2022-2023學(xué)年人教A版選擇性必修第三冊正態(tài)分布講義

7.5正態(tài)分布

新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀

1.了解正態(tài)曲線和正態(tài)分布的意1.在理解正態(tài)分布的概念過程中，

義.增強數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng).

2.理解正態(tài)曲線的性質(zhì).2.在求解正態(tài)分布問題的過程中，

3.了解3c原則，會用正態(tài)分布解提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建

決實際問題.模的核心素養(yǎng).

課前篇?自主學(xué)習(xí)固基礎(chǔ)

［筆記教材］

知識點1連續(xù)型隨機變量

隨機變量不是離散的，它們的取值往往充滿某個區(qū)間甚至整個實

軸，但取一點的概率為0,我們稱這類隨機變量為連續(xù)型隨機變量.

知識點2正態(tài)曲線與正態(tài)分布

(1)解析式6后",%￡R.其中//GR,。＞0為參

數(shù)，它的圖象在％軸的上方，可以證明％軸和曲線之間的區(qū)域的面積

為1.我們稱八%)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱

,若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為“x),則稱隨機變量

X服從正態(tài)分布，記作(?),特別地，當(dāng)〃=0,b=1時，稱

隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)

①正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱(即4決定正態(tài)曲線對稱軸的

位置)，具有中間高、兩邊低的特點；

②正態(tài)曲線與％軸所圍成的圖形面積為;

③。決定正態(tài)曲線的“胖瘦”：。越大，說明標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)

的集中程度越________，所以曲線越________;。越小，說明標(biāo)準(zhǔn)差

越小，數(shù)據(jù)的集中程度越_______,所以曲線越_________.

(3)3。原則

如果X~N〃，o2),那么

P(XW〃)=尸(X2〃)=,

P(\X—)W(7)=P(j.l—<7WXW/Z+<F)弋,

P(|X-〃|W2(7)=Pg2OWXW4+2(7)y,

P(|X-4|W3c)=P〃-3bWXW4+3c)Q.

最后的式子意味著，X約有99.73%的可能會落在距均值3個標(biāo)

準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)，也就是說只有約的可能會落入這一范圍之

外(這樣的事件可看成小概率事件)，這一結(jié)論通常稱為正態(tài)分布的

”原則”.

上述結(jié)果可用圖表示如下：

〃一〃-2。〃4+2?！?3。"〃+3。

答案：(1)正態(tài)曲線

(2)①%=〃②1③弱胖強瘦

(3)50%68.27%95.45%99.73%0.27%3。

知識點3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

(1)定義：當(dāng)〃=,。=時，稱隨機變量X服從

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作X?.

(2)概率計算方法：

如果X?N(0,l),那么對于任意a,通常記⑦3)=,其

中03)表示M?！?對應(yīng)的正態(tài)曲線與％軸在區(qū)間(一8,4)內(nèi)所圍的面

積.

特別地，①(一。)+⑦(幻=.

思考：正態(tài)分布入N〃，標(biāo))化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變換是什么？

答案：(1)01N(0,l)

(2)P(x<tz)1

思考：提示：借助x=Z法實現(xiàn)變換.

［重點理解］

1.正態(tài)分布完全由〃和。確定，參數(shù)〃是反映隨機變量取值的

平均水平的特征數(shù)，可以用樣本平均值去估計；。是衡量隨機變量總

體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計.

2.一般地，一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主

次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布.

3.正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率是我們計算有關(guān)正態(tài)

分布概率的重要依據(jù).當(dāng)隨機變量所在的區(qū)間不對稱時，不妨先通過

分解或合成，再通過正態(tài)曲線的對稱性解決問題.

［自我排查］

1.若fG)=^=e2，彳GR,則/(7)()

后

A.有最大值，也有最小值

B.有最大值，但無最小值

C.無最大值，也無最小值

D.有最小值，但無最大值

答案：B解析：當(dāng)x=l時，/(%)有最大值#1)=加=茨，無

最小值.

2.(2021?河北保定第三中學(xué)高二期中)設(shè)隨機變量:服從正態(tài)分

布NQi,cr),若函數(shù)於)=(+10%+^有零點的概率是:，則〃=()

A.8B.25C.10D.16

答案：B解析：因函數(shù)人x)=%2+i0x+4有零點，

則4=100—4。20,即。W25,

于是得尸QW25)=；.

又《?〃)，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可知/z=25,

故選B.

3.(多選題)把一條正態(tài)曲線。沿著橫軸方向向右移動2個單位,

得到一條新的曲線。，下列說法中正確的是()

A.曲線b仍然是正態(tài)曲線

B.曲線。和曲線人的最高點的縱坐標(biāo)相等

C.以曲線b為正態(tài)分布的總體的方差比以曲線a為正態(tài)分布的

總體的方差大2

D.以曲線。為正態(tài)分布的總體的均值比以曲線。為正態(tài)分布的

總體的均值大2

答案：ABD解析：正態(tài)曲線向右平移2個單位，。不發(fā)生變化，

故C錯誤，其他正確.

