數(shù)學(xué)物理方程 格林函數(shù)法

數(shù)學(xué)物理方程格林函數(shù)法第一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

利用格林函數(shù)法求解一些平面或空間區(qū)域上位勢方程狄利克雷問題。介紹利用格林函數(shù)法求解一維熱傳導(dǎo)方程和波動方程半無界問題本章中心內(nèi)容第二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

格林（Green）函數(shù)，又稱為點源影響函數(shù)，是數(shù)學(xué)物理中的一個重要概念．格林函數(shù)代表一個點源在一定的邊界條件下和初始條件下所產(chǎn)生的場．知道了點源的場，就可以用疊加的方法計算出任意源所產(chǎn)生的場．

格林函數(shù)法是解數(shù)學(xué)物理方程的常用方法之一．第三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三5.1Green公式

在研究Laplace方程和Poisson方程邊界問題的時候，要經(jīng)常利用格林公式，它是高等數(shù)學(xué)中Gauss公式的直接推廣。設(shè)為中的區(qū)域，充分光滑。設(shè)k為非負(fù)整數(shù)，以下用表示在上具有k階連續(xù)偏導(dǎo)的實函數(shù)全體，表示在上具有k階連續(xù)偏導(dǎo)的實函數(shù)全體。如表示在具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上連續(xù)。如將簡記為，簡記為或，等等。設(shè)和，則如下的高斯公式第四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三或者如果引入哈密爾頓（Hamilton)算子：并記F=(P,Q,R),則Gauss公式具有如下簡潔性式其中為的單位外法向量。注1哈密爾頓算子是一個向量性算子，它作用于向量函數(shù)F=(P,Q,R)時，其運算定義為第五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三形式上相當(dāng)于兩個向量作點乘運算，此即向量F的散度divF。而作用于數(shù)量函數(shù)f(x,y,z)時，其運算定義為形式上相當(dāng)于向量的數(shù)乘運算，此即向量函數(shù)的梯度grad、設(shè)在(3)式中取得直接計算可得將(5)式帶入到(4)式中，并整理得其中(6)式稱為格林第一公式第六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三將（6）中函數(shù)u、v的位置互換，得（6）-（7），得（8）稱為格林第二公式。設(shè)，點，。引入函數(shù)，注意是關(guān)于六個變元和的函數(shù)，且第七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三又兩邊對x求偏導(dǎo)，得即所以對（*）再對x求偏導(dǎo)，得整理，得第八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三由對稱性，得所以即在中除點外處處滿足拉普拉斯方程。

設(shè)充分小使得記，則，在格林第二公式中，令，注意到，則有第九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三或在球面上，有或因此第十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三其中------積分中值定理

同理可得其中------積分中值定理

將（10）和（11）帶入到（9），得到令此時有第十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三并且區(qū)域G趨向于區(qū)域，所以可得即（12）稱為格林第三公式。注2在二維情況中，格林第一公式和格林第二公式也成立。而對于格林第三公式，需要取格林第三公式，需要取此時，格林第三公式也成立。第十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三5.2Laplace方程基本解和Green函數(shù)基本解做研究偏微分方程時起著重要的作用。這里首先介紹拉普拉斯方程的基本解，并做一些特殊區(qū)域上由基本解生產(chǎn)格林函數(shù)，由此給出相應(yīng)區(qū)域上的拉普拉斯方程或泊松方程邊值問題的解的表達(dá)式。5.2.1基本解設(shè)，若做點放置一單位正電荷，則該電荷在空間產(chǎn)生的點位分布為（舍去介電常數(shù)）電場中某點的電位是指在電場中將單位正電荷從該點移至電位參考點時電場力所做的功。上節(jié)已證在廣義函數(shù)意義下，第十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三其中三維拉普拉斯方程的通解為：如果取就得到一個重要的特解，前面記作，與點選擇有關(guān)。稱為三維拉普拉斯方程的基本解。當(dāng)n=2時，二維拉普拉斯方程的基本解為其中。有在廣義函數(shù)意義下，第十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三5.2.2格林函數(shù)考慮如下定解問題設(shè)為上述問題的解，則由格林第三公式，得由定解問題（5）（6）的自由項和邊值條件，可得和而在中，在邊界上的值未知，因此須進(jìn)一步處理。注如果邊界條件改為諾依曼條件，即定解問題變?yōu)榈谑屙摚参迨?，編輯?023年，星期三由格林第三公式，得須做進(jìn)一步處理。如何由格林第三公式得到定解問題（5）（6）的解？主要是如何消去。----構(gòu)造格林函數(shù)。設(shè)h為如下定解問題的解在格林第二公式第十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三中，取v=h，得或則（7）+（10）得其中由第十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三及可知，是如下定解問題的解稱為拉普拉斯方程在區(qū)域上的格林函數(shù)。由于G在上恒為0，又可得第十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三因此，若求出了區(qū)域上的格林函數(shù)，則便是定解問題的解。第十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三5.3半空間及圓域上的Dirichlet問題由前面的分析，我們可以看出，只要求出了給定區(qū)域上的格林函數(shù)，就可以得到該區(qū)域泊松方程狄利克雷問題的解。對一般區(qū)域，求格林函數(shù)并非易事。但對于某些特殊區(qū)域，可有一些方法。5.3.1半空間上的狄利克雷問題

設(shè)考慮定解問題

設(shè)，則為關(guān)于的對稱點。若在兩點各放置一個單位正電荷，則由三維拉普拉斯方程的基本解得知，它們做空間產(chǎn)生點位分別為第二十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三其中。由于關(guān)于對稱，且，則有即為上半空間的格林函數(shù)，且有直接計算可得第二十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三又第二十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三例1

求解下列定解問題解：第二十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第二十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三例2求解下列定解問題解：第二十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三練解第二十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三5.3.2圓域上的狄利克雷問題

設(shè)

考慮圓域上的狄利克雷問題

設(shè)為關(guān)于圓周的對稱點，即因此，對任意有，即所以第二十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三這說明函數(shù)在上恒為零。有由于，故即是圓域上的格林函數(shù)。引入極坐標(biāo)，設(shè)則用表示與的夾角，則有利用余弦定理，有第二十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三將上面兩式帶入到格林函數(shù)有第二十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三計算記，則有第三十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三這既是定解問題的解。第三十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第三十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第三十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第三十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第三十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第三十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第三十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第三十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第三十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第四十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第四十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第四十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三第四十三頁，共五十頁，編輯于2