版權(quán)說明：本文檔由用戶提供并上傳，收益歸屬內(nèi)容提供方，若內(nèi)容存在侵權(quán)，請進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
§1
對弧長的曲線積分（又稱第一類曲線積分）第十二章曲線積分與曲面積分一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)光滑曲線
----
具有連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)切線的曲線。1.
引例：求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量。設(shè)一曲線形構(gòu)件位于xoy平面上的一段曲線弧L
上,線密度ρ(x,y)為L
上的連續(xù)函數(shù)，求該曲線形構(gòu)件的質(zhì)量M。yAB(1)分割：插入分點(diǎn)：x
M1
,,
Mi
,,
Mn-1
,MiMn-1˙設(shè)L
=AB思想方法：˙
˙分
AB
為n個(gè)小弧段
Mi
-1
Mi
(i
=
1,2,,
n),˙每一小弧段長
DSi
=
Mi
-1
Mi
.(2)
取近似：任取一點(diǎn)(xi
,hi
)?
DSi
,則小弧段質(zhì)量：DMi
?
r(xi
,hi
)DSi
,DSi(xi
,hi
)
?M1
Mi
-1n
n(3)
求和：M
=
DMi
?
r(xi
,hi
)Dsii=1
i=1(4)
取極限:令l
=max(Dsi
),當(dāng)l
fi
0
時(shí)nM
=
lim
r(xi
,hi
)Dsilfi
0
i
=1nM
=
lim
r(xi
,hi
)Dsilfi
0
i
=1˙˙lim
f
(xi
,hi
)Dsi
存在lfi
0
i
=1則稱此極限值為f
(x,y)在曲線弧L上對弧長的曲線積分。令l
=
max(Dsi
),
若和式的極限n點(diǎn)2、定義設(shè)L為xoy平面內(nèi)的一條光滑曲線弧段，函數(shù)f
(x,y)在L上有界，用L上的任意M1,M2,…,Mn-1
把L
分成n個(gè)小弧段Mi
-1
Mi
,其長度為
Dsi
;
在Mi
-1
Mi
上任取一點(diǎn)f
(xi
,hi
)Dsi
,
(i
=
1,2,,
n),(xi
,hi
),
作乘積也稱為第一類曲線積分。記作
L
f
(
x,
y)ds
L
—
積分弧段（積分路徑）
ds
—
弧元素說明:f
(x,
y)
在
L
上連續(xù),
則曲線積分必存在。f(x,y)雖為二元函數(shù),但點(diǎn)(x,y)被限制在L上,變量x,y
不獨(dú)立,(3)若L是光滑閉曲線,須滿足曲線L的方程。常記成L
f
(x,y)ds.Gf
(
x,
y,
z)d
s(4)推廣到空間曲線Γ,
有nii
i
i=
limf
(x
,h
,z
)Dslfi
0
i
=1
L
LL12f
(
x,
y)
dsf
(
x,
y)ds
=
f
(
x,
y)ds
+性質(zhì)
(與定積分性質(zhì)相仿)L[
f
(
x,
y)
–
g(
x,
y)]
ds=
L
f
(
x,
y)ds
–
L
g(
x,
y)ds.L
k
f
(x,y)ds
=k
L
f
(x,y)ds,（k
為常數(shù)）若L是分段光滑的曲線段，即L
=L1
+L2
.(4)設(shè)在L
上，f
(x,y)￡
g(x,y),則L
f
(
x,
y)ds
￡
L
g(
x,
y)ds(5)(積分中值定理)設(shè)f
(x,y)在L
上連續(xù)，則必存在(x,h
)?
L,使得L
f
(
x,
y)ds
=
f
(x,h
)
l其中l(wèi)
為L
的長度。第一類曲線積分的對稱性(1)如曲線L
關(guān)于y
軸對稱，L1
是L
的x
?0
部分，則當(dāng)f
(-x,y)=f
(x,y)時(shí),
1L
Lf
(
x,
y)dsf
(
x,
y)ds
=
2當(dāng)f
(-x,y)=-f
(x,y)時(shí),L
f
(
x,
y)ds
=
0(2)若交換x,y
兩變量時(shí)，L的方程不變，則L
f
(x,y)ds
=L
f
(y,x)ds
------輪換對稱性二、對弧長的曲線積分的計(jì)算法定理:設(shè)f
(x,y)在曲線弧L
上有定義且連續(xù)，L
￠
￠a2
2f
[j
(t
),y
(t
)]
j
+y
dtf
(
x,
y)ds
=(a
<
b
)L
的參數(shù)方程為：x
=
j
(t
),
y
=y
(t
),
(a
￡
t
￡
b
),其中j
(t
),
y
(t
)
在
[a
,
b
]
上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且
j
￠2
(t
)
+y
￠2
(t
)
?
