2023北京海淀高三（上）期末數(shù)學（教師版）

2023北京海淀高三（上）期末

數(shù)學

2023.01

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.已知集合A=｛止2<x?3｝,B=｛x|x>0）,則（）

A[-2,3]B.[0,3]C.(0,+e)D.[-2,4-00)

2.在復平面內(nèi)，復數(shù)」一對應的點位于（）

2-Z

A第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知函數(shù)/（力=4一1-1,在下列區(qū)間中，

包含零點的區(qū)間是（）

'3B.加

C.(1,2)D.(2,3)

兀1

4.已知。=坨5/=5指],。=23,貝ij()

A.a<b<cB.h<a<c

C.b<c<aD.a<c<b

5.若圓龍2+>2—2x—2”>+/=0截直線x-2y+l=0所得弦長為2,則。=()

A.-1B.0C.1D.2

6.已知｛4｝為等差數(shù)列,q=3,%+4=-16若數(shù)列也｝滿足a=%+4用（〃=1,2,）,記也｝的

前〃項和為S“，則Sg=（）

A.-32B.-80C.-192D.-224

7.某校高一年級計劃舉辦足球比賽，采用抽簽的方式把全年級6個班分為甲、乙兩組，每組3個班，則高

一（1）班、高一（2）班恰好都在甲組的概率是（）

1111

A.-B.-C.-D.一

3456

8.設夕是兩個不同的平面，直線〃zua,則“對￡內(nèi)的任意直線/,都有加，/”是的

（）

A充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

第1頁/共19頁

9.已知函數(shù)/（X）=cos2x在區(qū)間Z,Z+|（北叱上的最大值為〃”），則M⑺的最小值為（）

'TB-4c3d-4

10.在實際生活中，常常要用到如圖1所示的“直角彎管它的制作方法如下：如圖2,用一個與圓柱底面

所成角為45的平面截圓柱，將圓柱截成兩段，再將這兩段重新拼接就可以得至U“直角彎管”.在制作“直角彎

管”時截得的截口是一個橢圓，若將圓柱被截開的一段（如圖3）的側(cè)面沿著圓柱的一條母線剪開，并展開

成平面圖形，則截口展開形成的圖形恰好是某正弦型函數(shù)的部分圖象（如圖4）.記該正弦型函數(shù)的最小正

周期為T,截口橢圓的離心率為e.若圓柱的底面直徑為2,則（）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.拋物線y2=2x的焦點坐標為.

12.在的展開式中，/的系數(shù)為_________.

IX）

13.如圖，在正三棱柱ABCA4G中，尸是棱上一點，AB=AA]=2,則三棱錐P—AC0的體

14.設。為原點，雙曲線C：%2—21=1的右焦點為尸，點/＞在。的右支上.則。的漸近線方程是

3

第2頁供19頁

OPOF

；10Pl的取值范圍是.

15.已知函數(shù)”x)=x2-2x+2/,g(x)=e'T.給出下列四個結(jié)論：

①當f=0時，函數(shù)y=f(x)g(x)有最小值;

②于eR,使得函數(shù)y=/(；v)g(x)在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞增；

③于eR,使得函數(shù)y=/(%)+g(x)沒有最小值；

④于eR,使得方程/(x)+g(x)=0有兩個根且兩根之和小于2.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)〃x)=sin?x+*)(0>O,陷用五點法畫/(尤)在區(qū)間一上的圖象時，取點列

表如下:

兀715712兀1171

X

"12672T~Y2

“X)010-10

(1)直接寫出/(%)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在ABC中，f(B)=,a+c=6,求ABC的面積.

17.如圖，在四棱錐P—ABC。中，PQ_L平面

ABCD,AD±DC,AB//DC,AB=-DC,PD=AD,M為棱PC的中點.

2

(1)證明：BM//平面PAO；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角尸-的余弦值.

條件①：PB=6條件②：BDLBC.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

18.H地區(qū)農(nóng)科所統(tǒng)計歷年冬小麥每畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，得到頻率分布直方圖(如圖1),考慮到受市場影響,

第3頁/共19頁

預測該地區(qū)明年冬小麥統(tǒng)一收購價格情況如表1（該預測價格與畝產(chǎn)量互不影響）.

明年冬小麥統(tǒng)一收購價格（單位：元/kg）2.43

概率0.40.6

表1

假設圖1中同組的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值估算，并以頻率估計概率.

