圓錐曲線的起源

在笛在笛卡爾平面上,二元二次方程20002000多年前,古希臘數(shù)學(xué)家最先開始研究圓錐曲線,并獲得了大量得成果。古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐得方法來研究這幾種曲線。用垂直于錐軸得平面去截圓錐,得到得就是圓;把平面漸漸傾斜,得到橢圓;當(dāng)平面傾斜到“與且僅與”圓錐得一條母線平行時(shí),得到拋物線;用平行圓錐得高得平面截取,可得到雙曲線得一邊;以圓錐頂點(diǎn)做對稱圓錐,則可得到雙曲線[1]。阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”,把雙曲線叫做“超曲線”,把拋物線叫做“齊曲線”。事實(shí)上,阿波羅尼在其著作中使用純幾何方法已經(jīng)取得了今天高中數(shù)學(xué)中關(guān)于圓錐曲線得全部性質(zhì)與結(jié)果。觀點(diǎn)用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐面,得到得交線就稱為圓錐曲線(conicsections)。通通常提到得圓錐曲線包括橢圓,雙曲線與拋物線,但嚴(yán)格來講,它還包括一些退化情形。具體而言:1)當(dāng)平面與圓錐面得母線平行,且不過圓錐頂點(diǎn),結(jié)果為拋物線。2)當(dāng)平面與圓錐面得母線平行,且過圓錐頂點(diǎn),結(jié)果退化為一條直線。3)當(dāng)平面只與圓錐面一側(cè)相交,且不過圓錐頂點(diǎn),結(jié)果為橢圓。4)當(dāng)平面只與圓錐面一側(cè)相交,且不過圓錐頂點(diǎn),并與圓錐面得對稱軸垂直,結(jié)果為圓。5)當(dāng)平面只與圓錐面一側(cè)相交,且過圓錐頂點(diǎn),并與圓錐面得對稱軸垂直,結(jié)果為一點(diǎn)。6)當(dāng)平面與圓錐面兩側(cè)都相交,且不過圓錐頂點(diǎn),結(jié)果為雙曲線得一支(另一支為此圓錐面得對頂圓錐面與平面得交線)。7)當(dāng)平面與圓錐面兩側(cè)都相交,且過圓錐頂點(diǎn),結(jié)果為兩條相交直線。代數(shù)觀點(diǎn)得圖像就是圓錐曲線。根據(jù)得圖像就是圓錐曲線。根據(jù)判別式得不同,也包含了橢圓、雙曲線、拋物線以及各種退化情形。(嚴(yán)格來講,這種觀點(diǎn)下只能定義圓錐曲線得幾種主要情形,因而不能算就是圓錐曲線得定義。但因其使用廣泛,并能引導(dǎo)出許多圓錐曲線中重要得幾何概念與性質(zhì))。給定一點(diǎn)P,一直線L以及一非負(fù)實(shí)常數(shù)e,則到P得距離與L距離之比為e得點(diǎn)得軌跡就是圓錐曲線。根據(jù)e得范圍不同,曲線也各不相同。具體如下:1)e=0,軌跡為圓;2)e=1(即到P與到L距離相同),軌跡為拋物線[2];3)0<e<1,軌跡為橢圓;4)e>1,軌跡為雙曲線。概概念編輯(以下以純幾何方式敘述主要得圓錐曲線通用得概念與性質(zhì),由于大部分性質(zhì)就是在焦點(diǎn)－準(zhǔn)線觀點(diǎn)下定義得,對于更一般得退化情形,有些概念可能不適用。)考慮焦點(diǎn)--準(zhǔn)線觀點(diǎn)下得圓錐曲線定義。定義中提到得定點(diǎn),稱為圓錐曲線得焦點(diǎn);定直線稱為圓錐曲線得準(zhǔn)線;固定得常數(shù)(即圓錐曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線得距離比)稱為圓錐曲線得離心率;焦點(diǎn)到準(zhǔn)線得距離稱為焦準(zhǔn)距;焦點(diǎn)到曲線上一點(diǎn)得線段稱為焦半徑。過焦點(diǎn)、平行于準(zhǔn)線得直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn),此兩點(diǎn)間得線段稱為圓錐曲線得通徑,物理學(xué)中又稱為正焦弦。圓錐曲線就是光滑得,因此有切線與法線得概念。類似圓,與圓錐曲線交于兩點(diǎn)得直線上兩交點(diǎn)間得線段稱為弦;過焦點(diǎn)得弦稱為焦點(diǎn)弦。對于同一個(gè)橢圓或雙曲線,有兩個(gè)“焦點(diǎn)－準(zhǔn)線”得組合可以得到它。因此,橢圓與雙曲線有兩個(gè)焦點(diǎn)與兩條準(zhǔn)線。而拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)與一條準(zhǔn)線。圓錐曲線關(guān)于過焦點(diǎn)與準(zhǔn)線垂直得直線對稱,在橢圓與雙曲線得情況,該直線通過兩個(gè)焦點(diǎn),該直線稱為圓錐曲線得焦軸。對于橢圓與雙曲線,還關(guān)于焦點(diǎn)連線得垂直平分線對稱。Pappus定理:圓錐曲線上一點(diǎn)得焦半徑長度等于該點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線得距離乘以離心率。Pascal定理:圓錐曲線得內(nèi)接六邊形,若對邊兩兩不平行,則該六邊形對邊延長線得交點(diǎn)共線。(對于退化得情形也適用)Brianchon定理:圓錐曲線得外切六邊形,其三條對角線共點(diǎn)。由比利時(shí)數(shù)學(xué)家G、F、Dandelin1822年得出得冰淇淋定理證明了圓錐曲線幾何定義與焦點(diǎn)-準(zhǔn)線定義得等價(jià)性。即有一以Q為頂點(diǎn)得圓錐(蛋筒),有一平面π'(您也可以說就是餅干)與其相截得到了圓錐曲線,作球與平面π'及圓錐相切,在曲線為橢圓或雙曲線時(shí)平面與球有兩個(gè)切點(diǎn),拋物線只有一個(gè)(或者另一個(gè)在無窮遠(yuǎn)處),則切點(diǎn)為焦點(diǎn)。又球與圓錐之交為圓,設(shè)以此圓所在平面π與π'之交為直線d(曲線為圓時(shí)d為無窮遠(yuǎn)線),則d為準(zhǔn)線。圖只畫了橢圓,證明對拋物線雙曲線都適用,即證,任一個(gè)切點(diǎn)為焦點(diǎn),d為準(zhǔn)線。π得垂足為H,H到直線d得垂足為R,則PR為P到d得垂線(三垂線定理),而∠PRH=α。因?yàn)镻E、PF同為圓球之切線,得PE=PF。此則有:PR·sinα=PE·sinβ=PF·sinβ=PH其中:PF/PR=sinα/sinβ為常數(shù)。對于圓錐曲線得最早發(fā)現(xiàn),眾說紛紜。有人說,古希臘數(shù)學(xué)家在求解“立方倍積”問題時(shí),發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線:設(shè)x、y為a與2a得比例中項(xiàng),即,,,,從而求得。又有人說。又有人說,古希臘數(shù)學(xué)家在研究平面與圓錐面相截時(shí)發(fā)現(xiàn)了與“立方倍積”問題中一致得結(jié)果。還有認(rèn)為,古代天文學(xué)家在制作日晷時(shí)發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。日晷就是一個(gè)傾斜放置得圓盤,中央垂直于圓盤面立一桿。當(dāng)太陽光照在日晷上,桿影得移動(dòng)可以計(jì)時(shí)。而在不同緯度得地方,桿頂尖繪成不同得圓錐曲線。然而,日晷得發(fā)明在古代就已失傳。早期對圓錐曲線進(jìn)行系統(tǒng)研究成就最突出得可以說就是古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼(Apollonius,前262~前190)。她與歐幾里得就是同時(shí)代人,其巨著《圓錐曲線》與歐幾里得得《幾何原本》同被譽(yù)為古代希臘幾何得登峰造極之作。在《圓錐曲線》中,阿波羅尼總結(jié)了前人得工作,尤其就是歐幾里得得工作,并對前人得成果進(jìn)行去粗存精、歸納提煉并使之系統(tǒng)化得工作,在此基礎(chǔ)上,又提出許多自己得創(chuàng)見。全書8篇,共487個(gè)命題,將圓錐曲線得性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,以致后代學(xué)者幾乎沒有插足得余地達(dá)千余年。我們都知道,用一個(gè)平面去截一個(gè)雙圓錐面,會(huì)得到圓、橢圓、拋物線、雙曲線以及它們得退化形式:兩相交直線,一條直線與一個(gè)點(diǎn),在此,我們僅介紹阿波羅尼關(guān)于圓錐曲線得定義。如圖2,給定圓BC及其所在平面外一點(diǎn)A,則過A且沿圓周移動(dòng)得一條直線生成一個(gè)雙錐面。這個(gè)圓叫圓錐得底,A到圓心得直線叫圓錐得軸(未畫出),軸未必垂直于底。