0,則曲線積分
L
f
(
x,
y)ds
存在，
且bds
——弧元素(弧微分)說明:
(1)(2)
當(dāng)
L：y
=
y(
x) (a
￡
x
￡
b)
時(shí),bL
af
(
x,
y)
ds
=
f
[
x,
y(
x)]
Lcx￠(
y)
dyf
(
x,
y)ds
=
f
[
x(
y),y]
1
+2當(dāng)L：x
=x(y)(c
￡
y
￡
d
)時(shí),d2y￠1
+
(
x)dxds
=
(d
x)2
+
(d
y)2所以當(dāng)
x
=
j
(t
),
y
=y
(t
)
時(shí),
ds
=
j
￠2
(t
)
+y
￠2
(t
)dt
Lbaq
)cosq
,
r(q
)sinq
]f
[r(f
(
x,
y)ds
=(4)
對空間曲線G：x
=x(t
),y
=y(t
),z
=z(t
)(a
￡
t
￡
b
),
則
Lbaf
[
x(t
),
y(t
),
z(t
)]f
(
x,
y,
z)ds
=(3)
當(dāng)
L：r
=
r(q
)
(a
￡
q
￡
b
)
時(shí)，r
2
+
r
2dqx￠2
+
y￠2
+
z￠2dt(5)
上述所有計(jì)算公式中，等式右邊的定積分的積分下限都必須小于上限。例1:222Lxy
ds,
L為x
+
y
=
a
中的計(jì)算I
=B23
aa2一段弧(如圖).
A
(0,
a),B
(
1
a,
3
a
)2
2解：法一：選x
為積分變量，2(
0
￡
x
￡
a
)L：y
=
a2
-
x2ds
=
1
+
y￠2
d
xa=
d
xx\
I
=a2
-
x2d
xaa2
-
x2a20=20a2
-
x2aaxdx81=
a3
.xy
Aa計(jì)算
I
=L
xy
ds,
L為x
+
y
=
a
中的2
2
2一段弧(如圖).法二：選y
為積分變量，a2
-
y2L：x
=2(
3
a
￡
y
￡
a
)d
yaa2
-
y2=ds
=
1
+
x￠2
d
yy\
I
==
aaaydy2322a
-
y2a
3ad
yaa2
-
y2183a
.=B23
aa2xy
Aa計(jì)算
I
=L
xy
ds,
L為x
+
y
=
a
中的2
2
2一段弧(如圖).法三：L
用參數(shù)方程表示:
y=
a
sin
t3
2L
:
x
=
a
cos
t
(
p
￡
t
￡
p
)ds
=
x￠2
(t
)
+
y￠2
(t
)
d
t=
a
dta
cos
t
a
sin
t\
I
=p2p32p2p3sin2
ta3adt
=183a
.=B23
aa2xy
Aa1y2
yds,L例2：計(jì)算ABL
yds
=
OA
yds
+
AB
yds
+
OB
yds5.L
:O(0,0),A(1,2),B(2,0)所圍DOAB的整個(gè)邊界。解：L
=OA
+AB
+OBOA
:y
=
2
x,
0
￡
x￡
1
;AB
:
y=
4
-
2
x, 1
￡
x￡
2
;OB
:
y
=
0,0
￡
x￡
2
;ds
=ds
=5
dx.5
dx.ds
=
dx.=
0
2
x2
x5
dx
+(4
-
2
x)5
dx12+02
0
dx
=
21o例3：求L
|
y
|
ds
,L
:雙紐線(x2
+y2
)2
=a2
(x2
-y2
)一周。L
r
2
=
a2
cos
2qL
L1
L2
|
y
|ds
=(
+
)
|
y
|ds22)a
.解：利用極坐標(biāo)。dqacos
2qds
=
r
2
+
r￠2dq
=yxpq
=
4r
2
=
a2
cos
2qL1(又y=r(q
)sinq
)=-
4p4pcos
2qdqa|
a
cos
2q
sinq
|+5p43p4cos
2qdq
=
(4
-
2a|
a
cos
2q
sinq
|L2a例4：22L+
4
y
)ds
,(2
xy
+
3
x求4
3x2
y2=1
的一周，其周長為a。L
:
橢圓
+解：L
的方程可寫為3
x2
+4
y2
=12,因?yàn)長
關(guān)于x
軸對稱，2xy
關(guān)于y
是奇函數(shù)，L所以
2
xyds
=0,LL(3
x
+
4
y
)ds2
2(2
xy
+
3
x2
+
4
y2
)ds
=則=
L
12ds
=
12
L
ds
=
12a.x,y
滿足L
方程三、幾何與物理意義(1)
當(dāng)
f
(
x,
y)
”
1時(shí),
L弧長
=
L
ds;(2)當(dāng)f
(x,y)表示立于L上的柱面在點(diǎn)(x,y)處的高時(shí),S柱面面積=L
f
(x,y)ds.sLz
=
f
(
x,
y)設(shè)平面曲線形的物件所占的平面曲線弧段為L，且它的線密度為r(x,y),密度在L
上連續(xù)，則：它的質(zhì)量M
=
L
r(
x,
y)ds它的質(zhì)心坐標(biāo)(x,y)為：Mx
=L
xr(
x,
y)dsMy
=L
yr(
x,
y)ds(3)若線2例5.