（1）試估計H地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購總價為1500元的概率；

（2）設〃地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購總價為X元，求X的分布列和數(shù)學期望；

（3），地區(qū)農(nóng)科所研究發(fā)現(xiàn)，若每畝多投入125元的成本進行某項技術(shù)改良，則可使每畝冬小麥產(chǎn)量平

均增加50kg.從廣大種植戶的平均收益角度分析，你是否建議農(nóng)科所推廣該項技術(shù)改良？并說明理由.

19.已知函數(shù)〃x)=xln(x+l).

（1）判斷0是否為/（x）的極小值點，并說明理由;

(2)證明：Zi^>-_Lx+i.

x22

X2

20.已知橢圓E：y=1過點「（-2,1）和0（2正,0）.

a~b2

（1）求橢圓E的方程;

（2）過點G（0,2）作直線/交橢圓E于不同的兩點直線P4交》軸于點直線PB交丫軸于點

N.若|GAf"GN|=2,求直線/的方程.

21.對于一個有窮正整數(shù)數(shù)列。，設其各項為q,4，各項和為S（Q）,集合

｛（"）1ai>aj,\<i<j<n\中元素的個數(shù)為T（。）.

（1）寫出所有滿足S（Q）=4,T（Q）=1數(shù)列Q：

（2）對所有滿足?。?。）=6的數(shù)列Q,求5（。）的最小值；

⑶對所有滿足5（0）=2023的數(shù)列。，求T（Q）的最大值.

第4頁/共19頁

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.【答案】D

【解析】

【分析】利用并集的定義可求得集合Au

【詳解】因為集合人=卜卜2<*43},8={x|x>0},因此，Au/?=[-2,+oo）.

故選：D.

2.【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)除法運算化簡復數(shù)，從而根據(jù)對應點的坐標得到結(jié)果.

12+i2+z21.

【詳解]^~=（2-；）（2+Z）=-F=5+5Z

對應的點坐標為：

???對應的點位于第一象限

本題正確選項：A

【點睛】本題考查復數(shù)對應的復平面的點的問題，關(guān)鍵是能夠通過復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】

【分析】先判斷出函數(shù)在定義域上連續(xù)且單調(diào)遞增，計算出端點值，利用零點存在性定理得到答案.

【詳解】/（力=4-：一1定義域為（0,+力），在定義域上連續(xù)且單調(diào)遞增，

其中=也_2_i<o,/（i）=Vi-i-i<o,

v2J2

y（2）=V2-1-l<0,〃3）=6

由零點存在性定理可得：包含了（X）零點的區(qū)間為（2,3）.

故選：D

4.【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、正弦函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可/

【詳解】因為IgJ歷<lg5<lgl0,所以;<。<1,

第5頁供19頁

ITTT

因為sin—<sin—,所以b〈一，

762

因為2；〉2°，所以c>l，因此6<“<c,

故選：B

5.【答案】C

【解析】

【分析】分析可知直線x-2y+l=0過圓心，由此可求得實數(shù)。的值.

【詳解】圓的標準方程為（x-l『+（y—a）2=l,圓心為C（l,a）,圓的半徑為r=l,

因為若圓尤2+產(chǎn)一2%一2砂+/=0截直線x—2y+l=0所得弦長為2,

所以，直線x—2y+l=0過圓心。，則1—2。+1=0,解得a=l.

故選：C.

6.【答案】B

【解析】

【分析】求出等差數(shù)列｛4｝的通項公式，可求得數(shù)列出｝的通項公式，推導出數(shù)列也｝為等差數(shù)列，再利

用等差數(shù)列的求和公式可求出58的值.

【詳解】設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則4+4=2%=-1°，所以，%=-5,

:.d--~-=-2,an=qJ=3-2（〃-1）=-2〃+5,

所以，bn-an+a“+]=-2〃+5-2（〃+1）+5=—4n+8,

則〃+1-2=-4（〃+1）+8-（—4〃+8）=—4,所以,數(shù)列也｝為等差數(shù)列,

因止匕，Sg=4x（4—24）=—80.

故選：B

7.【答案】C

【解析】

【分析】利用組合數(shù)的概念結(jié)合古典概型即可求解.

