固體力學(xué)作業(yè)薄板的振動的固有頻率與振型

MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h固體力學(xué)作業(yè)薄板的振動的固有頻率與振型1、問題矩形薄板的參數(shù)如下求矩形薄板在（1）四邊簡支（2）四邊固支條件下的固有頻率和振型2、薄板振動微分方程薄板是滿足一定假設(shè)的理想力學(xué)模型，一般根據(jù)實際的尺寸和受力特點來將某個實際問題簡化為薄板模型，如厚度要比長、寬的尺寸小得的結(jié)構(gòu)就可以采用薄板模型。薄板在上下表面之間存在一個對稱平面，此平面稱為中面，且假定：（1）板的材料由各向同性彈性材料組成；（2）振動時薄板的撓度要比它的厚度要小；（3）自由面上的應(yīng)力為零；（4）原來與中面正交的橫截面在變形后始終保持正交，即薄板在變形前中面的法線在變形后仍為中面的法線。為了建立應(yīng)力、應(yīng)變和位移之間的關(guān)系，取空間直角坐標Oxyz，且坐標原點及xOy坐標面皆放在板變形前的中面位置上，如REF_Ref420399910圖1所示。設(shè)板上任意一點a的位置，將由變形前的坐標x、y、z來確定。圖SEQ圖\*ARABIC1薄板模型根據(jù)假定（2），板的橫向變形和面內(nèi)變形u、v是相互獨立的。為此，其彎曲變形可由中面上各點的橫向位移所決定。根據(jù)假定（4），剪切應(yīng)變分量為零。由薄板經(jīng)典理論，可以求得板上任意一點沿三個方向的位移分量的表達式分別為根據(jù)應(yīng)變與位移的幾何關(guān)系可以求出各點的三個主要是應(yīng)變分量為 胡克定律，從而獲得相對應(yīng)的三個主要應(yīng)力分量為： 現(xiàn)畫薄板微元的受力圖如REF_Ref420656647\h圖2所示。REF_Ref420656647\h圖2所示中分別為OB面、OC面上所受到的單位長度的彎矩、扭矩和橫切剪力。彎矩和扭矩都用沿其軸的雙剪頭表示。Mx、My是由正應(yīng)力σx、σx引起的合力矩。扭矩是由剪切力τxy引起的合力矩。圖SEQ圖\*ARABIC2薄板應(yīng)力示意圖p(x,y,t)=P(x,y)f(t)為具有變量分離形式的外載荷集度，沿z軸方向。應(yīng)用動靜法計算時，沿z軸負方向有一虛加慣性力，根據(jù)，，則有 整理后，可得 整理得到 由彎矩的計算公式 將式GOTOBUTTONZEqnNum585619REFZEqnNum585619\*Charformat\!(1.2)代入式GOTOBUTTONZEqnNum796045REFZEqnNum796045\*Charformat\!(1.8)，積分后得 再將式GOTOBUTTONZEqnNum129296REFZEqnNum129296\*Charformat\!(1.9)代入式GOTOBUTTONZEqnNum746102REFZEqnNum746102\*Charformat\!(1.5)，即可得到薄板微元的運動微分方程為 這是一個四階的線性非齊次的偏微分方程。其中為薄板的抗彎剛度。3、矩形板橫向振動微分方程的解矩形板的橫向自由振動的微分方程為 或?qū)懗? 其中設(shè)解的形式是時間變量和坐標變量可以分離的形式： 將式GOTOBUTTONZEqnNum444221REFZEqnNum444221\*Charformat\!(1.13)代入式GOTOBUTTONZEqnNum393257REFZEqnNum393257\*Charformat\!(1.12)）可得 再根據(jù)板的邊界條件來求解固有頻率，式GOTOBUTTONZEqnNum784608REFZEqnNum784608\*Charformat\!(1.14)可用分離變量法來求解。假定解具有如下形式：將上式代入式GOTOBUTTONZEqnNum784608REFZEqnNum784608\*Charformat\!(1.14)中，可得 上式可改寫為 現(xiàn)討論式GOTOBUTTONZEqnNum666410REFZEqnNum666410\*Charformat\!(1.17)中，首先要滿足邊界條件，設(shè) 根據(jù)上兩式，有 則，故有 將上兩式GOTOBUTTONZEqnNum696892REFZEqnNum696892\*Charformat\!(1.21)代入式GOTOBUTTONZEqnNum811783REFZEqnNum811783\*Charformat\!(1.19)第一式中，可寫為 即有 于是變量得到了分離，要滿足式GOTOBUTTONZEqnNum784608REFZEqnNum784608\*Charformat\!(1.14)的三角函數(shù)為 類似地也可得出另一個平行的能使分離變量的條件為 現(xiàn)設(shè)x方向板的長度為a，y方向板的長度為b，且當x=0和x=a邊為簡支，則滿足此邊界的條件，故式GOTOBUTTONZEqnNum118927REFZEqnNum118927\*Charformat\!(1.24)可寫為 令 代入式GOTOBUTTONZEqnNum784608REFZEqnNum784608\*Charformat\!