2022-2023學(xué)年江蘇省南通市如東縣高二年級(jí)上冊學(xué)期12月段考數(shù)學(xué)試題含答案

2022-2023學(xué)年江蘇省南通市如東縣高二上學(xué)期12月段考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知直線八夕=丘上有點(diǎn)(c°s2，sin2),貝〃的傾斜角a為()

2」--2

A.兀"B.2C.2D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求得正確答案.

［詳解】因?yàn)橹本€/：V=丘上有點(diǎn)(c°s2，金2),

^=sin2=tan2

所以sin2=kcos2,解得cos2,

n-

—<2<兀

又2,所以/的傾斜角。為2.

故選：D.

〃2)-/(2+Ar)_1

//\lim--------------=-

2.已知"X)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若“3°2Ar2,則/(2)=()

A.-1B.4C.1D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)極限與導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算.

八2)=Hm/…一〃J=_2,,m/⑵--)=_2xl

［詳解］Ax-。2Ax2

故選：A.

i.(〃+l)兀

)a,=\,a,-a=sin-------

3.在數(shù)列iJ中，已知n+n2,則。2022-()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】由數(shù)列的遞推公式可得，數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，可求數(shù)列中的項(xiàng).

.(〃+1)兀.(〃+1)兀

an.}-a=sm------=an+sin------

【詳解】因2所以2,

3兀

4=q+sin兀=1+0=1,%=出+疝5=1+(_1)=0,

4=能+5訪2兀=0+0=0,%=%+sing=0+l=l,

.(〃+1)兀

%=%且$|'12的值以4為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以數(shù)列SJ是以4為周期的數(shù)列,

a2Q22=04x505+2=〃2=1

故選：B

4.已知初中學(xué)過的反比例函數(shù)的圖象是非標(biāo)準(zhǔn)狀況下的雙曲線，根據(jù)圖象的形狀及學(xué)過的雙曲線

y=—

的相關(guān)知識(shí)，推斷曲線X的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（1」）B.（夜，夜）C.。，2）口.（2加，2虛）

【答案】B

【分析】根據(jù)已知求出曲線的“力"即得解.

1

V=—

【詳解】解：曲線,X的實(shí)軸是^=》，實(shí)軸與漸近線的夾角為45°,

故'J"》與廣最的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是。,1）,

（口）與曲線對稱中心（°，°）的距離。=及，

22

則b=&=yla+b=2,故曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）,（一&,.

故選：B.

151

￡1

5.等差數(shù)列"J各項(xiàng)均為正數(shù)，首項(xiàng)與公差相等，Im,則%。22的值為（）

A.9069B.9079C.9089D.9099

【答案】D

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛""｝的公差為d,結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，利用裂項(xiàng)相消法化簡方程求出“，由此

可求，022.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛“"｝的公差為人因?yàn)槭醉?xiàng)“與公差”相等，所以a，，=q+（〃T）d=〃”，

院區(qū)=加一瓜）—>=72

a

因?yàn)?￡+，%+1%+lkd,A=1，4+A/%+1

所以ddd,所以2

9

a,。,，=2022xd=2022x-=9099

所以一2

故選：D.

6.幾何學(xué)中，把滿足某些特定條件的曲線組成的集合叫做曲線族.點(diǎn)。是橢圓族7上任意一點(diǎn)，如

圖所示，橢圓族7的元素滿足以下條件：①長軸長為4：②一個(gè)焦點(diǎn)為原點(diǎn)°；③過定點(diǎn)尸（°’3）,

則|°尸|+|。。|的最大值是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件及橢圓的定義，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離的公式即可求解.

設(shè)點(diǎn)°所在橢圓的另一焦點(diǎn)為尸，則

|0P|+|0O|=|<2P|+4-|2F|<|PF|+4=4-|PO|+4=5

故選:A.