求均勻半圓周
r
=
2a
cosq
(0
￡q
￡
p
)的質(zhì)心坐標(biāo)。解：由對稱性，x
=a
;弧長l
=pa
,=20
L
yds
=
L
r(q
)sinq
dspsinq
2adqcosq
sinq
dq=
4
a2202a
cosqp=
2a2
.pay
=
1
Lpyds
=
2a
.p\
質(zhì)心：(
a,
2a
).ds
=
2a
dq
,r
=
2a
cosq.a2a
xy0課
外
作
業(yè)習(xí)題12—1
(A)1(3),
2習(xí)題12—1
(B)1(1,
4)§2.對坐標(biāo)的曲線積分(第二類曲線積分)一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1.
引例: 求變力沿曲線所作的功。常力作功:變力作功,baW
=f
(
x)dx
W
=
F S
=
F S
cos(F
,
S
).力f
(x)的方向與運(yùn)動(dòng)方向一致,xAy
B(1)插入分點(diǎn)M1(x1,y1),…,M
(xn-1
n-1
n-1n個(gè)有向小弧段M˙i
-1Mi(i
=
1,2,,
n).Mn-1MiMi-1,y
),
將L任意分成F
M1設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在xoy面內(nèi)沿光滑曲線弧L從A移動(dòng)到B。移動(dòng)過程中，這質(zhì)點(diǎn)受到變力F
(
x,
y)
=
P(
x,
y)i
+
Q(
x,
y)
j
的作用，其中P,
Q在L上連續(xù)?，F(xiàn)計(jì)算在上述移動(dòng)過程中變力所作的功。˙思想方法:
(元素法)
設(shè)
L
=
ABxyBMi-1AMiDxiiDy˙近似代替Mi
-1
Mi
,˙任取(xi
,hi
)?
Mi
-1
Mi
,i
iF
(x
,h
)
?則由常力:F
(xi
,hi
)=P(xi
,hi
)i
+Q(xi
,hi
)j
近似代替變力F
(x,y),則=
P(xi
,hi
)Dxi
+
Q(xi
,hi
)Dyi
.
M
=
Dxii
+
Dyi
ji
-1
i(2)
用MDWi
?
F
(xi
,hi
)
Mi
-1
Min?
[P(xi
,hi
)Dxi
+
Q(xi
,hi
)Dyi
].i=1n作和
W
=
DWii
=1(3)(4)取極限˙記l
=max(Mi
-1
Mi
),nW
=
lim
[P(xi
,hi
)Dxi
+
Q(xi
,hi
)Dyi
]lfi
0
i
=1˙為Mi
-1
Mi˙上的任一點(diǎn)，
l
=
max(Mi-1Mi
),則稱此極限值2、定義設(shè)L
為xoy平面上從點(diǎn)A到B的一條有向光滑曲線,函數(shù)P(x,y)、Q(x,y)在L
上有界。用L上的點(diǎn)M1
(x1,y1
),,Mn-1
(xn-1,yn-1
)把L˙分成
n個(gè)有向小弧段
Mi-1Mi
,(i
=
1,2,,
n
;
M0
=
A,
Mn
=
B)設(shè)
Dxi
=
xi
-
xi
-1
,
Dyi
=
yi
-
yi
-1
,
點(diǎn)(xi
,hi
)為函數(shù)P(x,y)在有向曲線弧L
上對坐標(biāo)x的曲線積分,
記作
L
P(
x,
y)dx.n同理,若lim
Q(xi
,hi
)Dyi
存在lfi
0
i
=1則稱此極限值為函數(shù)Q(x,y)在有向曲線弧
L上對坐標(biāo)y的曲線積分,記作LQ(x,y)dy.常用其組合形式：L
P(
x,
y)dx
+
LQ(
x,
y)dy=
L
P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dy.統(tǒng)稱為第二類曲線積分。說明：P(x,y),Q(x,y)中的x,y
受L
的限制而相互有關(guān)。對坐標(biāo)的曲線積分與積分路徑的方向有關(guān)。B
fi3)W
=
L
P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dy=LF
(
x,
y)
ds其中F
(
x,
y)
=
P(
x,
y)i
+
Q(
x,
y)
j
,(有向弧元素)d
s
=
d
x
i
+
d
y
j(dx)2
+
(dy)2
=
dsd
s
=Dyi
=
yi
-1
-
yi
,A
時(shí)，
Dxi
=
xi
-1
-
xi
,前述變力作功變號4)對空間曲線
L,
有=LF
(
x,
y,
z)
d
sL
P(
x,
y,
z)dx
+
Q(
x,
y,
z)
dy
+
R(
x,
y,
z)dz其中
F
(
x,
y,
z)
=
P(
x,
y,
z)i
+
Q(
x,
y,
z)
j
+
R(
x,
y,
z)k
,d
s
=
d
xi
+
d
y
j
+
dzk
.5)若P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在L上連續(xù),則此曲線積分必存在。3、性質(zhì)(1)
設(shè)有向曲線
L
,
—
L
與
L
方向相反,則有:
-L
P(
x,
y)dx
=-LQ(
x,
y)dy
=\
-L
P
d
x
+
Q
d
y
=L
P(
x,
y)
d
x,L
Q(
x,
y)
d
y,LPd
x
+
Q
d
y.注：第一類曲線積分沒有這一性質(zhì)。(2)
其余性質(zhì)類似于對弧長的曲線積分。1
L
Lf
(
x,
y)dx
=
2
f
(
x,
y)dx,則當(dāng)f
(-x,y)=-f
(x,y)時(shí),L
f
(
x,
y)dx
=
0,第二類曲線積分的對稱性如曲線L關(guān)于y軸對稱，L1
是L的x
?0