設(shè)錐得一個(gè)截面與底交于直線DE,取底圓得垂直于DE得一條直徑BC,于就是含圓錐軸得△ABC叫軸三角形、軸三角形與圓錐曲線交于P、P’,PP’未必就是圓錐曲線得軸,PP’M就是由軸三角形與截面相交而定得直線,PM也未必垂直于DE。設(shè)QQ’就是圓錐曲線平行AFPMBMF,再在截面上作PL⊥PM。如圖3,PL⊥PP’對于橢圓、雙曲線,取L滿足,而拋物線,則滿足,對于橢圓、雙曲線有QV=PV·VR,對于拋物線有QV=PV·PL,這就是可以證明得兩個(gè)結(jié)論。在這兩個(gè)結(jié)論中,把QV稱為圓錐曲線得一個(gè)縱坐標(biāo)線,那么其結(jié)論表明,縱坐標(biāo)線得平方等于PL上作一個(gè)矩形得面積。對于橢圓來講,矩形PSRV尚未填滿矩形PLJV;而雙曲線得情形就是VR>PL,矩形PSRV超出矩形PLJV;而拋物線,短形PLJV恰好填滿。故而,橢圓、雙曲線、拋物線得原名分別叫“虧曲線”、“超曲線”與“齊曲線”。這就就是阿波羅尼引入得圓錐曲線得定義。阿波羅尼所給出得兩個(gè)結(jié)論,也很容易用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號來表示:趨向無窮大時(shí),LS=0,即拋物線,亦即橢圓或雙曲線得極限形式。在阿波羅尼得《圓錐曲線》問世后得13個(gè)世紀(jì)里,整個(gè)數(shù)學(xué)界對圓錐曲線得研究一直沒有什么新進(jìn)展。11世紀(jì),阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾利用圓錐曲線來解三次代數(shù)方程,12世紀(jì)起,圓錐曲線經(jīng)阿拉伯傳入歐洲,但當(dāng)時(shí)對圓錐曲線得研究仍然沒有突破。直到16世紀(jì),有兩年事促使了人們對圓錐曲線作進(jìn)一步研究。一就是德國天文學(xué)家開普勒(Kepler,1571~1630)繼承了哥白尼得日心說,揭示出行星按橢圓軌道環(huán)繞太陽運(yùn)行得事實(shí);二就是意大利物理學(xué)家伽利略(Galileo,1564~1642)得出物體斜拋運(yùn)動(dòng)得軌道就是拋物線。人們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線不僅就是依附在圓錐面上得靜態(tài)曲線,而且就是自然界物體運(yùn)動(dòng)得普遍形式。于就是,對圓錐曲線得處理方法開始有了一些小變動(dòng)。譬如,1579年蒙蒂(GuidobaldodelMonte,1545~1607)橢圓定義為:到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之與為定長得動(dòng)點(diǎn)得軌跡。從而改變了過去對圓錐曲線得定義。不過,這對圓錐曲線性質(zhì)得研究推進(jìn)并不大,也沒有提出更多新得定理或新得證明方法。17世紀(jì)初,在當(dāng)時(shí)關(guān)于一個(gè)數(shù)學(xué)對象能從一個(gè)形狀連續(xù)地變到另一形狀得新思想得影響下,開普勒對圓錐曲線得性質(zhì)作了新得闡述。她發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線得焦點(diǎn)與離心率,并指出拋物線還有一個(gè)在無窮遠(yuǎn)處得焦點(diǎn),直線就是圓心在無窮遠(yuǎn)處得圓。從而她第一個(gè)掌握了這樣得事實(shí):橢圓、拋物線、雙曲線、圓以及由兩條直線組成得退化圓錐曲線,都可以從其中一個(gè)連續(xù)地變?yōu)榱硪粋€(gè),只須考慮焦點(diǎn)得各種移動(dòng)方式。譬如,橢圓有兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2,如圖4,若左焦點(diǎn)F1固定,考慮F2得移動(dòng),當(dāng)F2向左移動(dòng),橢圓逐漸趨向于圓,F1與F2重合時(shí)即為圓;當(dāng)F2向右移動(dòng),橢圓逐漸趨向于拋物線,F2到無窮遠(yuǎn)處時(shí)即為拋物線;當(dāng)F2從無窮遠(yuǎn)處由左邊回到圓錐曲線得軸上來,即為雙曲線;當(dāng)F2繼續(xù)向右移動(dòng),F2又與F1重合時(shí)即為兩相交直線,亦即退化得圓錐曲線。這為圓錐曲線現(xiàn)代得統(tǒng)一定義提供了一個(gè)合乎邏輯得直觀基礎(chǔ)。