7.小明同學(xué)在課外閱讀中看到一個(gè)趣味數(shù)學(xué)問題“在64個(gè)方格上放米粒：第1個(gè)方格放1粒米，

第2個(gè)方格放2粒米，第3個(gè)方格放4粒米，第4個(gè)方格放8粒米，第5個(gè)方格放16粒米，

……，第64個(gè)方格放*粒米.那么64個(gè)方格上一共有多少粒米？”小明想：第1個(gè)方格有1粒米,

前2個(gè)方格共有3粒米，前3個(gè)方格共有7粒米，前4個(gè)方格共有15粒米，前5個(gè)方格共有31粒

米......小明又發(fā)現(xiàn)，1=3=22-1,7=2=1,15=2—1,31=2-1.............小明又查

到一個(gè)數(shù)據(jù)：10,粒米的體積大約是1立方米，全球的耕地面積大約是L5xl0U平方米,

lg2=0.3010,1g1.836=0.2640.依據(jù)以上信息，請你幫小明估算，64個(gè)方格上所有的米粒覆蓋在

全球的耕地上厚度約為（）

A.0.0012XB.0.012米C.0.12米D.L2米

【答案】C

【分析】由題意知格子上的米粒數(shù)是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式可

得

M1

h,-_2___-_1_x________

64個(gè)方格上一共有2s4-1粒米，設(shè)米粒覆蓋在全球的耕地上厚度約為〃，可得一1071.5x1013,

兩邊取對數(shù)計(jì)算可得答案.

【詳解】第1個(gè)方格放1粒米，第2個(gè)方格放2粒米，第3個(gè)方格放4粒米，第4個(gè)方格放8粒米,

第5個(gè)方格放16粒米......可知格子上的米粒數(shù)是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

1-264=2M-1

那么64個(gè)方格上一共有1-2粒米，

設(shè)米粒覆蓋在全球的耕地上厚度約為〃，

因?yàn)?07粒米的體積大約是1立方米，全球的耕地面積大約是L5X10,平方米，

,264-11

h—______x________

所以-IO，1.5X1013,

64

可得酸M（k2日一]、71^、卜國7有一出（0叫，

用1g1.836=0.2640近似替代1g1.5,

一以Ig^_lg（1.5x]0i3）=641g2_7_lgl.5_13=641g2_lgl.5_20

*64x0.3010-0.2640-20=-l,即=可得又0.1之0.12,

故64個(gè)方格上所有的米粒覆蓋在全球的耕地上厚度約為012（米）.

故選：C.

8.設(shè)拋物線/="的焦點(diǎn)為尸，若。/d+3-4）2=/3>0）與拋物線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，記

了軸同側(cè)的兩個(gè)交點(diǎn)為48,則I尸川”用|的取值范圍是（）

A.（0,4）B,（5,9）C.。9）D.《⑼

【答案】B

【分析】聯(lián)立拋物線與圓的方程，消元后得到關(guān)于N的一元二次方程，由于有四個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合韋達(dá)

定理得/的取值范圍，再根據(jù)拋物線定義得?尸川”尸團(tuán)關(guān)于產(chǎn)的關(guān)系式，即可得取值范圍.

【詳解】解：由題可得如圖：不妨設(shè)48在V軸右側(cè)

將?！ǚ匠膛c拋物線方程聯(lián)立：

x2=4y

?

f+（y-4）-=，，得/+=o（*）,

設(shè)力（聲,乂,）8（當(dāng)力），48在歹軸同側(cè)，不妨設(shè)%>0,》2>0

則由。知與拋物線有四個(gè)不同的交點(diǎn)可得（*）有兩個(gè)不等的正根，得：

A=16-4（16--）=4尸-48>0

?%+%=4

凹力=16—/>0,即產(chǎn)e（12,16）,

2

由拋物線定義可得?"H尸81=（乂+1）（月+1）=y,y2+（yl+y1）+l=21-re（5,9）,

故選：B.

二、多選題

9.過點(diǎn)尸（-21）的直線與函數(shù)〃x）=V+l的圖象相切于點(diǎn)Q（x。，％）,則%的值可以是（）

A.0B.2C.3D.-3

【答案】AD

【分析】根據(jù)過函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系求解.

【詳解】因?yàn)椤▁）=x、l,所以/'（X）=3X2,

k=r（x（））=%—

由題意得直線尸。的斜率°%+2,

3片:^-

即與+2,解得%=0或x0=-3.

故選:AD.