部分，方向不變，則當(dāng)f
(-x,y)=f
(x,y)時(shí),L
f
(
x,
y)dy
=
01LLf
(
x,
y)dyf
(
x,
y)dy
=
2二、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法設(shè)曲線L由參數(shù)方程
x
=
j
(t
),
y
=y
(t
)
給出則L
P(x,y)dx
+Q(x,y)dy
=則L
P(x,y)dx
+Q(x,y)dy
=ba
{P[j
(t
),y
(t
)]j
￠(t
)
+
Q[j
(t
),y
(t
)]y
￠(t
)}dtba{P[j
(t
),y
(t
)]j
￠(t
)
+
Q[j
(t
),y
(t
)]y
￠(t
)}dt(a
可大于b
)L
的起點(diǎn)A
(t
=a
),終點(diǎn)
B
(t
=
b
),j
(t
),y
(t
)在以a
及b
為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),
且
j
￠2
(t
)
+y
￠2
(t
)
?
0,當(dāng)t
由a
變到b
時(shí)，M
(x,y)描出有向曲線LAB
,又函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在L上連續(xù),{P[
x,
f
(
x)]dx
+
Q[
x,
f
(
x)]df
(
x)}=特例：若
LAB：y
=
f
(
x),
起點(diǎn)
A
(x
=
a),
終點(diǎn)
B
(x
=
b)f
(x)
在
[a,
b]
或
[b,
a]
上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),
則L
P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dy
=ba{P[
x,
f
(
x)]
+
Q[
x,
f
(
x)]
f
(
x)}dx=ba若
LAB：x
=
g(
y),
起點(diǎn)
A
(y
=
c),
終點(diǎn)
B
(y
=
d)g(y)
在
[c,
d]
或
[d,
c]
上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),
則{P[
g(
y),
y]dg(
y)
+
Q[
g(
y),
y]dy}=L
P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dy
=dc=dc{P[
g(
y),
y]g
(
y)
+
Q[
g(
y),
y]}dy空間曲線Γ:x
=
x(t
),
y
=
y(t
),
z=
z(t
),起點(diǎn)
A
(t
=
a
),終點(diǎn)
B
(t
=
b
),=則G
P(x,y,z)dx
+Q(x,y,z)dy
+R(x,y,z)dz
==
b
{P[
x(t
),
y(t
),
z(t
)]
d
x(t
)
+
Q[
x(t
),
y(t
),
z(t
)]
d
y(t
)+
R
[
x(t
),
y(t
),
z(t
)]
dz(t
)}ba{P[
x(t
),
y(t
),
z(t
)]
x￠(t
)
+
Q[
x(t
),
y(t
),
z(t
)]
y￠(t
)+
R
[
x(t
),
y(t
),
z(t
)]
z
(t
)}
dt例1.
計(jì)算
I
=L
y
dx
-
x
dy2
2(1)
L:
圓心為原點(diǎn),半徑為1,按逆時(shí)針方向繞行的上半圓周。xyAB1-1解：L
:
x
=
cos
t,
y
=
sin
tB，則t
:0
fi
p
.由A
fi2
2[(
sin
t
)
(cos
t
)
-
(cos
t
)
(sin
t
)
]dt￠
￠I
=p03=
-
4
.(-sin
3t
-
cos3t)dt=p0計(jì)算
I
=L
y
dx
-
x
dy2
2xyA1B-1由A
fiB，則x
:1
fi-1.(2)
L:
直線AB.解：
L
:
y
=
0,[02
-
x2
(0)￠]dxI
=-11=
0
.計(jì)算
I
=L
y
dx
-
x
dy2
2(3)
L:
折線ACB.xABy
C1-1
y
=
1
-
x
,
y
=
1
+
x
,x
:
1
fi
0
.x
:
0
fi
-1.]2
2[(1
-
x)
-
xI
=(-1)
d
x1解：LAC
:
x
+
y
=
1LCB
:
y
-
x
=
100+
-1[(1
+
x)2
-
x
2
]d
x02=
1
(2
x
-
2
x
+
1)d
x+-10.23(2
x
+
1)d
x
=
-路徑不同, 值不同。路徑不同, 值不同。例2.OA(
x
+
y)dx
+
(
x
-
y)dyI
=
L(1)A
(1,
1).x
:
0
fi
1其中O
(0,0),LOA
:
y
=
x,(2)x
:
0
fi
1LOA
:
y
=
x2
,Axy1[(
x
+
x
)
+
(
x
-
x) (
x)
]dxI
=01=102
xd
x102=
1
.=
x2-
x
2
) (
x
2
)
]dx[(
x
+
x
)
+
(
xI
=10=1032-
2
x
)d
x(
x
+
3
x=
1
.Ay1(3)LOA
=
LOBA
=
LOB
+
LBA
,OA(
x
+
y)dx
+
(
x
-
y)dyI
=
L其中
O
(0,
0),
A
(1,
1).OB
:BA
:y
=
0,x
=
1,x
:
0
fi
1,y
:
0
fi
1,LOB[(
x
+
0
)
+
(
x
-
0) (0)
]dx=
10;=LBA[(1+
y
) (1)
+
(1
-
y)]dy=
10;1212=\
I
=
1.路徑不同, 值卻相同。B(1,0)x例3.
