師說數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)教版課件

4.13

冪函數(shù)成套的課件成套的教案成套的試題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系QQ309000116加入百度網(wǎng)盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，一勞永逸新知初探課前預(yù)習(xí)題型探究課堂解透新知初探課前預(yù)習(xí)最新課程標(biāo)準(zhǔn)?1.通過具體實(shí)例，結(jié)合y＝x，y＝?，y＝x2，y＝

x，y＝x3的圖象，理解它們的變化規(guī)律．2．了解冪函數(shù)．學(xué)科核心素養(yǎng)1.了解冪函數(shù)的概念，會(huì)求冪函數(shù)的解析式．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2

3??2．結(jié)合冪函數(shù)y＝x，y＝x

，y＝x

，y＝，??y＝x

的圖象，掌握它們的性質(zhì)．(直觀想象、邏輯推理)

3．能利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?數(shù)學(xué)運(yùn)算)教材要點(diǎn)叫做(α次)要點(diǎn)一 冪函數(shù)的概念一般來說，當(dāng)x為自變量而α為非零實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)冪函數(shù)．要點(diǎn)二 冪運(yùn)算的基本不等式???對(duì)任意的正數(shù)r和兩正數(shù)a>b，有??＝????

>1，即ar＞br.???對(duì)任意的負(fù)數(shù)r和兩正數(shù)a>b，有??＝????<1，即ar<br.y＝xα要點(diǎn)三 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3?y＝x?y＝??定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在R上遞增在(－∞，0)上遞減，在(0，＋∞)上遞增在R上遞增在(0，＋∞)上遞增在(－∞，0)和(0，＋∞)上遞減圖象過定點(diǎn)(0，0)，(1，1)(1，1)狀元隨筆

冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上，當(dāng)α＞0時(shí)，y＝xα是增函數(shù)；當(dāng)α＜0時(shí)，y＝xα是減函數(shù)．基礎(chǔ)自測(cè)限．(

)?(4)若冪函數(shù)y＝xα的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則y＝xα在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大．(

)1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(0，0)，(1，1)．(

×

)(2)冪函數(shù)的圖象一定不能出現(xiàn)在第四象限，但可能出現(xiàn)在第二象×√(3)當(dāng)冪指數(shù)α取1，3，?時(shí)，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù)．(

√

)??2．在函數(shù)y＝

?

，y＝3x2

，y＝x2

＋2x，y＝1中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A．0B．1

C．2

D．3答案：B解析：函數(shù)y＝

?

＝x－4為冪函數(shù)；函數(shù)y＝3x2中x2的系數(shù)不是1，所以它不是冪??函數(shù)；函數(shù)y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常數(shù))的形式，所以它不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝1與y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是冪函數(shù)．故選B.)3．(多選)已知冪函數(shù)f(x)＝xα(α是常數(shù))，下列說法錯(cuò)誤的是(A．f(x)的定義域?yàn)镽B．f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增

C．f(x)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)(1，1)D．f(x)的圖象有可能經(jīng)過點(diǎn)(1，－1)答案：ABD解析：當(dāng)α＝－1時(shí)，f(x)＝x－1＝?的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，?＋∞)上單調(diào)遞減，因此A，B錯(cuò)誤；當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝1，因此C正確，D錯(cuò)誤．故選ABD.4．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(3，

3)，則f(9)＝

3

．解析：設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα(α為常數(shù))，∵冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(3，

3)，∴3＝3α，解得α＝?，?∴f(x)＝

??，∴f(9)＝

9＝3.題型探究課堂解透題型1

冪函數(shù)的概念例1

(1)(多選)下列函數(shù)中是冪函數(shù)的是()?A．y＝

?

?

B．y＝x5C.

y＝4x2

D．y＝x(2)已知y＝(m2＋2m－2)

x????＋2n－3是冪函數(shù)，求m，n的值．答案：(1)BD(2)見解析解析：A不符合冪函數(shù)的特點(diǎn)，C中系數(shù)不是1，BD是冪函數(shù)．故選BD.由冪函數(shù)的定義可知?m?

+

2m

?

2

=

1，

2n

?