10.已知函數(shù)/（x）=lnx,g（x）=C-l.下列說法正確的是（）

A.當(dāng)〃=1時(shí)，8（、）的圖象為函數(shù)/G）圖象的切線

B.函數(shù)尸G）="x）g（x）,貝/‘（）"用門

C.時(shí)方程/（x）=gG）只有一個(gè)解

D.當(dāng)上21時(shí)，對任意的x?L+8）,/（x）g（x）20恒成立

【答案】ACD

【分析】根據(jù)切線、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、圖象、最值等知識(shí)確定正確答案.

【詳解】對于A,%=1時(shí)，g（x）=l,

令'（x）-=l得x=],切點(diǎn)為（1，°）,切線為…T,即gG）=x-l,故A對;

MbF（x）=（履-l）lnx尸'（x）=-nx+一tt,a

對于B,v7v7x,故B錯(cuò)陜；

對于C,當(dāng)〃4°時(shí)，畫出/（X）與8卜）的圖象，顯然只有一個(gè)交點(diǎn)，故C正確；

/\g（x）=Ax-l

對于D,xe[L+8）時(shí)，/。）20恒成立，％21時(shí)，g（x）=HT單調(diào)遞增，且在必+°°）上最小值為

g⑴="120

故心1時(shí)，對任意的xe[L+"）,/（x）g（x）2°恒成立，故D正確.

故選：ACD.

11.以下為正奇數(shù)從小到大依次排成的數(shù)陣：

1

35

7911

第〃行有〃個(gè)數(shù)，則（）

A.該數(shù)陣第月行第一個(gè)數(shù)為Y-n+l

B.該數(shù)陣第〃行最后一個(gè)數(shù)為/+〃+1

C.該數(shù)陣第”行所有數(shù)的和為/

D.若數(shù)陣前〃行總和不大于2023,則〃的最大值為9

【答案】AC

【分析】正奇數(shù)從小到大為等差數(shù)列%=2加-1,數(shù)陣第“行第一個(gè)數(shù)對應(yīng)機(jī)依次為：

1,2,4,7,11,…，則2

2——^+1-1

對A,第〃行第一個(gè)數(shù)為（2）；

對B,第八行最后一個(gè)數(shù)為第〃+1行第一個(gè)數(shù)減2；

對C,第〃行所有數(shù)的和為首項(xiàng)為該行第一個(gè)數(shù)，公差為2的等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和：

對D,數(shù)陣前〃行總和為前?行每行所有數(shù)的和相加.

【詳解】正奇數(shù)從小到大為等差數(shù)列盤=2〃?-1,數(shù)陣第〃行第一個(gè)數(shù)對應(yīng)m依次為：

〃（〃一1）

1,2,4,7,11,?一，則2

2——^+1\-\=n2-n+\

對A,第〃行第一個(gè)數(shù)為I2；,A對；

（+）

2-------F1—1—2=77*2*4-77-1

對B,第”行最后一個(gè)數(shù)為第〃+1行第一個(gè)數(shù)減2,即（2）,B錯(cuò)；

對C,第〃行所有數(shù)的和為首項(xiàng)為n'-n+l,公差為2的等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和，即

172,C對；

對D,由第〃行所有數(shù)的和為/,則數(shù)陣前〃行總和S=「+23+...+/,則有當(dāng)〃=8時(shí)，

5=1296<2023,當(dāng)“=9時(shí)，5=2025>2023,故數(shù)陣前“行總和不大于2023時(shí)〃的最大值為

8,D錯(cuò).

故選：AC

Cx~—l（b>0）

12.如圖，過雙曲線"右支上一點(diǎn)尸作雙曲線的切線/分別交兩漸近線于/、B

兩點(diǎn)，交X軸于點(diǎn)。，耳用分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

()

C.SAAOB=b

D.若存在點(diǎn)P,使且片。=2°6，則雙曲線c的離心率e=2

【答案】BCD

【分析】聯(lián)立切線方程與漸近線方程，求出48的坐標(biāo)，即可得=+l）x；-1,由「的取

值范圍即可得京=26,從而可判斷A,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可判斷尸是48的中點(diǎn)，由此可判斷

BC,由余弦定理結(jié)合=2。8可判斷口.

X?_J1

【詳解】先求雙曲線吩上一點(diǎn)”與，打）的切線方程：

不妨先探究雙曲線在第一象限的部分（其他象限由對稱性同理可得）.