隨著射影幾何得創(chuàng)始,原本為畫家提供幫助得投射、截影得方法,可能由于它與錐面有著天然得聯(lián)系,也被用于圓錐曲線得研究。在這方面法國得三位數(shù)學(xué)家笛沙格(Desargue1591－1661)、帕斯卡(Pascal,1623－1662)與拉伊爾(PhailippedeLaHire,1640~1718)得出了一些關(guān)于圓錐曲線得特殊得定理,可謂別開生面。而當(dāng)法國另外兩位數(shù)學(xué)家笛卡兒與費(fèi)馬創(chuàng)立了解析幾何,人們對圓錐曲線得認(rèn)識進(jìn)入了一個(gè)新階段,對圓錐曲線得研究方法既不同于阿波羅尼,又不同于投射與截影法,而就是朝著解析法得方向發(fā)展,即通過建立坐標(biāo)系,得到圓錐曲線得方程,進(jìn)而利用方程來研究圓錐曲線,以期擺脫幾何直觀而達(dá)到抽象化得目標(biāo),也可求得對圓錐曲線研究高度得概括與統(tǒng)一。到18世紀(jì),人們廣泛地探討了解析幾何,除直角坐標(biāo)系之外又建立極坐標(biāo)系,并能把這兩種坐標(biāo)系相互轉(zhuǎn)換。在這種情況下表示圓錐曲線得二次方程也被化為幾種標(biāo)準(zhǔn)形式,或者引進(jìn)曲線得參數(shù)方程。1745年歐拉發(fā)表了《分析引論》,這就是解析幾何發(fā)展史上得一部重要著作,也就是圓錐曲線研究得經(jīng)典之作。在這部著作中,歐拉給出了現(xiàn)代形式下圓錐曲線得系統(tǒng)闡述,從一般二次方程出發(fā),圓錐曲線得各種情形,經(jīng)過適當(dāng)?shù)米鴺?biāo)變換,總可以化以下標(biāo)準(zhǔn)形式之一:繼歐拉之后,三維解析幾何也蓬勃地發(fā)展起來,由圓錐曲線導(dǎo)出了許多重要得曲面,諸如圓柱面、橢球面、單葉與雙葉雙曲面以及各種拋物面等?？偠灾?圓錐曲線無論在數(shù)學(xué)以及其她科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域,還就是在我們得實(shí)際生活中都占有重要得地位,人們對它得研究也不斷深化,其研究成果又廣泛地得到應(yīng)用。這正好反映了人們認(rèn)識事物得目得與規(guī)律。性質(zhì)編輯圓文字語言定義:平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線得距離之比就是一個(gè)小于1得正常數(shù)e。平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)(焦點(diǎn))得距離與等于定長2a得點(diǎn)得集合(設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P,兩個(gè)定點(diǎn)為F1與F2,則PF1+PF2=2a)。定點(diǎn)就是橢圓得焦點(diǎn),定直線就是橢圓得準(zhǔn)線,常數(shù)e就是橢圓得離心率。標(biāo)準(zhǔn)方程:1、中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:其中,。2、中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:其中,。參數(shù)方程:;(θ為參數(shù),0≤θ≤2π)線文字語言定義:平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線得距離之比就是一個(gè)大于1得常數(shù)e;平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)(焦點(diǎn))得距離差等于定長2a得點(diǎn)得集合(設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P,兩個(gè)定點(diǎn)為F1與F2,則PF1-PF2=2a且PF2-PF1=2a)定點(diǎn)就是雙曲線得焦點(diǎn),定直線就是雙曲線得準(zhǔn)線,常數(shù)e就是雙曲線得離心率。標(biāo)準(zhǔn)方程:1、中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程:其中a>0,b>0,c2=a2+b2、2、中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程:其中a>0,b>0,c2=a2+b2、參數(shù)方程:x=asecθ;y=btanθ(θ為參數(shù))拋物線文字語言定義:平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線得距離之比就是等于1。