【詳解】由題意得，把全年級6個班分為甲、乙兩組共有C：C；=20種方法，

高一（1）班、高一（2）班恰好都在甲組共有C；C；=4種方法，

C'C31

所以高一（1）班、高一（2）班恰好都在甲組的概率是志|=三，

C6c33

故選:C

8.【答案】A

第6頁/共19頁

【解析】

【分析】利用線面垂直的定義、面面垂直的判定定理結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】因為。、/是兩個不同的平面，直線加ua,

若對￡內(nèi)的任意直線/,都有加_L/,根據(jù)線面垂直的定義可知加

mua,:.a1/3,

所以，”對月內(nèi)的任意直線/,都有小，/"=；

若a_L/7,因為mua,對￡內(nèi)的任意直線/,〃?與/的位置關(guān)系不確定，

所以，”對￡內(nèi)任意直線/，都有加，/”9.

因此，“對月內(nèi)的任意直線/,都有加”是“?！钡某浞侄槐匾獥l件.

故選：A.

9.【答案】D

【解析】

jr

【分析】根據(jù)/(力在%=，取最大值，可判斷t,t+~(feR)要么在/(x)的單調(diào)減區(qū)間上，要么滿足左

端點到對稱軸5+E不小于右端點，即可得+七r,進而可求的最小值.

兀

【詳解】/(x)=cos2x的周期為兀，/(x)=cos2x的單調(diào)遞增區(qū)間為kit,-+kn，壯Z,單調(diào)遞減區(qū)間

7C..

為一+E,兀+E,keZ

_2_

兀71

當X=z取最大值，故可知t,t+—＜z一+E,7t+E,

_3j\_2_

當＜/+—W—+E時，，即—+ZeZ,7(x)在fj+—(fwR)單調(diào)遞減，顯然滿足

3263」

最大值為M(。，

當++g時，要使M")是最大值，則需滿足

(71A71(TlA兀

一+E—+—+既=＞攵兀(，＜一十依，keZ

[2)3{2)3

綜上可知當E＜，＜■!+時，/(外在》=1取最大值加(。，

M?)=2cos2f在E4/4三+心1,%2單調(diào)遞減，故當f=g+E時，M(。取最小值，且最小值為

2

第7頁/共19頁

故選：D

10.【答案】B

【解析】

【分析】由條件求出橢圓的長半軸長。和短半軸長〃，由此可求。力，再求離心率e,再求圓柱側(cè)面展開圖

的底邊邊長，由此可得正弦型函數(shù)的周期.

【詳解】設截口橢圓的長半軸長為明短半軸長為半焦距長為。，

因為圓柱的底面直徑為2,所以2b=CO=2,故匕=1,因為橢圓截面與底面的夾角為45，所以

ZAOB=45，所以2)=05=OAcos45=2acos45，所以a=所以c=jM一/=?所以

c1V2

e=—=-7==，

aV22

觀察圖4知，正弦型函數(shù)的最小正周期T為圓柱的側(cè)面展開圖的底邊邊長，即圓柱的底面圓的周長，所以

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.【答案】40).

【解析】

【詳解】試題分析：焦點在x軸的正半軸上，且p=l,利用焦點為(萱0),寫出焦點坐標.

解：拋物線y2=2x的焦點在x軸的正半軸上，且打1,.?.￡=.，故焦點坐標為(4，0)，

故答案為6，0).

考點：拋物線的簡單性質(zhì).

12.【答案】-8

【解析】

【分析】利用二項式定理得到jx-2］的展開通項，從而求得/的系數(shù).

IX)

［詳解］因為的展開通項為K+LC/YJZ)=(—2)*C*4-23

第8頁/共19頁

令4-2k=2,得k=l,此時(=(—2)’C；f=—2x4/=—8f,

所以爐的系數(shù)為-8.

故答案：—8.

13.【答案】空

3

【解析】

【分析】利用線面垂直的判定定理確定三棱錐的高，再用椎體體積公式求解即可.

取AC中點為。，連接。8,

因為為正三角形，所以02_LAC,

又因為A、_L平面ABC,OBu平面ABC,

所以的_L08,

且AAcAC=A,AA，ACu平面ACGA,

所以。8,平面ACG4，

OB=JU=G,即B到平面ACGA的距離為08=V3，

4

又因為54//441,3四仁平面4。。|4,41u平面ACG4，

所以BB"/平面ACCd,

又因為P是棱BB1上一點,所以P到平面ACC,A,的距離為0B=6

所以％ACC='xSxOB-2也,

r-/tvC]3,ACC3

故答案為：2叵.

