直線與雙曲線位置關(guān)系

1/13直線與雙曲線位置關(guān)系的位置關(guān)系1.直線與雙曲線的位置關(guān)系的判斷x2y2設直線y=kx+b，雙曲線a2－b2＝1(a>0，b>0)聯(lián)立消去y得Ax2+Bx+C=0(a≠0)，Δ=B2若A=0即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若Δ>0,直線與雙曲線相交，有兩個交點；若Δ=0，直線與雙曲線相切，有一個交點；Δ<0，直線與雙曲線相離，無交點；直線與雙曲線有一個公共點是直線與雙曲線相切的必要不充分條件。2.弦長問題且由，消去y→ax2+bx+c=0(a≠0)，Δ=b2－4ac。1弦長公式：|PP|=1+k2xx=1+yy(k為直線斜率)1212k212例題選講：數(shù)k的取值范圍；解(1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x2-y2=1后，整理得依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，2/13直線與雙曲線位置關(guān)|Δ＝(2k)2－8(k2－2)>0，|k2－2.21例2：已知中心在原點，頂點A,A在x軸上，離心率為123的雙曲線經(jīng)過點P(6,6) (Ⅰ)求雙曲線的方程； (Ⅱ)動直線l經(jīng)過APA的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M,N，問是否存在直線l12使G平分線段MN。試證明你的結(jié)論。3/13直線與雙曲線位置關(guān)系x2x例3：已知橢圓C1的方程為4＋y2＝1，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點．(1)求雙曲線C2的方程；x2y2解(1)設雙曲線C2的方程為a2－b2＝1，x2x故C2的方程為3－y2＝1.x2x3(2)將y＝kx＋2代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.3l與雙曲線C2交于不同的兩點，得13∴k2≠且k2<1.3①62k－9AxyBxyx＋x2＝1－3k2，x1x2＝1－3k2.3k2＋7＝(k2＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝3k2－1.3k2＋7－3k2＋91例4：已知雙曲線的中心在原點，焦點F,F在坐標軸上，離心率為2，且過點(4,_10)．12 (1)求雙曲線方程； (2)若點M(3,m)在雙曲線上，求證：MF.MF=0；12 (3)對于(2)中的點M，求編FMF的面積．24/13直線與雙曲線位置關(guān)系 212122 122122∴編FMF的面積為6．2平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．質(zhì)xp標準方程O)(p)范圍對稱軸頂點坐標焦點坐標(p)5/13直線與雙曲線位置關(guān)系e＝1準線方程離心率22By3A.45C.474與它到拋物線C的焦點的距離之和最小，則點P的坐標是()3315(2)由題知點A在拋物線內(nèi)部，根據(jù)拋物線定義，問題等價于求拋物線物線的交點，故所求P點的坐標是(1,2)．[答案](1)C(2)B由拋物線定義知，點A到準線x＝－1的距離為3，∴點A的橫坐標6/1322AAFy2(x－1)．(1)1322.22.322程及幾何性質(zhì)x2y2例2：(1)(2012·山東高考)已知雙曲線C1：a2－b2＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物831633333(2)(2012·四川高考)已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經(jīng)過點7/13直線與雙曲線位置關(guān)系(p∴雙曲線的漸近線方程為3x±y＝0，∴拋物線C2：x2＝2py(p＞0)的焦點|0，2|到雙2曲線的漸近線的距離為|3×0±|＝2，∴p＝8.∴所求的拋物線方程為x2＝16y.2p2(2)依題意，設拋物線方程是y2＝2px(p>0)，則有2＋＝3，得p＝2，故拋物線方程2[答案](1)D(2)B[解析]設點A'是點A在準線上的射影，則|AA'|=3，由勾股定理知|MA'|=22，點A的y(1)若m≠0，當Δ＞0時，直線與拋物線有兩個公共點；當Δ＝0時，直線與拋物線只有一個公共點；當Δ＜0時，直線與拋物線沒有公共點．(2)若m＝0，直線與拋物線只有一個公共點，此時直線與拋物線的對稱軸平行．2p(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝sin2θ(θ為AB的傾斜角)．p2p(3)S△AOB＝2sinθ(θ為AB的傾斜角)．直線與雙曲線位置關(guān)系112＋為定值|AF||BF＋為定值(5)以AB為直徑的圓與準線相切．y(1)求拋物線E的方程；證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點．因為點B(43，12)在x2＝2py上，所以(43)2＝2p×12，解得p＝2.E的方程為x2＝4y.1142421111由|ly＝－1，18/139/13直線與雙曲線位置關(guān)系x－4即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)1|ly＋y1－2＝0，解得y1＝1.12(2)設點A是直線l與拋物線C在第一象限的交點．點B是以點F為當直線l的斜率不存在時，即x＝1不符合題意．|－k|13所以，1＋k2＝2，解得k＝±3.333(2)直線AB與拋物線相切，證明如下：y010/13把方程①代入y2＝4x得：y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，所以直線AB與拋物線相切．基礎(chǔ)練習：x2y2491．(2012·濟南模擬)拋物線的焦點為橢圓＋＝149物線方程為()yxCxyD．y2＝－413xp)(p)pp20p＋36＝0，解得p＝2或18.11/13直線與雙曲線位置關(guān)系則p的值為()11CD.24p解析：選A注意到拋物線y2＝2px的準線方程是x＝－2，曲線x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16是圓心為(3,0)，半徑為4的圓．于是依題意有|＋3|＝4.又p＞0，因p2此有＋3＝4，解得p＝2.2是()66π66A.或44π44B.或33π33π22π3π所以sinθ＝2，所以θ＝4或4.BCBCxF由①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)12/13直線與雙曲線位置關(guān)系y1－y24得kBC＝x1－x2＝y(tǒng)y1－y24x1＋x2＋1kmaax2y2