I
=
G
x
dx
+
y
dy
+
(
x
+
y
-1)
dz,Γ:
由點(diǎn)(1,1,1)到點(diǎn)(2,3,4)的直線段。解：求Γ
的方程。Γ
的方向向量：s
={1，2，3
},1
2
3t
:
0
fi
1.\
I
=(t
+1)
d(t
+1)
+
(2t
+1)
d(2t
+1)+[(t
+1)
+
(2t
+1)
-
1]d(3t
+1)0其參數(shù)式：
x
=
t+
1,
y
=
2
t
+
1,
z
=
3
t
+
1,1=10[
t
+
1
+
(2t
+
1)+
(3t
+
1)2
3
]dt
=10(14
t
+
6)dt
=
13
.Γ
的方程：x
-1
=y
-1
=z
-1
=tzox1
y其中G
由平面y=z
截球面原式=
=
2
2
4
2 2
2
1
p
-
3
1
p
例4.
計(jì)算
G
xyzdz
,x
2
+
y2
+
z
2
=
1
所得,
從
z
軸正向看沿逆時(shí)針方向.解:
因在
G上有
故三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向線段
L:
x
=
j
(t
),
y=y
(t
),起點(diǎn)
A(t
=
t1
),
終點(diǎn)
B(t
=
t2
),j
(t
),y
(t
)在以t1
及t2
為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),
且
j
￠2
(t
)
+y
￠2
(t
)
?
0,又函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在L
上連續(xù),則L
P(x,y)dx
+Q(x,y)dy
=則L
P(x,y)dx
+Q(x,y)dy
=t
2
{P[j
(t
),y
(t
)]j
￠(t
)
+
Q[j
(t
),y
(t
)]y
￠(t
)}dtt1tt12
{P[j
(t
),y
(t
)]j
￠(t
)
+
Q[j
(t
),y
(t
)]y
￠(t
)}dt又設(shè)a
,b
為有向線段L
在點(diǎn)(x,y)的切向量的兩個(gè)方向角，L
P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dy
=L
P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dy
==
L[P(
x,
y)cosa
+
Q(
x,
y)cos
b
]
ds=
L[P(
x,
y)cosa
+
Q(
x,
y)cos
b
]
ds類似，G
P(x,y,z)dx
+Q(x,y,z)dy
+R(x,y,z)dz=
G
(
P
cosa
+
Q
cos
b
+
R
cos
g)ds,cosa
,cos
b
,cosg為G上點(diǎn)(x,y,z)處的切線向量的方向余弦。則可證明:例：把
L
P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dy
化為對弧長的曲線積分，L
:y
=x3
上從點(diǎn)(-1，-1)到(1,1)的一段。dy
=
3
x2dx,解：
y=x3
,∴曲線上點(diǎn)(x,y)的切線的方向余弦：dx
1=(dx)2
+
(dy)2
1
+
y￠2cosa
=dycos
b
=\
L
Pdx
+
Qdy
=
L
(P
cosa
+
Q
cos
b
)ds11
+
9
x4=
,3
x2,1
+
9
x4(dx)2
+
(dy)2
=ds=
L1
+
9
x4P
+
3
x2Q例:
設(shè)
M
=
maxP
2
+
Q2
,
P(
x,
y)
,
Q(
x,
y)證:=
L
(P
cosa
+
Q
cos
b
)ds在
L
上連續(xù),
曲線段
L
的長度為
s,
證明L
P
d
x
+
Q
d
y
￡
M
s￡
L
P
cosa
+
Q
cos
b
ds設(shè)
A
=
{P,
Q},
t
=
{cosa
,cos
b
}二者夾角為qA
cosq
ds=
L
A
t
ds
=
L課
外
作
業(yè)習(xí)題12—2
(B)1(1,
3),
2,
4,
5§3.格林公式及其應(yīng)用一、格林公式(Green
1793—1841
英)在一元函數(shù)積分學(xué)中,牛頓—萊布尼茨公式：baf
(x)dx
=F
(b)-F
(a)表示：f
(x)在區(qū)間[a,b]上的積分可以用它的原函數(shù)
F(x)在這個(gè)區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值來表達(dá)。現(xiàn)在要介紹的格林公式，表示在平面閉區(qū)域D上的二重積分也可以用沿閉區(qū)域D的邊界曲線L上的曲線積分來表達(dá)。設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD平面區(qū)域的連通性：邊界曲線L的正向:當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D內(nèi)在他附近的那一部分總在他的左邊,則他行走的方向就是邊界曲線L的正向。LL1L2定理1