3

14.【答案】①.y=±JL;②.。,2]

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程與漸近線方程的關(guān)系可寫出雙曲線。的漸近線方程；求出<。尸,0尸>的取

第9頁供19頁

OPOFOPOF

值范圍，可得出=2cos<OP,OF>結(jié)合余弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得^^一的取值范圍.

【詳解】在雙曲線。中，a=l,b=5c=J/+/=2,則/(2,0),

所以，雙曲線。的漸近線方程為y=±2x=±&,

a

直線y=&的傾斜角為三，由題意可知04<。。,。/><：,則；<<：05<。2。尸〉41,

所以，0?E=|0網(wǎng)cos<OP,OF>=2cos<OP,OF>G(1,2].

故答案為：y=±J^x；(1,2].

15.【答案】①②④

【解析】

【分析】利用函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系可判斷①③的正誤；利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系可判斷②的正

誤；取f=-1,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可判斷④的正誤.

【詳解】對于①，當1=0時，y=/(x)g(x)=(x2-2x)e*,則_/=02一2"1

由丁'<0可得—近<*<，5，由了>0可得》<—行或》>近，

此時，函數(shù)y=(x2-2x)e'的增區(qū)間為卜叫―8)、(垃,+8),減區(qū)間為卜夜,夜)，

當x<0或x>2時，y=(x2-2z)e'>0,當0cx<2時，y=(x2-2x)e'<0,

故函數(shù)y=(x2—2x)e*x=夜處取得最小值，①對；

對于②，/=(2x-2)(e'-r)+(x2-2x+2z)e'=(x2-2)ev+2r(e'-x+1),

令/z(x)=e，-x+l,其中x21,則“(x)=e*-l>0,

所以,函數(shù)M%)在[L+00)上單調(diào)遞增,所以,/z(x)=ex-x+l>/i(l)=e>0,

則x-ex<1-e<0?

由V=(f-2)e'+2f(e'-x+1)N0可得2fz①廠產(chǎn),

e'—x+1

第10頁/共19頁

構(gòu)造函數(shù)P(x)=(：_")；,其中無21,

則人)_(j+…)e,_xe52-4+：2"

"()--—(e_+］『—

令4(工)=工2-4+——2ex,其中x21,則,'(x)=2(x-e")——^<0,

所以，函數(shù)q(x)在［1,+8)上單調(diào)遞減，

故當x21時，^(x)<^(l)=l-2e<0,則p(x)<0,即p(x)［1,+00)上單調(diào)遞減,

???p(x)max=0(1)=1，則2/21,解得②對；

對于③，y=/'(x)+g(x)=x2-2x+e'+f,y'=2x-2+ex,

因為函數(shù)y'=2x—2+e”在R上單調(diào)遞增，

r

y\x=0=-l<0,y'k=e>0,所以，存在小使得)/=(),

當x<Xo時，/<0,此時函數(shù)y=x2-2x+e*+f單調(diào)遞減，

當x>x()時，/>0,此時函數(shù)y=x2-2x+e*+f單調(diào)遞增，

所以，對任意的實數(shù)乙函數(shù)y=x2-2x+e、+t有最小值，③錯；

對于④，令〃(x)=x2-2x+e*+，，不妨令〃(O)=l+r=O,即取1=一1,

由③可知，函I數(shù)，，(^)=%2-2%+6'-1在(-8,%)上單調(diào)遞減，在(%,+00)上單調(diào)遞增，

因為/ee』)，則M(Xo)<"(O)=O,w(2)=e2-1>0,

所以，存在.€(%,2),使得“(x)=0,

此時函數(shù)”(x)的零點之和為％+0=%<2,④對.

故答案為：①②④.

【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，

然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思

想和分類討論思想的應用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；

⑶參變量分離法：由〃x)=0分離變量得出a=g(x),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線y="與函數(shù)y=g(無)

的圖象的交點問題.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

第11頁/共19頁

,71,兀

16.【答案】⑴=KJI——.KTI+—化wZ）；

36

⑵2折

【解析】

【分析】（1）根據(jù)‘'五點法”可得函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即得;

71

（2）由題可得8=一，然后根據(jù)余弦定理及三角形面積公式即得.