(1.14)有 即為 上式的解為 式中再由y=0及y=b的邊界條件，由式GOTOBUTTONZEqnNum849556REFZEqnNum849556\*Charformat\!(1.30)可求得(i=1,2,34)的齊次方程組，再令其系數(shù)行列式為零，可得到固有頻率方程式，從而求出固有頻率。四邊簡支矩形薄板的自由振動邊界條件為 設(shè)則滿足邊界條件。將上式代入方程GOTOBUTTONZEqnNum784608REFZEqnNum784608\*Charformat\!(1.14)，得將上式兩邊乘以并對整個面積進行積分得到：則得固有頻率為 因此可得，四邊簡支矩形薄板在自由振動時的撓度函數(shù)為 將上述結(jié)果用MATLAB求出：表格SEQ表格\*ARABIC1簡支的固有頻率計算結(jié)果頻率D11D12D21D22D13計算結(jié)果1110021347341554440138424仿真結(jié)果13951231353361045169.39451圖SEQ圖\*ARABIC3簡支的模態(tài)Abaqus的計算結(jié)果：表格SEQ表格\*ARABIC2簡支薄板各階振型abaqus實體單元有限元仿真結(jié)果實體有限元模態(tài)頻率D1113951D1223135.D2133610.D1339451D2245169.D1459868.4、固支邊界條件振動微分方程的解四邊固支矩形薄板的自由振動邊界條件為 4.1正弦函數(shù)平方的逼近根據(jù)簡支的啟發(fā)，正弦函數(shù)的平方滿足邊界條件。所以設(shè)其是如下形式： 將上式帶入方程GOTOBUTTONZEqnNum784608REFZEqnNum784608\*Charformat\!(1.14)，整理可得 根據(jù)伽遼金法兩邊乘以并在整個區(qū)域內(nèi)積分可得到 頻率計算結(jié)果如REF_Ref420610225\h表格3，振型計算結(jié)果如REF_Ref420610254\h圖4表格SEQ表格\*ARABIC3頻率計算結(jié)果階數(shù)D11D12D21D22D13角頻率值21690.941032.573992.186763.578703.1圖SEQ圖\*ARABIC4用sin2x作為試函數(shù)求解的模態(tài)用abaqus有限元模擬上述結(jié)果對比，采用四邊固支，固支單條邊，網(wǎng)格為5層。結(jié)果如下REF_Ref420610517\h圖5。實體單元模態(tài)頻率D1120228.D1230990.D2148507.D1348872.D2258116.D1472983.圖SEQ圖\*ARABIC5模態(tài)然而上述的結(jié)果的差別很大，在第一階很接近，但高階就不在相近。計算值的振型和仿真值的模態(tài)一階的圖像是相同的，而用平方的三角函數(shù)的振型只有正值，與模擬的相差大。所以型函數(shù)的選取可能是上述計算值差別的原因。為解決平方的三角函數(shù)得到的模態(tài)和頻率與有限元模擬的相差較大的缺陷，根據(jù)伽遼金法求解的特點，采取不同的試函數(shù)來求解方程。首先將試函數(shù)分成x的函數(shù)與y的函數(shù)乘積的形式。即 先單獨分析的特點，并類推。試函數(shù)的特點是（1）滿足邊界條件；（2）一組函數(shù)序列之和，函數(shù)序列在函數(shù)空間中線性無關(guān)，且應(yīng)收完備的函數(shù)族；（3）函數(shù)族盡可以用通式表達，以便于運算與求解，而且函數(shù)族中的每個函數(shù)都滿足邊界條件；（4）為了更方便的利用伽遼金法，函數(shù)應(yīng)該是正交的，這樣積分可以解決無窮項的難題。然而這樣的函數(shù)族很難找到，下面分別從冪函數(shù)、三角函數(shù)等初等函數(shù)構(gòu)造滿足上述條件的函數(shù)來逼近振型。它們都有一定缺陷，其中冪函數(shù)的結(jié)果較好。4.2、用冪函數(shù)的逼近邊界條件：滿足上面邊界條件的冪函數(shù)的常數(shù)項和一次項都為零，一般的可設(shè) 將第二個邊界條件代入，為了一般性和便于區(qū)別，邊長用表示： 整理寫成矩陣形式求解得到根據(jù)線性方程解的線性無關(guān)性，可以得到 上述的冪函數(shù)都是滿足邊界條件，而且組成了n-1維函數(shù)空間的基底，即它們是線性無關(guān)的，且可以線性表示滿足邊界條件的所有冪函數(shù)。 由于上面的函數(shù)族滿足邊界條件，但并不正交，積分的時候很難分離。定義兩個函數(shù)的內(nèi)積為，于是可以構(gòu)造一個函數(shù)內(nèi)積空間，并根據(jù)Gram-Schmit正交化的方法，構(gòu)造一系列的正交多項式，下面計算了前四項， 同理，滿足邊界條件的可以設(shè)成 按照上面同樣的方法可有求得滿足邊界條件的函數(shù)族 并構(gòu)造正交多項式于是設(shè) 將GOTOBUTTONZEqnNum867941REFZEqnNum867941\*Charformat\!(1.45)代入方程GOTOBUTTONZEqnNum784608REFZEqnNum784608\*Charformat\!(1.14)中，并用卡遼金法，