2y2_______,=b2X

由X_爐_1,得L",所以)W-b1,

y，_b—o_b/

則在Rx。/。）的切線斜率揚(yáng)X02一〃％

y-yn=^2-（x-x0）

所以在點(diǎn)尸（/J。）處的切線方程為：必

X02-與=1X0X-^-=]

又有〃，化簡即可得切線方程為：b2

不失一般性，設(shè)P（x°，處）是雙曲線在第一象限的一點(diǎn)，

”（網(wǎng)，必）是切線與漸近線在第一象限的交點(diǎn),

8（X2，%）是切線與漸近線在第四象限的交點(diǎn),

雙曲線的漸近線方程是）'=±云，

VX-^-=l

b2/、

A(-------,-------)

聯(lián)立：U=,解得：bxQ-y0bx0-y0,

YX-￡^L=\

b2mb-/、

t"(T，7)

聯(lián)立：l尸一反，解得：bx0+y0+Jo,

1陽=Q-------J)?++工Z7=「—―

則Vbx0-y0bx0+y0bx0-y0bx0+y02yl(Jr+l)x0-1

又因?yàn)榘?1,所以網(wǎng)*2河+1)-1=26,即|/8京=26,人錯(cuò)誤;

bbb2-h2

------+-------------+------

bx0-y0bxQ+y0_bx0-y0bx0+y0_

由2=%,2=，。，

可知是48的中點(diǎn)，所以SAM=SgjB正確；

（一,0）

易知點(diǎn)。的坐標(biāo)為X。

-c□.C

D^AOB一0^ADO十°ABDO

則f囪小「切=9白3+懸）="

當(dāng)點(diǎn)P（x（）/o）在頂點(diǎn)（1,0）時(shí)，仍然滿足%?。尸6,c正確;

1一1—■1

6(-c,0)，8(c,0),D(一,0)他=(一+。,0)DF2=(C一一,0)

因?yàn)榕c，所以%，%

33

—+c=2(c--)X。

因?yàn)樵?。二?6則X。X。，解得X。即

2

v2y0A

與下%;

代入,得

\PFf=^+c)2+與_*斗+八6+半十

所以CCC

="+6+9(c2-l)

-(c2-1)=16

c

I,12/329b2,292N9/72,2

PnFr>=(——c)+^--b=—r+c-6+—

ccc-c

29(1)

=-^-+c-6+2

2-(C-1)=4

cosNFPF一彌M叫2一閨閭［16+4-4人5-2」

所以?22x|P￡岡尸圖2x4x244,

e=--2

所以c?=4,C=2,所以離心率a,D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求得在雙曲線上一點(diǎn)「a。，為）的切線方程，并聯(lián)立漸近線

方程，求得48的坐標(biāo)，判斷出P是中點(diǎn).

三、填空題

13.在中，三邊長是公差為2的等差數(shù)列，若春2c是鈍角三角形，則其最短邊長可以為

.（寫出一個(gè)滿足條件的值即可）

【答案】3（答案不唯一）

【分析】設(shè)三角形的三邊長為“，"+2，.+4,求出最短邊的取值范圍為（2忑）即得解.

［詳解］解：設(shè)三角形的三邊長為生〃+2，〃+4,所以a+"+2>a+4,.?.a>2

/+3+2）2.+4）2..

因?yàn)槿切问氢g角三角形，所以2a伍+2）,

所以-2<"6.

綜合得最短邊的取值范圍為（24）.

故答案為：3（答案不唯一）

14.函數(shù)/G）=xJnx的單調(diào)遞減區(qū)間為.

【答案】［。匕##（0?1

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得/G）的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋ā?+e）,?.?/'（'"Inx+l,

0<x4—

令I(lǐng)nx+1W0得e,

...函數(shù)/（X）=x?InX的單調(diào)遞減區(qū)間是〔°'e一.