4.(2021?安徽宣城高二期末)設(shè)X?N(5,扭)，若X￡(5,9)的概率

為0.45,則X￡(l,+8)的概率為.

答案：0.95解析：由題意可知，〃=5,P(5<X<9)=0.45,

.,.P(l<X<5)=0,45,

P(X<l)=1-P(l<r<5)=0.5-0.45=0.05,

A/3U>1)=1-P(X<1)=1-0.05=0.95.

5.(2021?云南昆明高三一模)隨著《生物多樣性公約》第十五次

締約方大會(COP15)重新確定于2021年5月17日至30日在云南省昆

明市舉辦，“生物多樣性”的目標(biāo)、方法和全球通力合作又成為國際

范圍的熱點關(guān)注內(nèi)容.昆明市市花為云南山茶花，又名滇山茶，原產(chǎn)

云南，國家二級保護(hù)植物.為了監(jiān)測滇山茶的生長情況，從不同林區(qū)

隨機抽取100株滇山茶測量胸徑D(厘米)作為樣本，通過數(shù)據(jù)分析得

到。?N(12.5,4.52).若將D221.5的植株建檔重點監(jiān)測，據(jù)此估算10

000株滇山茶建檔的約有株.(附：若X?M/Z,〃)，則P"

-oWXW//+c)=0.6827,Pa-2oWXW4+2a)=0.9545)

答案：228解析：由題意知：P(D22L5)=P(D2〃+2b),而PQi

-2cWX4+2Q=0.9545,

,1—P(/L2(TWXW/Z+2(7)

.,.P(O2〃+2(7)=-------------------^0.0228,

.,.10000株滇山茶建檔的約有228株.

故答案為228.

課堂篇?重點難點要突破

研習(xí)1正態(tài)曲線的圖象及其應(yīng)用

［典例1］如圖所示是一個正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)

分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機變量的期望和方差.

思路點撥：給出了一個正態(tài)曲線，并給出了該曲線的對稱軸和最

大值，就能求出總體隨機變量的期望、標(biāo)準(zhǔn)差及解析式.

解：從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線％=20對稱，

最大值是東，

所以〃=20.

11

，得(7—y/2.

由2血

于是概率密度函數(shù)的解析式是

1Q-20)''

小)(-8,+8),

~二.e

2G

總體隨機變量的期望是4=20,方差是M=(g)2=2.

［巧歸納］

正態(tài)曲線的圖象及性質(zhì)特點，其具有兩大明顯特征：

(1)對稱軸方程為％=〃；

(2)最值為)岔.

這兩點把握好了，參數(shù)〃，。便確定了，代入即可求出相應(yīng)的解

析式.

1'o~~~

［練習(xí)1］已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)必%)=怠/e”

(%￡R,i=l,2,3)的圖象如圖所示，貝IJ()

A.〃I<〃2=43，。1=。2>6

B.〃I>"2=〃3，內(nèi)=(72<。3

C.〃1=〃2<〃3，。1<。2=。3

D./ZI<〃2=43，。］=0"2<。3

答案：D解析：因為正態(tài)曲線關(guān)于％=;/對稱，且//越大圖象

越靠近右邊，所以可得/，2=〃3.

又因為C的值反映的是這組數(shù)據(jù)的集中情況，其C值越小圖象越

高瘦，a值越大圖象越矮胖,

所以可得6=。2<6.

研習(xí)2利用正態(tài)分布的對稱性求概率

［典例2］設(shè)X?Ml?！?.

(1)求證：P(1<X<2)=P(18<X<19)；

(2)若P(XW2)=a,求尸(10<X<18).

(1)證明：TX?N(10,l),

.?.正態(tài)曲線/(%)關(guān)于直線％=10對稱，

而區(qū)間(1,2)和(18,19)關(guān)于直線l=10對稱，

所以P(1<X<2)=P(18<X<19).

(2)解：?.?P(XW2)+P(2<XW1O)+P(1O<X<18)+P(X218)=1,〃

=10,

P(XW2)=P(X218)=a,

P(2<XW10)=P(10<X<18)，

.?.2a+2P(1O<X<18)=1,

nrt1—2。1

即P(10<X<18)=—^—=2~a.

［巧歸納］

利用正態(tài)分布求概率的兩個方法

1.對稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x=4對稱的，且概率的和

為1,故關(guān)于直線％=“對稱的區(qū)間上概率相等.如：

(l)P(X<a)=l—P(X2a)；

(2)P(X</z~d)=P(X>R+a).

2."3cr"原則法：利用X落在區(qū)間口一er,〃+cr］,口一2cr,〃+2cr］,

僅一36〃+3用內(nèi)的概率分別是0.6827,0.9545,0.9973求解.

［練習(xí)2］(2021?江蘇淮安高三三模X多選題)若隨機變量。?