3

【小問1詳解】

由題可知函數(shù)的最小正周期為無，

所以。=衛(wèi)2兀=2,

71

TTTTJ1

根據(jù)“五點法''可得2x：+e=—,即9=一，

626

所以/（x）=sin2x+g],

I6）

由2也一二K2x+—<2kn+—,kwZ,可得E—工+

26236

所以函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為新+（（keZ）；

【小問2詳解】

因為=sin（28+工——,又8e（0,jt）,2B+—,

IOy26166,

”…—cTC51nrc1

所以2BH—=—,即8=—，

663

由余弦定理可得戶=?2+c2-2czccosB=（a+c）2-2ac-2accosB,

所以（2月『=62—3ac,即ac=8,

所以SAMC=—acsinB=—x8x—=26.

ABC222

17.【答案】（1）證明見解析

（2）一必

6

【解析】

【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明；（2）利用空間向量的坐標運算求二面角的余弦值即可.

【小問1詳解】

第12頁/共19頁

又因為A8//CO,AB='CO,所以AB//MN,AB=MN,

2

所以四邊形A8MN是平行四邊形，所以BM//AN,

又因為8/平面PAD,匈7匚平面24。，

所以8M//平面PAD.

【小問2詳解】

因為PO，平面ABCD,AD,DCu平面ABCD,

所以PO_LAD,PD1OC,且AD1DC,

所以以D4,DC,DP為x，y，z軸建系如圖，

若選擇①：PB=B因為P。，平面A6CD,8Ou平面ABC。，

所以1.30,所以3。=Ji=I=0,則AB=二T=1，

所以C￡?=2,則0(0,0,0),8(1,1,0),尸(0,0,1),C(0,2,0),M(0,1,1),

因為D4_L平面POC,所以DA=(1,0,0)為平面PDM的一個法向量,

設平面DMB的法向量加=(x,y,z),DB=(1,1,0),DM=(0,1,；),

DB-m=x+y=0

所以《1,令x=l,y=-l,z=2,

DM?〃2=y+—z=0

.2

所以陽二(1,—1,2),

DA-m1_V6

cos<DA,m>=

設二面角P—OM—B為。,DA\\m\

V6

因為由圖可知二面角P-OM為鈍角，所以cos9=-

6

若選擇②：8OL8C,設ABa,則C。=2a,

第13頁/共19頁

BD=J/+i,BC=yja2+l,

因為BOLBC,所以/+1+/+1=4/解得。=1,

則￡>(0,0,0),5(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2,0),M(0,1,1)，

2

因為D4J?平面POC,所以D4=(1,0,0)為平面PDW的一個法向量，

設平面DMB的法向量〃?=(x,y,z),DB=(1,1,0),DM=(0,1,g),

DB-m=x+y=0

所以；i,令x=l,y=-l,z=2,

DM-m=y+—z=0

I2

所以機=(1,-1,2)f

?DA-m1y/6

設二面角尸“M-B為。，COS<O">=網(wǎng)丁布=不,

因為由圖可知二面角-5為鈍角，所以COS6=—Y5.

6

18.【答案】(1)0.15

(2)分布列答案見解析，E(X)=1242

(3)建議農(nóng)科所推廣該項技術(shù)改良，理由見解析

【解析】

【分析】(1)計算出畝產(chǎn)量是5()()kg的概率，結(jié)合表1以及獨立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概

率；

(2)分析可知隨機變量X的可能取值有960、1080、1200、1350、1500,計算出隨機變量X在不同取

值下的概率，可得出隨機變量X的分布列，進而可求得E(X)的值；

(3)設增產(chǎn)前每畝冬小麥產(chǎn)量為Jkg,增產(chǎn)后每畝冬小麥產(chǎn)量為〃kg,則77=4+5(),

設增產(chǎn)后的每畝動漫小麥總價格為丫元，計算出增產(chǎn)的50kg會產(chǎn)生增加的收益，與125比較大小后可得出

結(jié)論.

【小問1詳解】

解：由圖可知，畝產(chǎn)量是400kg的概率約為0.005x50=0.25,

畝產(chǎn)量是450kg的概率約為0.01x50=0.5,畝產(chǎn)量是500kg的概率約為0.005x50=0.25,

估計H地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購總價為1500元的概率為0.25x0.6=0.15

【小問2詳解】

解：由題意可知，隨機變量X的可能取值有：960、1080、1200、1350.1500,

P(X=960)=0.25x0.4=0.1,P(X=1080)=0.5x0.4=0.2,

第14頁/共19頁

P（X=1200）=0.25X0.4+0.25Xo.6=0.25,

P（X=1350）=0.5x0.6=0.3,P（X=1500）=0.25x0.6=0.15,

所以，隨機變量X的分布列如下表所示：

X9601080120013501500

P0.10.20.250.30.15

￡(%)=960x0.1+1080x0.2+1200x0.25+1350x0.3+1500x0.15=1242.

