《振動力學》習題集(含答案)

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1.1質(zhì)量為m的質(zhì)點由長度為l、質(zhì)量為m1的均質(zhì)細桿約束在鉛錘平面內(nèi)作微幅擺動，如圖E1.1所示。求系統(tǒng)的固有頻率。

圖E1.1

解：系統(tǒng)的動能為：

()2

22

121xIlxmT+=

其中I為桿關于鉸點的轉(zhuǎn)動慣量：

2102120221lmdxxlmxdxlmIll??==??

?

??=

則有：

()2212212236

16121xlmmxlmxmlT+=+=

系統(tǒng)的勢能為：

()()()2

1212124

1

4121cos12

cos1glxmmglxmmglxxl

gmxmglU+=+=-?

+-=

利用xx

nω=和UT=可得：()()l

mmg

mmn113223++=

ω

1.2質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)柱體在水平面上作無滑動的微幅滾動，在CA=a的A點系有兩根彈性剛度系數(shù)為k的水平彈簧，如圖E1.2所示。求系統(tǒng)的固有頻率。

圖E1.2

解：

如圖，令θ為柱體的轉(zhuǎn)角，則系統(tǒng)的動能和勢能分離為：

22222243212121θθθmRmRmRITB=??

???+==

()[]()22

22

12θθaRkaRkU+=+?=

利用θωθn

=和UT=可得：()m

k

RaRmRaRkn34342

2

+=+=ω

1.3轉(zhuǎn)動慣量為J的圓盤由三段抗扭剛度分離為1k，2k和3k的軸約束，如圖E1.3所示。

求系統(tǒng)的固有頻率。

圖E1.3

解：系統(tǒng)的動能為：

2

2

1θJT=

2k和3k相當于串聯(lián)，則有：

332232,θθθθθkk=+=

以上兩式聯(lián)立可得：

θθθθ3

22

33232,kkkkkk+=+=

系統(tǒng)的勢能為：

()232323212

332222*********θθθθ??

????+++=++=kkkkkkkkkkU

利用θωθn

=和UT=可得：()()

3232132kkJkkkkkn+++=

ω

1.4在圖E1.4所示的系統(tǒng)中，已知()bamiki,,3,2,1和=，橫桿質(zhì)量不計。求固有頻

率。

圖E1.4

答案圖E1.4

解：對m舉行受力分析可得：

33xkmg=，即3

3kmg

x=

如圖可得：

()()2

2221111,kbamgakFxkbamgbkFx+==+==

()()mgkkbakbkabaxxaxxxx2122

21212110++=+-+='+=

()mgkmgkkkbakbkaxxx0

3212

2212301

1=??

????+++=+=

則等效彈簧剛度為：

()()2

12322

312

3

212

kkbakkbkkakkkbake++++=則固有頻率為：

()()(

)[

]

222132212

321b

kakkbakkmbakkkmken++++==ω

mgb

aaF+=

2

xx2

1.7質(zhì)量1m在傾角為α的光潔斜面上從高h處滑下無反彈碰撞質(zhì)量2m，如圖E1.7所

示。確定系統(tǒng)由此產(chǎn)生的自由振動。

圖E1.7

答案圖E1.7

解：

對1m由能量守恒可得（其中1v的方向為沿斜面對下）：

21112

1

vmghm=

，即ghv21=

對囫圇系統(tǒng)由動量守恒可得：

()02111vmmvm+=，即ghmmmv22

110+=

令2m引起的靜變形為2x，則有：

22sinkxgm=α，即k

gmxα

sin22=

令1m+2m引起的靜變形為12x，同理有：

()kgmmxαsin2112+=

得：

k

gmxxxα

sin12120=

-=

則系統(tǒng)的自由振動可表示為：

tx

txxnn

nωωωsincos00+

=

其中系統(tǒng)的固有頻率為：

2

1mmk

n+=

ω

注重到0v與x方向相反，得系統(tǒng)的自由振動為：

t

vtxxnn

nωωωsincos0

0-

=

1.9質(zhì)量為m、長為l的均質(zhì)桿和彈簧k及阻尼器c構成振動系統(tǒng)，如圖E1.9所示。以桿偏角θ為廣義坐標，建立系統(tǒng)的動力學方程，給出存在自由振動的條件。若在彈簧原特長立刻釋手，問桿的最大振幅是多少？發(fā)生在何時？最大角速度是多少？發(fā)生在何時？是否在過靜平衡位置時？

圖E1.9

答案圖E1.9

解：利用動量矩定理得：

llcaakI?-?-=θθθ

，23

1

mlI=

033222

=++θθθ

kaclml，2

2

3ml

kan=ω

nmlclξω232

2=，3

21123mk

lacmcn<?<?=ωξ

aakl

mg?=?

02

θ，2

02kamgl

=

θ

1.12面積為S、質(zhì)量為m的薄板銜接于彈簧下端，在粘性流體中振動，如圖E1.12所示。

作用于薄板的阻尼力為SvFd2μ=，2S為薄板總面積，v為速度。若測得薄板無阻尼自由振動的周期為0T，在粘性流體中自由振動的周期為dT。求系數(shù)μ。

lc

圖E1.12

解：平面在液體中上下振動時：

02=++kxxSx

mμ

2Tmknπ

ω=

=

，d

ndTπξωω212=

-=

nnmSmSωμξξωμ=?=22，k

S222

μξ=

k

Sk2

22

1μξ-=-

2022220

222TTTSTm

kSkTTdd

d-=?-=πμμππ

2.1圖E2.2所示系統(tǒng)中，已知m，c，1k，2k，0F和ω。求系統(tǒng)動力學方程和穩(wěn)態(tài)響

應。

圖E2.1

答案圖E2.1(a)答案圖E2.1(b)

解：

等價于分離為1x和2x的響應之和。先考慮1x，此時右端固結，系統(tǒng)等價為圖（a），受力為圖（b），故：

()()xcxkxccxkkx

m112121+=++++tAcAkkxxcx

m1111111cossinωωω+=++

（1）

21ccc+=，21kkk+=，m

kkn2

1+=

ω（1）的解可參照釋義（2.56），為：

()()

()()

()

()()

2

2

2111

112

2

2111121cos21sinsstk

Acsstk

AktYξθωωξθω+--+

+--=

（2）

其中：

nsωω1=

，21112s

stg-=-ξθ()

()()2

12

12212212

2112

121kkcckkkkcs++++=

???