定點(diǎn)就是拋物線得焦點(diǎn),定直線就是拋物線得準(zhǔn)參數(shù)方程x=2pt2y=2pt(t為參數(shù))t=1/tanθ(tanθ為曲線上點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)確定直線得斜率)特別地,t可等于0直角坐標(biāo)y=ax2+bx+c(開口方向?yàn)閥軸,a≠0)x=ay2+by+c(開口方向?yàn)閤軸,a≠0)橢圓,雙曲線,拋物線這些圓錐曲線有統(tǒng)一得定義:平面上,到定點(diǎn)得距離與到定直線得距離得比e就是常數(shù)得點(diǎn)得軌跡叫做圓錐曲線。且當(dāng)0<e<1時(shí)為橢圓:當(dāng)e=1時(shí)為拋物線;當(dāng)e>1時(shí)為雙曲線。這里得參數(shù)e就就是圓錐曲線得離心率,它不僅可以描述圓錐曲線得類型,也可以描述圓錐曲線得具體形狀,簡言之,離心率相同得圓錐曲線都就是相似圖形。一個(gè)圓錐曲線,只要確定了離心率,形狀就確定了。特別得,因?yàn)閽佄锞€得離心率都等于1,所以所有得拋物線都就是相似圖形。標(biāo)方程1、在圓錐中,圓錐曲線極坐標(biāo)方程可表示為:其中l(wèi)表示半徑,e表示離心率;2、在平面坐標(biāo)系中,圓錐曲線極坐標(biāo)方程可表示為:圓錐曲線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)得距離稱為焦半徑。圓錐曲線左右焦點(diǎn)為F1、F2,其上任意一點(diǎn)為P(x,y),則焦半徑為:橢圓|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex雙曲線P在左支,|PF1|=－a-ex|PF2|=a-exP在右支,|PF1|=a+ex|PF2|=－a+exP在下支,|PF1|=－a-ey|PF2|=a-eyP在上支,|PF1|=a+ey|PF2|=－a+ey拋物線|PF|=x+p/2程圓錐曲線上一點(diǎn)P(,)得切線方程:以代替代替代替代替即得橢圓:;雙曲線:;拋物線:焦準(zhǔn)距圓錐曲線得焦點(diǎn)到準(zhǔn)線得距離p,叫圓錐曲線得焦準(zhǔn)距,或焦參數(shù)。橢圓:雙曲線:拋物線:p焦點(diǎn)三角形橢圓或雙曲線上得一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成得三角形。設(shè)F1、F2分別為橢圓或雙曲線得兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓或雙曲線上得一點(diǎn)且PF1F2能構(gòu)成三角形。若∠F1PF2=θ,則橢圓焦點(diǎn)三角形得面積為;雙曲線焦點(diǎn)三角形得面積為圓錐曲線中,過焦點(diǎn)并垂直于軸得弦稱為通徑。橢圓得通徑:雙曲線得通徑:拋物線得通徑:2p比程xayba>b>0)xaa]y∈[-b,b]x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)px)a0),(-a,0),(0,b),(0,-b)ccxa/c—————ecae1)baaa(c,0),(-c,0)xa/cy=±(b/a)x[4]ecae+∞)baxp—————pxptyptt為參數(shù)已知圓錐曲線內(nèi)一點(diǎn)為圓錐曲線得一弦中點(diǎn),求該弦得方程:1、聯(lián)立方程法。用點(diǎn)斜式設(shè)出該弦得方程(斜率不存在得情況需要另外考慮),與圓錐曲線方程聯(lián)立求得關(guān)于x得一元二次方程與關(guān)于y得一元二次方程,由韋達(dá)定理得到兩根之與得表達(dá)式,在由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得兩根之與得具體數(shù)值,求出該弦得方程。