設(shè)閉區(qū)域D
由分段光滑的曲線
L
圍成,函數(shù)P(
x,
y)及Q(
x,
y)在D
上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有LD?x
?y
(
?Q
-
?P
)dxdy
=
Pdx
+
Qdy其中L
是D
的取正向的邊界曲線,格林公式證明(1)先證明D是單連通區(qū)域的情形。若區(qū)域D
既是X—型又是Y
—型.c
￡
y
￡
d
.D
:
y
1(
y)
￡
x
￡y
2
(
y),dxdy
=D
?x?Qdx
dyd2?Q?xy
(
y
)c
y
1
(
y
)c2
1d=
[Q(y
(
y),
y)-Q(y
(
y),
y)]dyL3L4CE1x
=y
(
y)oyDcdx
=y
2
(
y)xLQdy
=43LLQdyQdy
+y
:
d
fi
c.L3
:
x
=y
1(
y),cdLQdy
=13Q(y
(
y),
y)dy=
-dc1Q(y
(
y),
y)dyL4
:
x
=y
2
(
y),y
:
c
fi
d
.Qdy
=43LL
LQdyQdy
+L3
:
x
=y
1(
y),y
:
d
fi
c.dL13c1Qdy
=
cQ(y
(
y),
y)dy
=
-
d
Q(y
(
y),
y)dycL(
y),
y)dy24Qdy
=
d
Q(yLL3
L4
Qdy
=
Qdy
+
Qdyd
d=
c
Q(y
2
(
y),
y)dy
-
c
Q(y
1(
y),
y)dyD
?x=
?Q
dxdy.L3L4CEx
=y
1(
y)oDcydx
=y
2
(
y)xLQdy=3
4LLQdyQdy
+d
d=
c
Q(y
2
(
y),
y)dy
-
c
Q(y
1(
y),
y)dy=
?Q
dxdy.D
?x類似，把D
看成X
—型，有LD
?y
Pdx
=
-
?P
dxdy.兩式相加得LD?x
?y(
?Q
-
?P
)dxdy
=
Pdx
+
Qdy.若區(qū)域D
由按段光滑的閉曲線圍成.如圖,LL1L2L3DD1D2D3將D
分成三個(gè)既是X
-型又是Y
-型的區(qū)域D1
,D2
,D3
.1
2
3D
+D
+DD(
?Q
-
?P
)dxdy?x
?y?x
?y(
?Q
-
?P
)dxdy
=321DDD?x
?y
?x
?y
?x
?y=
(
?Q
-
?P
)dxdy+
(
?Q
-
?P
)dxdy+
(
?Q
-
?P
)dxdy=321LLLPdx
+
QdyPdx
+
Qdy
+Pdx
+
Qdy
+=
L
Pdx
+QdyFED?x
?y(
?Q
-
?P
)dxdy=
{AEFA
+AB
+BGHB
+BA
}
(
Pdx
+
Qdy)LPdx
+
Qdy
12=
{LL+
}(Pdx
+
Qdy)
=(L1,L2
對D
來說為正方向)1LAB證明(2)若區(qū)域D是一個(gè)復(fù)連通區(qū)域(如圖)，則添加輔助線AB，G
L2H此時(shí)D可看作由分段光滑的曲線AEFA
+
AB
+
BGHB
+
BA圍成的單連通區(qū)域，則由(1)知，L3x32-
x
)
dy(
x y
-
2
y)dx
+
(求例1.L
:
以
x
=
1,
y
=
x,
y
=
2
x
為邊的三角形邊界正向。2P
=
x y
-
2
y,x3Q
=
3
-
x,DPy
=
x2
-
2,
Qx
=
x2
-
1,解：Qx
-
Py
=
(
x2
-1)
-(
x2
-
2)
=
1Ddxdy由格林公式：I
==d
yd
x1102
xx
.1210=x
d
x
=xy0Lyy
+
2
y)dx
+
(
xy
+
xe
-
2
y)dy212
y例2
:
求
（e
+xBy
A
解:
作輔助線:
BC，CA，DCBL
:由點(diǎn)A(0，2)沿圓周x
2
+y2
=2
y
逆時(shí)針方向至點(diǎn)B(-1，1)的一段弧。(若順時(shí)針至B
(1,1)呢？)用格林公式？非閉曲線。yP=
e
y
+
y
+
2
,xQ=
y
+
e
y
,Qx
-
Py
=
-
2
.L+BC
+CAD=
-
2
2dxdy
=
-
p
;(
L
+
B￠C
+CA
=
2
D
dxdy
)
BC=
?,
CALyyy
+
2
y)dx
+
(
xy
+
xe
-
2
y)dy122（e
+xyABDCL+BC
+CAD=
-
2
2dxdy
=
-
p
;,
=
?BC
CABC
:
y
=
1,x
:
-1
fi
0.=BC0-112(e
+;52+
2)
dx
=
e
+CA
:x
=
0,
y
:1
fi
2.CA2=
1
(-2
y)
dy
=
-
3
;\原式=L+BC
+CA-
BC-
CA=
-
p
-
e
+
1
.2
2故所求功為=
2D
dxdy
+=
2p
-
23
-
1y
=
2
+
4
-
2
(
x
-
1)AB的方程例3.