?

??++=+ωωξ

()()

()()

()2

1212

212

2

1

212

211212

21212

2

2121kkccmkk

kkcckkmss+++-+=

?

?

????+++??????+-=+-ωωωωξ

故（2）為：

()()()

()

()()()()

21121

2

2

1

2

21

21

2

121211

2

1

2

212

2121111111111sincossinθθωω

ω

ωωωθωωθω+-++-++=++-+-+-=

tccmkk

ckAccmkktA

ctAktxxk2x

2(11xk-)11xx

c-

1

()()mkkcctgkkmkkctgsstg2

1

211

2112

121

211121

1112ωωωωξθ-++=+-+=-=1

1

11

2kctgωθ-=

考慮到()tx2的影響，則疊加后的()tx為：

()()()()?????

?+-++-++-++=--=∑

iiiiiiiiiiiiikctgmkkcctgtccmkkckAtxωωωωωωω1221211

2

1

222122212

22sin

2.1一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光潔斜面作自由振動，如圖T2-1所示。已知，?=30α，m=1kg，k=49N/cm，開頭運動時彈簧無伸長，速度為零，求系統(tǒng)的運動邏輯。

圖T2-1

答案圖T2-1

解：

0sinkxmg=α，1.049

21

8.91sin0=?

?==

k

mgxα

cm

701

10492

=?==-mknωrad/s

ttxxn70cos1.0cos0-==ωcm

2.2如圖T2-2所示，重物1W懸掛在剛度為k的彈簧上并處于靜平衡位置，另一重物2

W從高度為h處自由下落到1W上而無彈跳。求2W下降的最大距離和兩物體碰撞后的運動邏輯。

圖T2-2

答案圖T2-2

解：

2

22221vg

WhW=

，ghv22=

動量守恒：

122

122vg

WWvgW+=，ghWWWv221212+=

平衡位置：

11kxW=，k

Wx1

1=

1221kxWW=+，k

WWx2

112+=

故：

k

Wxxx2

1120=

-=()2

121WWkg

gWWkn+=+=

ω

故：

t

vtxt

x

txxnn

nnn

nωωωωωωsincossincos12

000+

-=+-=

W2

W1

2.4在圖E2.4所示系統(tǒng)中，已知m，1k，2k，0F和ω，初始時物塊靜止且兩彈簧均為

原長。求物塊運動邏輯。

圖E2.4

答案圖E2.4

解：

取坐標軸1x和2x，對銜接點A列平衡方程：

()0sin012211=+-+-tFxxkxkω

即：

()tFxkxkkωsin022121+=+

（1）

對m列運動微分方程：

()1222xxkx

m--=

即：

12222xkxkx

m=+（2）

由（1），（2）消去1x得：

tkkk

Fxkkkkx

mωsin2

120221212+=++

（3）

故：

()

212

12kkmkkn+=

ω

由（3）得：

()()()???

???--+=

ttkkmkFtxnnnωωωωωωsinsin22

21202

2.5在圖E2.3所示系統(tǒng)中，已知m，c，k，0F和ω，且t=0時，0xx=，0vx

=，求系

xk

)1xxk-2x

m(2k

2

統(tǒng)響應。驗證系統(tǒng)響應為對初值的響應和零初值下對激勵力響應的疊加。

圖E2.3

解：

()()()θωωωξω-++=-tAtDtCetxddtcossincos0

()()

2

2

20

211

ssk

FAξ+-?=

，2

1

12s

s

tg

-=-ξθ()θθcoscos000AxCACxx-=?+==

()()()()

θωωωωωωωωξωξωξω--+-++-=--tAtDtCe

tDtCetxddddt

ddtsincossinsincos000

()d

d

dAC

vDADCvx

ωθ

ωωξωθωωξωsinsin00000-

+=?++-==

求出C，D后，代入上面第一個方程即可得。

2.7由一對帶偏心質(zhì)量的等速反向旋轉(zhuǎn)齒輪構成的振動機械安裝在彈簧和阻尼器構成的支承上，如圖E2.7所示。當齒輪轉(zhuǎn)動角速度為ω時，偏心質(zhì)量慣性力在垂直方向大小為

tmeωωsin2。已知偏心重W=125.5N，偏心距e=15.0cm，支承彈簧總剛度系數(shù)k=967.7

N/cm，測得垂直方向共振振幅cmXm07.1=，遠離共振時垂直振幅趨近常值cmX32.00=。

求支承阻尼器的阻尼比及在min300r=ω運行時機器的垂直振幅。

tω

圖E2.7

解：

()()()

()θωξ-+-?

=tsssM

metxsin212

2

22

，2

1

12ss

tg-=-ξθ

s=1時共振，振幅為：

cmMmeX07.1211=?=

ξ

（1）

遠離共振點時，振幅為：

cmM