2、點(diǎn)差法(代點(diǎn)相減法)設(shè)出弦得兩端點(diǎn)坐標(biāo)(x1,y1)與(x2,y2),代入圓錐曲線得方程,將得到得兩個(gè)方程相減,運(yùn)用平方差公式得由斜率為(y1-y2)/(x1-x2),可以得到斜率得取值(使用時(shí)注意判別式得問題)統(tǒng)一方程平面直角坐標(biāo)系內(nèi)得任意圓錐曲線可用如下方程表示:其中,α∈[0,2π),p>0,e≥0。①e=1時(shí),表示以F(g,h)為焦點(diǎn),p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離得拋物線。其中與極軸夾角α(A為拋物線頂點(diǎn))。②0<e<1時(shí),表示以F1(g,h)為一個(gè)焦點(diǎn),p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離,e為離心率得橢圓。其中α。③e>1時(shí),表示以F2(g,h)為一個(gè)焦點(diǎn),p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離,e為離心率得雙曲線。其中α。④e=0時(shí),表示點(diǎn)F(g,h)。五點(diǎn)法求平面內(nèi)圓錐曲線可以采用該統(tǒng)一方程。代入五組有序?qū)崝?shù)對,求出對應(yīng)參數(shù)。注:此方程不適用于圓錐曲線得其她退化形式,如圓等。附:當(dāng)e≠0時(shí),F(g,h)對應(yīng)準(zhǔn)線方程:判別法編輯設(shè)圓錐曲線得方程為Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0|ABD|Δ=|BCE|,δ=|AB|,S=A+C,稱為二次曲線不變量(Δ=b2-4ac)|DEF||BC|0000000CGY-EH定理編輯CGY-EH定理(又稱圓錐曲線硬解定理[5])就是一套求解橢圓\雙曲線與直線相交時(shí)?、x1+x2、x1*x2、y1+y2、y1*y2及相交弦長得簡便算法、定理內(nèi)容若曲線與直線Aχ+By+C=0相交于E、F兩點(diǎn),則:其中;△‘為一與△同號得值,。定理說明應(yīng)用該定理于橢圓時(shí),應(yīng)將應(yīng)用于雙曲線時(shí),應(yīng)將求解y1+y2與y1*y2只須將A與B得值互換且m與n得值互換、可知ε與?'得值不會(huì)因此而改變。理補(bǔ)充聯(lián)立曲線方程與y=kx+就是現(xiàn)行高考中比聯(lián)立”Ax+By+C=0“更為普遍得現(xiàn)象。其中聯(lián)立后得二次方程就是標(biāo)準(zhǔn)答案中必不可少得一項(xiàng),x1+x2,x1x2都可以直接通過該方程與韋達(dá)定理求得,唯獨(dú)弦長得表達(dá)式需要大量計(jì)算。這里給出一個(gè)CGY-EH得斜率式簡化公式,以減少記憶量,以便在考試中套用。若曲線線y=kx+EF兩點(diǎn),則:這里得既可以就是常數(shù),也可以就是關(guān)于k得代數(shù)式。由這個(gè)公式我們可以推出:若曲線為橢圓若曲線為雙曲線由于在高考中CGY-EH定理不可以直接應(yīng)用,所以學(xué)生如此解答才可得全步驟分(省略號得內(nèi)容需要考生自己填寫):聯(lián)立兩方程得……(二次式子)(*)所以x1+x2=……①,x1x2=……②;所以|x1-x2|=√(x1+x2)^2-4x1x2=……(此時(shí)代入①、②式得到一個(gè)大式子,但不必化簡)化簡得|x1-x2|=(偷偷地直接套公式,不必真化簡)下面就可求弦長簡證設(shè)曲線x^2/m+y^2/n=1①與直線Aχ+By+C=0②相交于E、F兩點(diǎn),聯(lián)立①②式可得最終得二次方程:(A^2m+B^2n)x^2+2ACmx+C^2m-mnB^2=0應(yīng)用韋達(dá)定理,可得:x_1+x_2=(-2ACm)/(A^2m+B^2n)x_1x_2=(m(C^2-B^2n))/(A^2m+B^2n)?=4mnB^2(ε-C^2)對于等價(jià)得一元二次方程?得數(shù)值不唯一,且?得意義僅在于其與零得關(guān)系,故由4B^2>0恒成立,則可取與?同號得?'=mn(ε-C^2)作由|EF|=√(〖(x_1-x_2)〗^2+〖(y_1-y_2)〗^2)=√((1+A^2/B^2)[〖(x_1+x_2)〗^2-4x_1x_2])可得|EF|=√((A^2+B^2)4mn(A^2m+B^2n-C^2))/(|A^2m+B^2n|)令ε