質(zhì)點(diǎn)M
沿著以AB為直徑的半圓,從A(1,2)
運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B(3,4),
在此過程中受力F
作用,F
的大小等于點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離,其方向垂直于OM,且與y
軸正向夾角為銳角,求變力F對質(zhì)點(diǎn)M
所作的功.(90考研)F
dsW
=ABFAyBDM
(x,
y)xo解:由圖知F
={-y
,x},-
ydx
+
xdy
=AB=
(
+
)(-
ydx
+
xdy)AB格林公式的簡單應(yīng)用:?Q
?PD
(
?x
-
?y
)
dxdy
=
L
Pdx
+
QdyDPdx
+
QdyL?Q
?P?x
?y-
)
dxdy
=(令
Q
=
x,
P
=
-
y,D2
Ldxdy
=
1
xdy
-
ydx.若令
P
=
0，Q=
x, (
Qx
-
Py
=
1
)A
=
D
dxdy
=
L
xdy.若令
P
=
y，Q
=
0, (
Qx
-
Py
=
-1
)A
=
D
dxdy
=
-L
ydx.(
Qx
-
Py
=
2
)則D
的面積：A
=解：面積A
=Lxdy
-
ydx12=(cos4
t
sin2
t
+cos2
t
sin4
t
)dt3a2
2p0=2823a2
2p023psin
2tdt
=
a8例4：利用曲線積分，求下列曲線所圍的圖形的面積：x
=
a
cos3
t,
y
=
a
sin3
t
(0
￡
t
￡
2p
)
星形線的全微分,(4)
?P
=
?Q?y
?x即du
=Pdx
+Qdy.在G
內(nèi)恒成立。二、四個(gè)等價(jià)命題定理2.
設(shè)函數(shù)
P(x,y),Q(x,y)在單連通域
G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),
則下列四命題等價(jià):對G
內(nèi)任一光滑或分段光滑的閉曲線L
,有：L
Pdx
+Qdy
=0.對G
內(nèi)從點(diǎn)A
到B
的光滑曲線L，L
Pdx
+Qdy的值與路徑無關(guān)，只與起點(diǎn)A
與終點(diǎn)B
有關(guān)。微分式
P
dx
+
Qdy
在
G
內(nèi)是某一函數(shù)
u(
x,
y)由(1)
(2)
(3)
(4)
(1)(1)
(2)
:證明：由(1)
(2)
(3)
(4)
(1)(1)
(2)
:˙
˙設(shè)G內(nèi)閉曲線L由L1
(AB)與L2
(BA)圍成ABL11LPdx
+
Qdy2LL2+LPdx
+
Qdy
=
0,2Pdx
+
Qdy
=-LPdx
+
Qdy.L2GPdx
+
Qdy
=
-1(
A
fi
B)(
A
fi
B)即曲線積分與路徑無關(guān)，只與A,B
點(diǎn)有關(guān)。L
=
L1
+
L2
,
L
Pdx
+
Qdy
=
0,(2)
(3)
:(2)
(3)
:∵積分與路徑無關(guān)，僅與起點(diǎn)M0
(
x0
,
y0
),
終點(diǎn)
M
(
x,
y)
有關(guān),
固定M0
(
x0
,
y0
)(
x,
y
)(
x
,
y
)0
0P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dyu(
x,
y)
=y.M0
(
x0
,
y0
).M
(
x,
y)E(
x,
y0
)x取折線M0
EM
:x
x0P(
x,
y
)dx0+u(
x,
y)
=yy0Q(
x,
y)dy+?yu(
x,
y)
=xx0取折線M0
F
M
:y
y0Q(
x
,
y)dy0=
P(
x,
y).?u?xP(
x,
y)dx
0F
(
x
,
y)\
?u
=
Q(
x,
y);?x?u
=
P(
x,
y),?y?u
=
Q(
x,
y),\
du
=
?u
dx
+
?u
dy
=
P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dy,?x
?y即Pdx
+Qdy是某一函數(shù)u(x,y)的全微分。(3)
(4)
:(3)
(4)
:du
=
P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dy,?y?x其中P
=?u
,,=?y
?x?y?P
?2u且,=?x
?y?x?Q
?2uQ
=?u
,
P,Q
有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，?y
?x?P
?Q\
=
.(4)
(1)
:(4)
(1)
:
?P
=
?Q
,?y
?x∴對G
內(nèi)任一條閉曲線L，其所圍區(qū)域D
G,由格林公式：D
Pdx
+
Qdy
=
(?Q
-
?P
)dxdy
=
0
.?x
?yL說明：(1)常用(4)?P
=
?Q?y
?x來判定
(1)、(2)、(3)
的成立。則(2)
若?P
=
?Q
,?y
?x(
x,
y
)(
x0
,
y0
)u(
x,
y)
=
P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dy(
x,
y
