos/CAO,進而得sinNCAO,由兩角和與差的余弦公式可得cos/BAC,

進而由余弦定理求解A8,根據(jù)三種不同的送餐路線，計算路程的大小，即可比較求解.

【詳解】（1）因為A8〃C。，ZfiAD=60°,所以NADC=120。，

在工ACD中，由余弦定理，得AC=JAD:+5-2仞-CD?cosZAOC

=/2002+1002-2x200x100x(-1j=100V7m.

(2)在》8中，由余弦定理，得8,44人3+2-。獷2002+(100")-70。［5板,

2ADAC2x200x1007714

所以sinZCAD=Vl-cos2ZCAD=—，

14

gr-pi(/DAr-iiW1/「AC,G?人八15幣A/3-7212近

/Vl以cos/BAC—cos(/3AO—/CAD)——cosNCL4Z)H-----sin/CAD——x--------1-----x........-------.

'7222142147

在_48。中，由余弦定理，WBC2=AC2+AB2-2ACAB-COSABAC

=(100⑺。+BOO?-2x1QQ5*300x平=40000,解得BC=200m.

假設(shè)小夏先去8地，走A—8—C—D路線，路長6(X)m,

假設(shè)小夏先去C地，因為5c>8,所以走A—C—。一C—8路線，路長(400+100巾)m,

假設(shè)小夏先去。地，走A-路線，路長500m,

由于500<600<400+100收，

所以小夏走A-3-C-B路線，且完成送餐任務(wù)的最短時間為券+2x3=8min.

21.在平行四邊形ABC。中，"是48的中點，CM交BD于點N,AN與。M交于點O,設(shè)AB=“,

AD=b.

(1)用a,b表示BN;

(2)用n,b表示AO.

?.11_

【答案】⑴=+

21

(2)AO=

【分析】(1)先證明BMNDCN,再根據(jù)平面向量的線性運算即可得解;

(2)設(shè)=用。，/?表示AO，設(shè)AO=〃AN,用a,〃表示AO，再根據(jù)平面向量基本定

理求出九〃，即可得解.

/BMN=ZDCN

【詳解】(1)在BMN和DCN中,,所以BMNDCN,

4BNM=/DNC

所以處=四二也=二,即MN=-MC,

DNCNDC233

故BN=(8O=g(A￡)_48)=_(a+3；

(2)設(shè)=

則AO=AM+M