3

=

0，?解得m＝－3或1，n＝?.方法歸納冪函數(shù)的判斷方法①冪函數(shù)同指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)一樣，是一種“形式定義”的函數(shù)，也就是說必須完全具備形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)才是冪函數(shù)．②如果函數(shù)解析式以根式的形式給出，則要注意把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，再對(duì)照冪函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．求冪函數(shù)解析式的依據(jù)及常用方法①依據(jù)．若一個(gè)函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)應(yīng)具備冪函數(shù)解析式所具備的特征，這是解決與冪函數(shù)有關(guān)問題的隱含條件．②常用方法．設(shè)冪函數(shù)解析式為f(x)＝xα，根據(jù)條件求出α.A．1

B．－3C．－1

D．3?(2)已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)

3，

?

，則f(4)＝．跟蹤訓(xùn)練1

(1)若函數(shù)y＝(m2＋2m－2)xm為冪函數(shù)且在第一象限為增函數(shù)，則m的值為(

A

)116解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝(m2＋2m－2)xm為冪函數(shù)且在第一象限為增函數(shù)，所以?m?

+2m?2=1，所以m＝1.m

?

0，故選A.?(2)設(shè)f(x)＝xα(α為常數(shù))，所以?＝3α，α＝－2，??所以f(4)＝4－2＝

?

.題型2

冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用?例2

(1)函數(shù)y＝x?的圖象是(

B

)(2)冪函數(shù)y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的圖象如圖，則將m，n，p，q的大小關(guān)系用“＜”連接起來結(jié)果是

n<q<m<p

．解析：(1)由冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0，0)和(1，1)，故排除A、D；因?yàn)閥＝xα中，0<α＝?<1，所以圖象在第一象限內(nèi)上凸，排除C，故選B.?(2)過原點(diǎn)的指數(shù)α>0，不過原點(diǎn)的α<0，所以n<0，當(dāng)x>1時(shí)，在直線y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，0<m<1，0<q<1；x>1時(shí)，指數(shù)越大，圖象越高，所以m>q，綜上所述n<q<m<p.方法歸納解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個(gè)原則?依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0，1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為指大圖低)；在(1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡(jiǎn)記為指大圖高)．依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0，1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y＝x－1或y＝x?或y＝x3)來判斷．跟蹤訓(xùn)練2 (1)如圖，曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象．已知n取±2，?1

2

3?A．－2，?，2?B．2，?，－2C．－2，2，?D．2，－2，??

??(2)當(dāng)α∈?1，?

，1，2，3

時(shí)，冪函數(shù)y＝xα的圖象不可能經(jīng)過第象限．?三個(gè)值，則相應(yīng)于曲線c

，c

，c

的n值依次為(

B

)四－2

2解析：(1)對(duì)于函數(shù)y＝x

，y＝x

，y＝?????x

，令x＝4，得到的函數(shù)值依次為

，?16，2.函數(shù)值由大到小對(duì)應(yīng)的解析式為y＝x2，y＝x?，y＝x－2.因此相1

2

3?應(yīng)于曲線c

，c

，c

的n值依次為2，?，－2.故選B.?(2)冪函數(shù)y＝x－1，y＝x，y＝x3的圖象經(jīng)過第一、三象限；y＝x?的圖象經(jīng)過第一象限；y＝x2的圖象經(jīng)過第一、二象限．?所以冪函數(shù)y＝xα

α

=

?1，

?

，1，2，3

的圖象不可能經(jīng)過第四象限．題型3

冪函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1

比較大小例3

把??

???

??

??

??

，

?

，?

??按從小到大的順序排列：．25?

??35?

，?

??76??23????

???

??＝1，

?

?

1，?

???

?

1，?

????

<1，∵y＝x?

為增函數(shù)，∴?

???

???解析：??.綜上，?

???

???

???

??

?????

???.角度2

解不等式例4

已知(a＋1)－1＜(3－2a)－1，求a的取值范圍．解析：①當(dāng)a＋1>0，且3－2a>0時(shí)，∵(a＋1)－1<(3－2a)－1，a+

1

?

0，a+

1

?