)(
x
,
y
)0
0P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dyu(
x,
y)
=M0
EM
x
P(
x,
y0
)dx
y
Q(
x,
y)dy=
x0
+
y0x
y0
0M0
EM=
x
P(
x,
y0
)dx
+
y
Q(
x,
y)dyM0F
M
y=
Q(
x0
,
y)dx
+
x
P(
x,
y)dy
y0
x0y
x0
0M0F
M=
y
Q(
x0
,
y)dx
+
x
P(
x,
y)dy且
Pdx
+
Qdy
的一切原函數(shù)為
u(
x,
y)
+
c.x.M0
(
x0
,
y0
)M.(
x,
y)E(
x,
y0
)yF
(
x0
,
y)(3)
四個(gè)等價(jià)命題只適用于單連通域，不適用于多連通域。dx
+
dy,L
x
2
+
y2
x
2
+
y2-
y
x例：I
=L
:x
2
+y2
=1
取逆時(shí)針方向。2p0(sin2
t
+
cos2
t
)dt\
I
==
2p
?
0.y2
-
x2
?Q?y
=
(
x2
+
y2
)2
=
?x
,設(shè)L：x
=cos
t,y
=sin
t,(0
￡
t
￡
2p
)在閉區(qū)域D
上，?PI
=
0?=2p0d
txoyD。因?yàn)?/p>
D
: 0
<
x
2
+
y2
￡
1
為多連通域,在此D
上四個(gè)命題不再等價(jià).例
題例
題與路徑無關(guān)，并求例1：證明：L
(x
-y)(dx
-dy)在xoy
平面內(nèi)(1,1)(1,-1)(
x
-
y)(dx
-
dy).證：P
=x
-y,Q
=
-(
x
-
y)x.(1,
-1)
Py
=
-1
=
Qx
,y.(1,
1)1∴積分與路徑無關(guān)。取路徑L：x
=1y
:
-1
fi
1\
I
=
-1(1
-
y)(-dy)10=
-2d
y=
-2.LI
=(2
xy-
y2
cos
x)dx
+
(1
-
2
y
sin
x
+
3
x2
y2
)dy3例2：計(jì)算,1)的一段弧。2p2L
:
x
=p
y2上由點(diǎn)(0,0)到(xy2( ,
1)p∴積分與路徑無關(guān)。( ,
0
)2p200
dx\
I
=p
2=
4
.(0,1)+1024y
)
dy(1
-
2
y
+3p
210dyI
=
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明，都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等，如果需要附件，請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙，網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽，若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間，僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理，對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯，并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容，請與我們聯(lián)系，我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2024年實(shí)習(xí)生工作計(jì)劃樣本（二篇）
- 2024年學(xué)校工作考核細(xì)則范本（三篇）
- 2024年學(xué)校后勤學(xué)期工作計(jì)劃范文（二篇）
- 2024年發(fā)包工程和臨時(shí)工安全管理制度范本（三篇）
- 2024年學(xué)校周周清制度（二篇）
- 2024年小學(xué)減負(fù)工作計(jì)劃例文（四篇）
- GSMA：2024年移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)連接報(bào)告 The State of Mobile Internet Connectivity 2024
- 2024年家具采購合同參考樣本（四篇）
- 2024年商業(yè)租房合同范本（二篇）
- 2024年安全生產(chǎn)工作總結(jié)參考樣本（三篇）
- 印刷拼版資料
- 航空餐飲服務(wù)課件
- 醫(yī)療實(shí)驗(yàn)室專業(yè)人員的培訓(xùn)需求
- 工地撤資協(xié)議
- 學(xué)生勞動(dòng)任務(wù)的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)
- 基于數(shù)據(jù)的醫(yī)療質(zhì)量管理策略
- 會(huì)務(wù)服務(wù)投標(biāo)方案（技術(shù)標(biāo)）
- 鄉(xiāng)村醫(yī)生預(yù)防接種培訓(xùn)課件
- 費(fèi)爾巴哈論第四部分
- JGT368-2012鋼筋桁架樓承板規(guī)范
- 項(xiàng)目交接單模板
評論
0/150
提交評論