故答案為:

四、雙空題

15.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)發(fā)現(xiàn)了數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,…，數(shù)列

中的每一項(xiàng)被稱為斐波那契數(shù)，用符號(hào)尸(附)表示(”eN*),已知尸0)=1,22)=1,

F(?)=F(n-l)+F(n-2)(/J>3)

(1)若尸(5)+尸(6)=尸(〃)，則〃=；

(2)若尸(2022)=9則F⑴+/(2)+…+尸(2020)=

【答案】11?-l##-l+a

【分析】(I)利用已知和F(〃)=F(〃-D+F("-2)的性質(zhì)計(jì)算可得答案：

(2)利用已知和尸(〃)=尸(〃-1)+尸(〃-2)的性質(zhì)計(jì)算可得答案.

【詳解】⑴"七5)+尸⑹+&=89="“，..."=u；

(2)/⑴+尸(2)+…+F(2020)=[F(3)-F(2)]+[F(4)-產(chǎn)(3)]+…+[尸(2022)-尸(2021)]

=F(2022)-F(2)=a-l

故答案為：①11；②

五、填空題

22

16.星形線又稱為四尖瓣線，是數(shù)學(xué)中的瑰寶，在生產(chǎn)和生活中有很大應(yīng)用，/+/=|便是它的

一種表達(dá)式，

①星形線關(guān)于夕=》對稱

②星形線圖像圍成的面積小于2

]_

③星形線上的點(diǎn)到X軸，歹軸距離乘積的最大值為a

④星形線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為2

上述說法正確的是有.

【答案】①②④

【分析】把已知方程中的x與了互換方程不變，判斷①；由星形線圖像圍成的區(qū)域在曲線

N+3=i所圍成的內(nèi)部區(qū)域判斷②；利用基本不等式求最值判斷③④.

22

【詳解】對于①，把方程,+儼=1中的X與y互換，方程不變，可得星形線關(guān)于y=x對稱，故正

確；

2222

對于②,曲線兇+3=1所圍成的區(qū)域面積為2,而國+例>仲+阱=爐+匕

即星形線圖像圍成的區(qū)域在曲線W+3=i所圍成的區(qū)域內(nèi)部，

所以星形線圖像圍成的面積小于2,故正確;

由-+小席+席22后=2網(wǎng);，得⑹4，當(dāng)且僅當(dāng)N3時(shí)等號(hào)成立,

即星形線上的點(diǎn)到X軸，歹軸距離乘積的最大值為故③錯(cuò)誤；

<2\3/2\3/22\/4224>

x2+y2=戶+6=/+>3/+/

因?yàn)閈J\\人）

（22\2

（22山22丫J23+戶1

=爐+/爐+/―33）3=1-3（A^）3>1-3--------=—

y/x2+y2=-

即星形線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為2，故④正確

故答案為:①②④.

六、解答題

17.已知函數(shù)/（x）="e"-4x,"R.

71

（1）若/（X）在x=0處的切線傾斜角為彳，求。的值;

（2）求函數(shù)/（X）的單調(diào)區(qū)間.

【答案】（1）。=5

（2）答案見解析

【分析】（1）由廣（°）=1求得a的值.

（2）求得/'（X）,對。進(jìn)行分類討論，由此求得函數(shù),G）的單調(diào)區(qū)|Hj.

［詳解］（1）/'（x）=ae、-4

/z（0）=a-4=tan—=1

令4,解得。=5.

（2）因?yàn)?（x）="e'-4,xwR,

①時(shí)，/'（x）＜°恒成立，故/（X）是（?0，…）上的減函數(shù);

,4

②。＞。時(shí)，令/'（x）=°得a,

.4,4

由/""。得叱，*.）＞（）得x＞叱,

故/（X）的單調(diào)減區(qū)間為

,單調(diào)增區(qū)間為

綜上，。《0時(shí)，/（*）是（-°，+00）上的減函數(shù)；

f（\f-oo,ln-＞1fln-,+

。＞°時(shí)，Jl町的單調(diào)減區(qū)間為Ia）,單調(diào)增區(qū)間為Ia

18.已知數(shù)列｛"J滿足4=2,且（--3＞（%+1）+4=0,?eN?

（1）求證：數(shù)列I?一"是等差數(shù)列；

b=乙

（2）若數(shù)列色｝滿足"%T,求也｝的前〃項(xiàng)和.