3?

2a，?

?∴?

3?2a

?

0，

解得?<a<?.②當(dāng)a＋1<0，且3－2a>0時(shí)，(a＋1)－1<0，(3－2a)－1>0.符合題意．可得?

a+1

?

0，解得a<－1.3

?2a

?

0，③當(dāng)a＋1<0且3－2a<0時(shí)，∵(a＋1)－1<(3－2a)－1，a+

1

?

0，∴?

3?2a

?

0，

不等式組解集為?.a+

1

?

3?

2a，綜上所述，a的取值范圍為(－∞，－1)∪?

，

?

.?

?方法歸納比較冪的大小的策略比較冪的大小的關(guān)鍵是弄清底數(shù)與指數(shù)是否相同．若指數(shù)相同，則利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大??；若底數(shù)、指數(shù)均不同，則考慮用中間值法比較大小，中間值可以是“0”或“1”．利用冪函數(shù)解不等式的步驟利用冪函數(shù)解不等式，實(shí)質(zhì)是已知兩個(gè)函數(shù)值的大小，判斷自變量或冪指數(shù)的大小，常與冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等綜合命題．求解步驟如下：確定可以利用的冪函數(shù)；借助相應(yīng)的冪函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量或冪指數(shù)的大小關(guān)系；解不等式(組)求參數(shù)范圍，注意分類討論思想的應(yīng)用．A.18?＜19?B.23?

?

???＜π6???C.

0.2?.?＞0.3?.?

D.

9???＞89???

?(2)若

3

?2m

?＞

m

+

1

?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．跟蹤訓(xùn)練3

(1)下列兩個(gè)數(shù)的大小正確的是(

B

)?1，

23??

?? ?解析：(1)∵函數(shù)y＝x?在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又

>

，∴?

>

?? ??

??????，A錯(cuò)；∵函數(shù)y＝x??在(0，＋∞)上為減函數(shù)，又

>??，

∴?

???

<??

???，B正確；由冪函數(shù)單調(diào)性知0.20.6<0.30.6，C錯(cuò)；?9??＝??

???

<?

???

<?

????

，

∴

9??

<?

???，D錯(cuò)．故選B.?(2)∵函數(shù)y＝x?在定義域[0，＋∞)上是增函數(shù)，3

?

2m

>

0，3

?

2m

>

m

+1，?∴?

m+1≥0，

解得－1≤m<?.?故實(shí)數(shù)m的取值范圍為

?1，

?

.易錯(cuò)辨析 忽視冪函數(shù)的圖象特點(diǎn)致誤例5 若函數(shù)f(x)＝(m2＋3m＋1)·x??????是冪函數(shù)，且其圖象過原點(diǎn)，則m＝

－3 ．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝(m2＋3m＋1)·x??????是冪函數(shù)，所以m2＋3m＋1＝1，解得m＝0或m＝－3.當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝x－1，其圖象不過原點(diǎn)，應(yīng)舍去；當(dāng)m＝－3時(shí)，f(x)＝x5，其圖象過原點(diǎn)．易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得忽視了函數(shù)圖象過原點(diǎn)，沒有對(duì)所求m值進(jìn)行檢驗(yàn)，致使得到錯(cuò)誤答案

0或－3冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，則指數(shù)大：于0；圖象不過原點(diǎn)，則指數(shù)小于或等于0.課堂十分鐘1．設(shè)α∈

1，2，3，

?

，

?

1

，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽且函數(shù)y?＝xα為奇函數(shù)的所有α的值為(

)A．－1，3C．1，3B．－1，1D．－1，1，3答案：C?解析：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝???，y＝x－1是常見的五個(gè)冪函數(shù)，顯然y＝xα為奇函數(shù)時(shí)，α＝－1，1，3，又函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以α≠－1，故α＝1，3.故選C.?2.

在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)f

x

＝ax＋?與g

x

＝ax2的圖象可能是(

)答案：A?解析：因?yàn)楫?dāng)a>0時(shí)，f(x)＝ax＋?是增函數(shù)，與y軸的交點(diǎn)在正半軸上，g(x)＝ax2的開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，f