【小問3詳解】

解：建議農(nóng)科所推廣該項技術(shù)改良，

設增產(chǎn)前每畝冬小麥產(chǎn)量為Jkg,增產(chǎn)后每畝冬小麥產(chǎn)量為77kg，則〃=4+5(),

設增產(chǎn)后的每畝動漫小麥總價格為丫元，分析可知E(r)=E(X)+50x(2.4x0.4+3x0.6),

所以，增產(chǎn)的50kg會產(chǎn)生增加的收益為50x(2.4x0.4+3x0.6)=138>125,

故建議農(nóng)科所推廣該項技術(shù)改良.

19.【答案】(1)0是/(x)的極小值點，理由見解析

(2)證明過程見解析

【解析】

【分析】⑴求/(x)=xln(x+l)的定義域，求導,得到了'(0)=0,且xe(—l,0)時，xe(0,+oo)

時，fx0,故0是的極小值點；

(2)對不等式變形得到吧里二1七二〉0，令g(x)=ln(x+l)+gx2—x(x>—l),求導，得到其單

X

調(diào)性，從而得到g(x)正負，故：(.+1)+2r—'.0恒成立,結(jié)論得證.

x

【小問1詳解】

0是/(x)的極小值點，理由如下：

/(力=加1(%+1)定義域為(-1,+8),

r(x)=ln(x+l)+—其中尸(0)=lnl+^=0,

當時，ln(x+l)<0,—^-j-<0,故/'(x)=ln(x+l)+—^<0,

當xe(0,+8)時,ln(x+l)>0,-^—>0,故/'(x)=ln(x+l)+-^—>0,

X+1X+1

第15頁/共19頁

故/(x)=xln(x+l)在xe(—1,0)上單調(diào)遞減，在xe(0,+8)上單調(diào)遞增,

故0是“X)的極小值點；

【小問2詳解】

f(x]1，林,人Txln(x+l)1.

^-V>——x+1等價于一二~L>一一x+1,

x22%22

ln(x+l)H—x~-x

即Hn」—L—>o>

X

令g(九)=ln(x+l)+；12-1)

2

則g，(x)=」一"Fx-lx

x+lx+1

當x>-l時，g'(x)>0,所以g(x)在x〉—1上單調(diào)遞增，

又g(o)=o,

故當x>0時，g(x)>g(O)=O,當一1<無<0時，g(x)<g(O)=O,

則,)2>°恒成立，

x

故4^>-L+i.

x22

r2v2

20.【答案】(1)一+工=1

82

(2)y=%+2或%=0

【解析】

【分析】(1)兩個點尸(一2,l),Q(2j5,0)代入解方程即可.

(2)斜率不存在單獨算出|GMHGN|=2是否成立：斜率存在時把/設出來與橢圓聯(lián)立,韋達定理求出兩根之

和與兩根之積用斜率上來表示，然后|GM|?|GN|用兩個根表示，化簡求值即可.

【小問1詳解】

,41,

T+7T=1，

將點尸(一2,1),。(2夜,0)坐標代入橢圓￡的方程，得也°解得"=8/2=2,所以橢圓E的方

22

程為：土+乙=1

82

第16頁/共19頁

【小問2詳解】

若直線/的斜率不存在，即直線/為x=0時，A和〃重合，B和N點重合，分別為橢圓的上下頂點

（0,V2）（0,-72）,此時|6孫設2=（2-⑹x（2+/）=2,符合題意.

若直線/斜率存在，設直線AB的方程為了="+2,A（%,%）8（/,＞2）（玉聲一2且々。―2）,聯(lián)立方

y="+2

程＜工2yi得，（4%2+1）/+16求+8=。，△=（16攵）2-32（4公+1）=32（4攵2-1）＞0,.??％2＞]_,

即%＞工或&＜--

22

—16k8.V,—2y.—1/.\.

玉+々二77「網(wǎng)上二5[々尸所以直線PA的方程為＞=，^（%+2）+1，取

4k4-14k+1xi+1%+2

(2(-1))(1

x=0得M0,上_^+1,同理可得M0,-^~^+1

2(為7)+]_2=2,即2(XT)―I

由|GMHGN|=2得二2,所以

%+2x2+2須+2

（2左一1）2」——匚=2,即（2左-----