【答案】（1）證明見解析

⑵7；=…

【分析】（1）根據(jù)題意化簡可得a""T勺-12證明即可;

（2）由（1）可得4一12,進(jìn)而得到"=（〃+l）x2",再根據(jù)錯(cuò)位相減法求也，｝的前〃項(xiàng)和即

可.

【詳解】（1）由（%-3＞（%+1）+4=0,得%+1,

1111

JT%Tf3_4]_]an-\

所以I%+U

__l_______1__a“+l_2_?！癬1_\_

=2—4--^7T=2(a?-l)-2(??-l)=2(^-l)=2

%+l,

又j"「I，所以數(shù)列1I“—"TJI是以1為首項(xiàng)，E?為公差的等差數(shù)列.

—!-=l+(n-l)x—=^-^-

(2)由(I)可知，a"~122,

2"+,2n+lx(?+l)/、

b?=----=-----——2=(〃+I)X2",、

所以4-12.記出，的前〃項(xiàng)和為3

則7；=2x2i+3x22+4x23+.-+〃x2"T+(〃+l)x2"(j)

234,,+1

27；,=2x2+3x2+4x2+---+nx2"+(n+l)x2(^)

由①-②得V=4+22+2、24+...+2”-(〃+I)x*

4(1一2吟

=4+-^2”—(〃+l)x2"”=—〃x2"i

所以k〃x2”L

【點(diǎn)睛】等差數(shù)列的判定與證明的方法

對于數(shù)列"，，一%（心2,〃eN*）為同一常

定義法

數(shù)0也｝為等差數(shù)列

2%_|=〃〃+。〃_2(?>3,eN*)0{%}為等差數(shù)

等差中項(xiàng)法

列

an=P〃+q（p,q為常數(shù)）對任意的正整數(shù)n都成

通項(xiàng)公式法

立=｛%｝為等差數(shù)列

S,=M『+8〃（48為常數(shù)）對任意的正整數(shù)〃都

前〃項(xiàng)和公式

法成立=｛"”｝為等差數(shù)列

==3

19.已知數(shù)列｛“J滿足6%5,",+2=a“+2x3"〃eN"),且%N*).

⑴求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

“C二出”+1)

(2)若3(4〃2-1)(〃GN*),求數(shù)列匕｝的前"項(xiàng)和.

【答案】⑴々=3",?eN,.

11

-n+,

(2)33(2n+l)

【分析】(1)根據(jù)遞推關(guān)系結(jié)合條件求得"m-2=2x3",然后利用累加法可得”的通項(xiàng)公式;

11

C------------------------

(2)由題可得"3"(2"-1)3'一(2〃+1),然后利用裂項(xiàng)相消法即得.

3

【詳解】⑴因?yàn)椤耙黄咭?,""2=a"+2x3"("eN),“=%+%,

可得仇=《+曲=3,an+2-an=2x3",

ha+

又4+1-n=n+\%+2一(%+〃用)=%+2一%=2X3",

則當(dāng)〃22時(shí)，hn=+(*2-61)+(*3-fe2)+--，+(^-^-i)=3+2x3+2X32+---+2X3,,_,

上式對〃=1也成立,

所以2=3",?eN*.

4(/7+1)

bR€N

3(4?2-1)?')

(2)由

_4〃+4_1____________]

可得C"_3n+,(2n-l)(2n+l)-3"(2〃-1)-3向(2〃+1)

1______i__j_______i_+____；____________[

則數(shù)列匕｝的前〃項(xiàng)和為3,xl32X3+32X333X5+3"(2〃-1)3,,+l(2n+l)

11

一3一3川(2〃+1)

20.已知各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列H”｝滿足4=T,%=4,前6項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起依

次成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛"”｝的通項(xiàng)公式;

(2)求出所有的正整數(shù)m,使得人+勺+】+4+2=。-,+2.

【答案】⑴122，"小?：(2)加=1,或加=3.

【分析】(1)首先根據(jù)條件前6項(xiàng)成等差數(shù)列可以將。，二用公差d的代數(shù)式表示，再由條件從

第5項(xiàng)起依次成等比數(shù)列可以得到關(guān)于公差△的方程：(3dT)2=4(24-1),從而解得"=1或

9(舍去)，即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為“2"-',(〃*5).(2)考慮到(1)中求得數(shù)列的

分段性，因此首先可驗(yàn)證"：一】或，時(shí)符合題意，”‘一二或時(shí)不合題意，接下來只需說

明當(dāng)”上￡,條件給出的方程無解即可：%+%+冊+2=2"T⑵-1)=7X2：”"限=2."