N(0,l),則下列結(jié)論正確的是()

A.該正態(tài)曲線關(guān)于直線％=1對稱

B.若。仁1.52)=0.9357,貝I」001.52)=0.0643

C.若1.49)=0.9319,貝U尸《W一1.49)=0.9319

D.當(dāng)尤>0時,若一工2%)=夕(%),則一(因2%)=2貝%)

答案：BD解析：A:由題設(shè)知：該正態(tài)曲線關(guān)于直線％=0對

稱，錯誤；

B:。(4>1.52)=1—。(4?1.52)=0.0643,正確；

C:尸《W一1.49)=尸<21.49)=1—PQW1.49)=0.0681,錯誤；

D:尸(?2%)=尸(42%)+尸(4?一》),而由對稱性知產(chǎn)(。2%)=尸(?

-x),所以尸(?2%)=2磯江正確.

故選BD.

研習(xí)3正態(tài)分布的實際應(yīng)用

［典例3］某城市從南郊某地乘公共汽車前往北區(qū)火車站有兩條

路線可走，第一條路線穿過市區(qū)，路線較短，但交通擁擠，所需時間

(單位為分)服從正態(tài)分布M50,10%第二條路線沿環(huán)城公路走，路程

較長，但交通阻塞少，所需時間服從正態(tài)分布N(60,4)

(1)若只有70分鐘可用，問應(yīng)走哪條路線？

(2)若只有65分鐘可用，又應(yīng)走哪條路線？

解：由題意得X?N(50,102),丫?N(60,42).

根據(jù)正態(tài)分布的2。區(qū)間性質(zhì)P〃-2crW4W〃+2cr)=0.9545得到

如下結(jié)果：

對X：4=50；(7=10；2c區(qū)間為(30,70),

對上4=60；(7=4；2c區(qū)間為(52,68),

要盡量保證用時在XC(30,70),YU(52,68)才能保證有95%以上

的概率準(zhǔn)時到達(dá).

(1)時間只有70分鐘可用，應(yīng)該走第二條路線.

(2)時間只有65分鐘可用，兩種方案都能保證有95%以上的概率

準(zhǔn)時到達(dá)，但是走路線一的平均用時比路線二少了10分鐘，應(yīng)該走

第一條路線.

［巧歸納］

解答正態(tài)分布的實際應(yīng)用題，其關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，同時應(yīng)熟練掌

握正態(tài)分布在口一er,/z+cr］,［jU—2a,/z+2可，［jU~3(7,//+3司三個區(qū)

間內(nèi)的概率.在此過程中用到歸納思想和數(shù)形結(jié)合思想.

［練習(xí)3］(2021?江西高二期末)某廠包裝白糖的生產(chǎn)線，正常情

況下生產(chǎn)出來的白糖質(zhì)量服從正態(tài)分布M500,52)(單位：g).

(1)求正常情況下，任意抽取一包白糖，質(zhì)量小于485g的概率約

為多少？

(2)該生產(chǎn)線上的檢測員某天隨機抽取了兩包白糖，稱得其質(zhì)量

均小于485g.檢測員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要

求立即停產(chǎn)檢修，檢測員的判斷是否合理？請說明理由.

附：X?N"/),則P(//-CWXW〃+(T)QO.6827,PgZoWXWp

+2(7)^0.9545,尸5一3<TWXW〃+3CT)心0.9973.

解：(1)設(shè)正常情況下，該生產(chǎn)線上包裝出來的白糖質(zhì)量為Xg,

由題意可知X?Z(500,52).

由于485=500-3X5,所以根據(jù)正態(tài)分布的對稱性與“3。原

則”可知

P(X<485)=1(1-P(500-3X5WXW500+3X5))心］X0.0027=

0.00135.

(2)檢測員的判斷是合理的.

因為如果生產(chǎn)線不出現(xiàn)異常的話，由⑴可知，隨機抽取兩包檢

查，質(zhì)量都小于485g的概率約為0.00135X0.00135心0.00000182

=1.82*10一6,幾乎為零，但這樣的事件竟然發(fā)生了，所以有理由認(rèn)

為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，檢測員的判斷是合理的.

課后篇?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)延伸閱讀

1.設(shè)一隨機試驗的結(jié)果只有A和了，且尸(A)=機，令隨機變量

1,

則^的方差等于(

0,

2m(l—in)

C.m(m—1)m(l-m)

答案：D

機變量^的分布列為

/.￡)(。=(0-m)2X(1—m)+(l—m)2Xm=m(\—m).

故選D.

2.已知隨機變量小的分布列為

若石(。=掾，則。?=.

答案：H解析：由已知，得X+尸；

又因為￡（J=0.5Xl+2%+3y=w，

“，13

所以％=g,y=g.

^^n（a=（l-y）xo.5+（2-y）x|4-（3-y）x|=g.

3.（2021.全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理））某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品

的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備

和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下:

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為工

和亍，樣本方差分別記為儲和在

（1）求,J7,5j,5,；

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否

有顯著提高（如果萬一?。?，%*,則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)

產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為

有顯著提高）.

解：（1）7=

9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7

10:13

y

10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5

10

=10.3,

0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32

10

=0.036,

0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22

10

=0.04.

⑵依題意,7-T=10.3-10=0.3=2X0.15=200.152=

240.0225,

0.036+0.04

2=2,0.0076,