若J="“川限，則7x2吁5=23M-'2,...22M-7=7,而這是不可能成立的，從而得證.

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列前6項(xiàng)的公差為d,則%=T+2%%=-l+3da為整數(shù))

2d

又?.?6,%,%成等比數(shù)列，.??(3"-1)~=4(24-1),即9d2—144+5=0,得d=l或9(舍去)，

當(dāng)〃《6時(shí)，/=〃-4,6分6=2,數(shù)列從第S項(xiàng)起構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為，

&_?-4,(?<4)

.?.當(dāng)"25時(shí)，°，，=2"一，，故"2"一,(〃25),

(2)由(1)知，當(dāng)切=1時(shí)等式成立，即一3-2-l=-6=(-3)x(-2)x(-l),

當(dāng)機(jī)=3時(shí)等式成立，即-l+°+l=°=(-l)x0xl,

當(dāng)，〃=2或I時(shí)等式不成立，

當(dāng)加25時(shí),對，+限+限=22⑵_1)=7x22,amam+iam+2=2-

若%+%川+%,+2=凡4川品+2,貝I」7x2~$=23?"12,...22"'-7=7,

2m7

■：m>5,.-.2->8,從而方程2*7=7無解，...%+%+,+*2x。1AMM.

故所求”：=1或加=3.

21.已知/(3,0),5(-3,0),C是動(dòng)點(diǎn)，滿足%?死=幾(義為常數(shù))，過C作x軸的垂線，垂足為

H,記C"中點(diǎn)”的軌跡為

（1）若「是桶圓，求此橢圓的離心率；

⑵若"（2，D在「上，過點(diǎn)G（O,m）作直線/與「交于尸、。兩點(diǎn)，如果加值變化時(shí)，直線MP、MQ

的傾斜角總保持互補(bǔ)，求AMP。面積的最大值.

【答案】（1）2

⑵2

【分析】（1）根據(jù)條件，列方程即可；

（2）根據(jù)條件設(shè)直線/的方程，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理求出歸0和M點(diǎn)到直線/的距離,

再計(jì)算三角形的面積，利用基本不等式即可求解.

【詳解】⑴設(shè)MXy）,則C（x,2y）,/C?8C=（x-3,2y）-（x+3,2y）=x2-9+4]=4,

方程為/+4/=彳+9,

上+尤=1

僅當(dāng)4>-9時(shí)此方程表示橢圓7+9A+9,

此時(shí)，V42

?色

..e=—

2.

（2）把尸（2，1）代入-+4/='+9,得2=-1,方程為4+4/=8,

設(shè)尸（，山），。（如竺），直線/方程為y=kx+m,代入「方程可得（1+4/）/+8碗x+4/H2-8=0,

8km4m2-8

一由莊=由①，

???直線心、MQ的傾斜角互補(bǔ)，

...kMP=~kMQ,

（g+加）-1_（仇+〃7）-1

X）-2X2-2,化簡得+（加一2左一1）（玉+%2）+4-4加=0②，

把①代入，整理得（2"1加+（4/-4%+1）=0,

.?.21=0,4左2_必+1=0,"=2,

1

,<■,T2Ay=—x+m

此時(shí)，%+々=-2見平2=25-4,直線/方程為J2,

IPQ1=Jl+7I-^2|=75V4-W2

；.N4,尸到直線/距離V5

S=-d\PQ|=|/n|<〃廣+（4-"廠）=2

△MPQ面積22

當(dāng)"?=±&時(shí)，取等號(hào)，滿足」=16（2+8公-機(jī)2）＞0,

??.△"P。面積的最大值為2；

e-3

綜上，橢圓「的離心率‘一2,"MP。面積的最大值為2.

也

22.已知離心率為2的橢圓C的中心在原點(diǎn)°,對稱軸為坐標(biāo)軸，耳，鳥為左右焦點(diǎn)，〃為橢圓

上的點(diǎn)，且網(wǎng)+解卜班.直線，過橢圓